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编写小组/试卷/1231线性代数考试卷.md

@@ -185,19 +185,21 @@ $$
 \end{vmatrix}
 
 $$
-
+---
 
 13. 设$A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 6\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a & a-1 \\ 2 & -3 & 2 & -2\end{bmatrix}$,向量$\alpha=\begin{bmatrix}0\\2\\3\end{bmatrix},\beta=\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$.
-(1)证明：方程组$Ax=\alpha$的解均为方程组$Bx=\beta$的解；
-(2)若方程组$Ax=\alpha$与方程组$Bx=\beta$不同解，求$a$的值.
-
+     
+     (1)证明：方程组$Ax=\alpha$的解均为方程组$Bx=\beta$的解；
+     (2)若方程组$Ax=\alpha$与方程组$Bx=\beta$不同解，求$a$的值.
 
+---
 
 解析：
 (1)证明：$[A\ \ \alpha] \rightarrow \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 & 1\\0 & 1 & 0 & 2 & 1\\0 & 0 & 1 & 1 & 0\end{bmatrix}$,于是$Ax=\alpha$的通解为$$x=k\begin{bmatrix}-1\\-2\\-1\\1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\1\\0\\0\end{bmatrix},$$把方程$Bx=\beta$还原成方程组得$$\begin{cases}x_1&+x_2&+x_3&+2x_4&=1\\x_1&-x_2&+ax_3&+(a-1)x_4&=1\\2x_1&-3x_2&+2x_3&-2x_4&=-1\end{cases}$$把$Ax=\alpha$的解带入上方程组，显然符合，故方程组$Ax=\alpha$的解均为方程组$Bx=\beta$的解.
 
 (2)方程组$Bx=\beta$与方程组$Ax=\alpha$不同解，而由上一题，方程组$Ax=\alpha$的解是$Bx=\beta$的解的真子集，于是$\dim N(A)<\dim N(B),r(A)=3>r(B),r(B)\le2$.对$B$进行初等行变换得$$B\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&1&2\\0&1&0&2\\0&0&a-1&a-1\end{bmatrix},$$于是$a=1$.
 
+---
 
 14. （10 分）设 
     $$
@@ -213,7 +215,97 @@ $$
     $$
     在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标。
 
+---
+
+解析：
+
+已知：
+
+$$
+A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = 
+\begin{bmatrix} 
+1 & 2 & 1 \\ 
+0 & 1 & 1 \\ 
+-1 & 1 & 1 
+\end{bmatrix},
+$$
+
+$$
+B = (\beta_1, \beta_2, \beta_3) = 
+\begin{bmatrix} 
+0 & -1 & 0 \\ 
+1 &  1 & 2 \\ 
+1 &  0 & 1 
+\end{bmatrix}.
+$$
+
+设 $u$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的坐标为 $x = (1, 2, -3)^T$，在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标为 $y$，则
+
+$$
+u = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) x = (\beta_1, \beta_2, \beta_3) y,
+$$
+
+即
+
+$$
+Ax = By.
+$$
+
+因为 $B$ 可逆，所以
+
+$$
+y = B^{-1} A x.
+$$
+
+用增广矩阵求解 $y$：
+
+$$
+(B, Ax) = 
+\begin{bmatrix}
+0 & -1 & 0 & \vert & 2 \\
+1 &  1 & 2 & \vert & -1 \\
+1 &  0 & 1 & \vert & -2
+\end{bmatrix}
+$$
+
+作行初等变换：
+
+$$
+\begin{aligned}
+&\rightarrow
+\begin{bmatrix}
+1 & 0 & 1 & \vert & -2 \\
+0 & 1 & 1 & \vert & 1 \\
+0 & -1 & 0 & \vert & 2
+\end{bmatrix} \\
+&\rightarrow
+\begin{bmatrix}
+1 & 0 & 1 & \vert & -2 \\
+0 & 1 & 1 & \vert & 1 \\
+0 & 0 & 1 & \vert & 3
+\end{bmatrix} \\
+&\rightarrow
+\begin{bmatrix}
+1 & 0 & 0 & \vert & -5 \\
+0 & 1 & 0 & \vert & -2 \\
+0 & 0 & 1 & \vert & 3
+\end{bmatrix}.
+\end{aligned}
+$$
+
+因此向量
+
+$$
+u = \alpha_1 + 2\alpha_2 - 3\alpha_3
+$$
 
+在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标为
+
+$$
+y = (-5, -2, 3)^T.
+$$
+
+---
 
 
 15. （12 分）设 $n$ 阶方阵 $A, B$ 满足 $AB = A + B$。
@@ -235,15 +327,16 @@ $$
     求矩阵 $A$。
 
 
+---
 
 
 
 
-
-
+---
 
 16. 设矩阵$A=\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\1&t&0&1\end{bmatrix}$，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中含有两个解向量，求Ax=0的通解。
 
+---
 
 解析：
 因为n=4，$n-\text{rank}A=2$，所以$\text{rank}A=2$。
@@ -256,5 +349,4 @@ $$\to\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\0&0&-(1-t)^2&-(1-t)^2\end{bmatrix}\to\begi
 要使$\text{rank}A=2$，则必有t=1。
 此时，与Ax=0同解的方程组为$\begin{cases}x_1=x_3\\x_2=-x_3-x_4\end{cases}$，得基础解系为
 $$\boldsymbol{\xi}_1=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\\0\end{bmatrix},\ \boldsymbol{\xi}_2=\begin{bmatrix}0\\-1\\0\\1\end{bmatrix}$$
-方程组的通解为$$\boldsymbol{x}=k_1\boldsymbol{\xi}_1+k_2\boldsymbol{\xi}_2，（k_1,k_2为任意常数）$$
-
+方程组的通解为$$\boldsymbol{x}=k_1\boldsymbol{\xi}_1+k_2\boldsymbol{\xi}_2，（k_1,k_2为任意常数）$$