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素材/特征值与相似.md

@@ -21,7 +21,7 @@ $$P=\begin{bmatrix}\boldsymbol\xi_1&\boldsymbol\xi_2&\cdots&\boldsymbol\xi_n\end
 ## 常见题型
 ##### 特征值常见的小题就是针对其性质进行设问。
 1. 针对“迹”设问
->[!hint]- 提示
+>[!hint] 提示
 >秩为$1$的矩阵$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$的特征值有如下特征：
 >（1）$0$为其特征值，且代数重数和几何重数均为$n-1$；
 >>证明：因为$r(A)=1<n$,所以$|A|=0$，故$0$是$A$的一个特征值。考虑齐次线性方程组$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$.由于$r(A)=1$，$\mathrm{dim}N(A)=n-1$，所以特征值$0$的几何重数为$n-1$。若$0$的代数重数为$n$，则 $A\sim O$,而相似必等价，故$r(A)=0$，矛盾。又代数重数必定不小于几何重数，所以$0$的代数重数为$n-1$。
@@ -35,7 +35,7 @@ $$P=\begin{bmatrix}\boldsymbol\xi_1&\boldsymbol\xi_2&\cdots&\boldsymbol\xi_n\end
 >[!example] （[[线代2019秋A|2019]]）例题1
 设 $E$ 为 $3$ 阶单位矩阵，$\alpha$ 为一个 $3$ 维单位列向量，则矩阵 $E-\alpha\alpha^\text{T}$ 的全部 $3$ 个特征值为\_\_\_\_\_\_
 
->[!note]- 解析
+>[!note] 解析
 >设 $B=\alpha\alpha^T$，该矩阵为**秩 $1$ 矩阵**（因 $\alpha$ 是单位列向量，$\alpha^T\alpha=1$）。
 >秩 $1$ 矩阵的特征值性质：非零特征值为矩阵的迹 $\text{tr}(B)=\alpha^T\alpha=1$，其余 $n-1=2$ 个特征值为 $0$（秩 $1$ 矩阵的非零特征值个数等于秩）。
 >若 $B\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$（$\boldsymbol{x}$为特征向量），则 $(E-B)\boldsymbol{x}=(1-\lambda)\boldsymbol{x}$，即$E-B$ 的特征值为 $1-\lambda$。
@@ -44,7 +44,7 @@ $$P=\begin{bmatrix}\boldsymbol\xi_1&\boldsymbol\xi_2&\cdots&\boldsymbol\xi_n\end
 >[!example] 例题2
 >已知 $n(n\geq2)$维列向量 $\alpha,\beta$ 满足 $\beta^T\alpha=-3$，则方阵 $(\beta\alpha^T)^2$ 的非零特征值为$\underline{\qquad}$。
 
->[!note]- 解析
+>[!note] 解析
 >设 $A=\beta\alpha^T$（秩 1 矩阵），计算 $A^2$：
 >$A^2=(\beta\alpha^T)(\beta\alpha^T)=\beta(\alpha^T\beta)\alpha^T=(\alpha^T\beta)A$
 >注意：$\alpha^T\beta=(\beta^T\alpha)^T$（矩阵转置性质），而 $\beta^T\alpha=-3$（数，转置等于自身），故 $\alpha^T\beta=-3$，因此 $A^2=-3A$。
@@ -53,7 +53,7 @@ $$P=\begin{bmatrix}\boldsymbol\xi_1&\boldsymbol\xi_2&\cdots&\boldsymbol\xi_n\end
 >[!example] 例题3
 >已知 $4$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，$A$ 的全部特征值为 $1,2,3,4$，则行列式 $|B^{-1}-E|$ 为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
 
->[!note]- 解析
+>[!note] 解析
 >“对于有理函数 $f(x)$ ，矩阵 $f(A)$ 的特征值为 $f(\lambda)$ ，对应的特征向量不变。”
 >根据这一条性质，我们求得矩阵 $B^{-1}-E$ 的所有特征值，进而求得行列式。
 >$f(x)=\frac{1}{x}-1$，则 $B^{-1}-E$ 的特征值为 $0,-\frac12, -\frac23,-\frac34$，相乘结果为 $0$，故答案为 $0$。
@@ -75,7 +75,7 @@ D. $\boldsymbol{A}^\text{T}+\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}^\text{T}+\boldsymb
 >[!example] （[[线代2023秋A|2023]]）例题5
 >设矩阵 $A=\begin{bmatrix}3&1&2\\0&a&0\\2&b&3\end{bmatrix}$ 仅有两个相异特征值，且 $A$ 相似于对角矩阵，求 $a,b$， 并求可逆矩阵 $P$，使得$P^{-1}AP$ 为对角矩阵．
 
->[!note]- 解析
+>[!note] 解析
 >通过定义，求特征值：$\lambda E-A=\begin{bmatrix}\lambda-3&-1&-2\\0&\lambda-a&0\\-2&-b&\lambda-3\end{bmatrix}$,
 > $|\lambda E-A|=0 \Rightarrow (\lambda-a)(\lambda-5)(\lambda-1)=0$
 > $A$ 仅有两个相异特征值，说明 $a=5$ 或 $a=1$。
@@ -86,4 +86,5 @@ D. $\boldsymbol{A}^\text{T}+\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}^\text{T}+\boldsymb
 > 如果 $a=1$：特征值 $1$ 的代数重数为 $2$；因为 $A$ 能相似对角化，所以相应的几何重数也为 $2$。
 > $(E-A)\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，即$\begin{bmatrix}-2&-1&-2\\0&0&0\\-2&-b&-2\end{bmatrix}\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，由 $\text{rank}(E-A)=1$ 得 $b=1$，对应的特征向量为$(1,-2,0)^\mathrm{T},(1,0,-1)^\mathrm{T}$；
 > 而 $(5E-A)\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，即$\begin{bmatrix}-2&-1&-2\\0&4&0\\-2&b&-2\end{bmatrix}\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，对应的特征向量是 $(1,0,1)^\mathrm{T}$；
-> 因此，$P=\begin{bmatrix}1&1&1\\-2&0&0\\0&-1&1\end{bmatrix}$。
+> 因此，$P=\begin{bmatrix}1&1&1\\-2&0&0\\0&-1&1\end{bmatrix}$。
+