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编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md

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 tags:
   - 编写小组
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+**内部资料，禁止传播**
+**编委会（不分先后，姓氏首字母顺序）：程奕铭   韩魏   刘柯妤   卢吉辚   王轲楠   支宝宁  郑哲航
+
 # 子数列及其相关定理
 
 ## 一、子数列的概念与性质
@@ -235,7 +238,7 @@ $$D(x)= \begin{cases}1, & x\text{为有理数时}, \\ 0, & x\text{为无理数
 ## Vol. 5:误用p级数
 **机械地套用p级数结论，而忽视了其应用前提：指数 `p` 必须是与 `n` 无关的常数。**
 
->例题1：
+> [!example] 例题1：
 >$$判定\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1 + \frac{1}{n}}}的敛散性$$
 #### ❌ 经典错误思路
 1.  形式像 `1/n^p`
@@ -249,7 +252,7 @@ $$\lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{1}{n^{1 + \frac{1}{n}}} }{ \frac{1}{n} } = \l
 
 ---
 
-> 例题2：
+> [!example] 例题2：
 >$$判定\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \cdot \ln n}的敛散性$$
 
 
@@ -350,13 +353,16 @@ $y=f^{-1}(x)$，即$x = f(y)$，求$f^{-1'}$就是在求$\frac{dy}{dx}$，而$\f
 为什么？$f^{-1'}$最后应该是一个关于$x$的函数，$\frac{dy}{dx}$应当用$x$来表示。
 所以，我们还需要将$y = f^{-1}(x)$代入，即：
 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$
-> [!example] 示例1
+
+> [!example] 例1
 > 求$d(\arcsin x)$
 
 解：设$y=\arcsin x$，即$x=\sin y$，$dx=\cos y\ dy$，即$dy=\frac{dx}{\cos y}$
 作辅助三角形
 ![[易错点9-1.png]]
+
 得$\cos y=\sqrt{1-x^2}$，综上，$dy=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$，即$d(\arcsin x)=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$
+
 ## Vol. 10: 无界与无穷大的辨析
 很多人都觉得无界和无穷大是同一个概念，因为它们的实在是太像了：画在坐标系上都是“直指苍穹🚀”或者“飞流直下三千尺”嘛！但是，“无界”准确来说不完全是这样。要准确辨析它们，需要回到它们的**定义**上：
 无穷大的定义：$\forall M > 0, \exists \delta>0$，当$0<|x-x_0|<\delta$时有$|f(x)|>M$，称$f(x)$是当$x\rightarrow x_0$时的无穷大量
@@ -364,14 +370,15 @@ $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$
 $\forall \delta>0, \exists x \in \mathring{U}(x_0,\delta)$有 $|f(x)|>M$，称$f(x)$是当$x\rightarrow x_0$时的无界量
 **核心区别**：无穷大是**存在某**去心邻域内**任意**$x$都大于$M$，无界是需要对**任意**邻域**存在**一个$x$使得$|f(x)|>M$
 **联系**：无穷大一定是无界量，但是无界量不一定是无穷大。
-> [!example] 示例1
+
+> [!example] 例1
 > 无穷震荡$\lim\limits_{x\rightarrow 0}{\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}}$
 
 ![[易错点10-1.png]]
 这个并不是无穷大——不管取的邻域有多小，我总能找到一个令$\sin\frac{1}{x}=0$的$x$，此时$\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}=0$。
 那这个是有界的吗？也不是。这就是典型的**不是无界量的无穷大**。
 
-> [!example] 示例2
+> [!example] 例2
 > 双子数列$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{n\cos n\pi}$
 
 总结：无穷大是在邻域内“一直都很大”，无界是邻域内“有很大的”
@@ -423,7 +430,6 @@ $$ \lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{
 **结论**：曲线的渐近线为 $x = 2$ 和 $y = 1$。
 
 
-
  >[!example] 例3
  >判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^2}{3^n}$ 的敛散性（绝对收敛、条件收敛或发散）。
 

编写小组/课前测/课前测4.md

@@ -1,14 +1,34 @@
-1. 设 $x_n = \frac{\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)}{n} + 1$，证明 $x_n \to 1$。
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+tags:
+  - 编写小组
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+1.设 $x_n = \frac{\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)}{n} + 1$，证明 $x_n \to 1$。
 
+```
 
 
 
-2. 函数 $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{若 } x \text{ 为有理数} \\ -x^2, & \text{若 } x \text{ 为无理数} \end{cases}$
+
+
+
+```
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+
+2.函数 $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{若 } x \text{ 为有理数} \\ -x^2, & \text{若 } x \text{ 为无理数} \end{cases}$
 求
 $$
 \lim_{x \to 0} f(x) 
 $$
+```
+
+
+
+
+
+
+
+```
 
 
 3.设$f(x)=\begin{cases} \frac{1}{|x|^{\alpha}}sin\frac{1}{x} \ \ ,x\neq0 \\ 0,\ \ \ x=0\end{cases}$在$x=0$处可导，则$\alpha$的取值范围是[   ].

