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@ -199,6 +199,9 @@ $U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3
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>1. 求特征值和特征向量；
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>2. 把特征向量拼接起来成为变换矩阵；
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>3. 或者把特征向量标准正交化，再拼接起来成为正交变换矩阵。
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>[!bug] 问题排查
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>在求特征向量的时候，可以检查不同特征值的特征向量是否正交：如果不正交，则求得的结果一定是错误的。可以用这种方法来快速排查潜在的错误。
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##### 求标准形
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1. 已知二次型（直接求）
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>[!example] （[[线代2022秋B|2022]]）例题
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@ -320,9 +323,9 @@ $U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3
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>[!done] 该解法的底层逻辑
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>记 $\boldsymbol x=(x_1,x_2,x_3)^T,\boldsymbol y=(y_1,y_2,y_3)^T,\boldsymbol z=(z_1,z_2,z_3)^T, C=\begin{bmatrix}1&2&2\\0&1&2\\0&2&1\end{bmatrix},D=\begin{bmatrix}-2 & -1 & 2\\-1 & 0 & 2\\-2 & 0 & 1\end{bmatrix}$，
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>$\boldsymbol x=C\boldsymbol y\Rightarrow y=C^{-1}\boldsymbol x$
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>$\boldsymbol x=C\boldsymbol y\Rightarrow\boldsymbol y=C^{-1}\boldsymbol x$
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>所以 $\boldsymbol y=C^{-1}D\boldsymbol z=\begin{bmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\boldsymbol z$，
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>这个就是该解法中那个“魔法矩阵”的来源—— $D$ 是 $C$ 经过 $3$ 次初等列操作的结果. 如果能注意到这一点，那么对 $C^{-1}D$ 的计算将非常快——直接像解法那样写就好了.
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>这个就是该解法中那个“魔法矩阵”的来源—— $D$ 是 $C$ 经过 $3$ 次初等列变换的结果. 如果能注意到这一点，那么对 $C^{-1}D$ 的计算将非常快——直接像解法那样写就好了.
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>$f(x_1,x_2,x_3)=\boldsymbol y^\mathrm T\begin{bmatrix}4&0&0\\0&-\frac{1}{2}&0\\0&0&0\end{bmatrix}\boldsymbol y=\boldsymbol z^\mathrm T\begin{bmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}^\mathrm T\begin{bmatrix}4&0&0\\0&-\frac{1}{2}&0\\0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\boldsymbol z$
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>$=\boldsymbol z^\mathrm T\begin{bmatrix}-\frac{1}{2}&0&0\\0&4&0\\0&0&0\end{bmatrix}\boldsymbol z=-\dfrac{1}{2}z_1^2+4z_2^2$
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