编写小组/课后测/课后测4.md

@@ -1,21 +1,68 @@
+---
+tags:
+  - 编写小组
+---
+
 1.判断数列 $a_n = \frac{(-1)^n n}{n+1}$ 的收敛性。
 
+```
+
+
+
 
 
+```
+
 2.设数列 $\{a_n\}$ 的三个子列 $\{a_{2n}\}$、$\{a_{2n+1}\}$、$\{a_{3n+1}\}$ 均收敛，那么 $\{a_n\}$ 是否一定收敛？说明理由。
 
+```
+
+
+
 
 
+```
+
 3.设函数由参数方程 $\begin{cases} x = t + \arctan t \\ y = t - \ln(1+t^2) \end{cases}$ 确定，求 $dy$。
 
+```
+
+
+
 
 
+
+```
+
 4.求曲线 $f(x) = \frac{e^x}{x-1} + x$ 的渐近线。
 
+```
+
+
 
 
+
+```
+
 5.判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n\pi + \frac{\pi}{4})}{\sqrt{n^3+1}}$ 的敛散性。
 
+```
+
+
+
+
+
+
+```
 
 6.设函数$f(x)=\begin{cases}ax+b,x\ge1,\\ e^{\frac{1}{x}},0<x<1\end{cases}$在$x=1$处可导，则$a、b$的取值分别为$\_\_\_,\_\_\_$.
 
+```
+
+
+
+
+
+
+
+```

编写小组/课后测/课后测解析版4.md

@@ -22,4 +22,76 @@ $\{a_n\}$ **一定收敛**，理由如下：
      - $\{a_{3n+1}\}$ 中的奇数项子列（属于 $\{a_{2n+1}\}$）的极限 = $\{a_{3n+1}\}$ 的极限。  
    - 故 $\{a_{2n}\}$ 与 $\{a_{2n+1}\}$ 的极限相等。  
 
-综上，数列 $\{a_n\}$ 的偶数项子列和奇数项子列极限相同，因此 $\{a_n\}$ 收敛。
+综上，数列 $\{a_n\}$ 的偶数项子列和奇数项子列极限相同，因此 $\{a_n\}$ 收敛。
+
+
+
+
+3.设函数由参数方程 $\begin{cases} x = t + \arctan t \\ y = t - \ln(1+t^2) \end{cases}$ 确定，求 $dy$。
+
+---
+
+计算得
+
+$$ \frac{dx}{dt} = 1 + \frac{1}{1+t^2} $$
+
+$$ \frac{dy}{dt} = 1 - \frac{2t}{1+t^2} $$
+
+因此，
+
+$$ dy = \frac{1 - \frac{2t}{1+t^2}}{1 + \frac{1}{1+t^2}} dx = \frac{t^2 - 2t + 1}{t^2 + 2} dx $$
+
+或等价地，
+
+$$ dy = \left( 1 - \frac{2t}{1+t^2} \right) dt $$
+
+---
+
+
+4.求曲线 $f(x) = \frac{e^x}{x-1} + x$ 的渐近线。
+
+**提示**：
+1.  首先，函数在 $x = 1$ 处无定义，需考察 $\lim_{x \to 1} f(x)$。
+2.  其次，当 $x \to \infty$ 时，函数行为由 $x$ 主导，应考虑是否存在斜渐近线 $y = kx + b$，其中 $k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$，$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx)$。
+
+**答案**：
+铅直渐近线：$x = 1$（因 $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$， $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$）。
+斜渐近线：
+
+$$ k = \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = 1 $$
+
+$$ b = \lim_{x \to -\infty} (f(x) - x) = 1 $$
+
+故有 $y = x + 1$。
+
+该函数无水平渐近线
+
+
+
+---
+
+#### 三、滥用正项级数判别法于任意项级数
+
+
+5.判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n\pi + \frac{\pi}{4})}{\sqrt{n^3+1}}$ 的敛散性。
+
+
+**答案**：
+因为
+
+$$ \sin(n\pi + \frac{\pi}{4}) = (-1)^n \sin\frac{\pi}{4} = (-1)^n \frac{\sqrt{2}}{2} $$
+
+所以原级数为
+
+$$ \frac{\sqrt{2}}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n^3+1}} $$
+
+考虑其绝对值级数
+
+$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^3+1}} $$
+
+由于
+
+$$ \frac{1}{\sqrt{n^3+1}} < \frac{1}{n^{3/2}} $$
+
+且 $p=\frac{3}{2}>1$ 的 $p$-级数收敛，由比较判别法知该绝对值级数收敛。
+因此，原级数 **绝对收敛**。