M 素材/正交及二次型.md

素材/正交及二次型.md

@@ -134,12 +134,18 @@ $$\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2
 >满足条件的一组标准正交向量为：$$\boldsymbol{\alpha}_1 = \frac{1}{\sqrt{21}}\begin{bmatrix}2\\1\\4\\0\end{bmatrix},\quad\boldsymbol{\alpha}_2 = \frac{1}{3\sqrt{105}}\begin{bmatrix}-2\\20\\-4\\21\end{bmatrix}$$
 
 # Section 2  实对称矩阵的正交变换与二次型
-%%TODO: 合同%%
+## 实对称矩阵在相似变换时的特殊性
+
+## 正交变换及合同
+
+## 二次型
+
+![[二次型]]
 >[!danger] 待整合
 >与一个**实对称矩阵** 相似：特征值及其几何重数、代数重数相等
 >合同：惯性相同（正惯性指数、负惯性指数、0数都相同）且本身也是**实对称矩阵**.
 >即：如果 $\boldsymbol A$ 与 $\boldsymbol B$ 合同，且 $\boldsymbol A$ 是实对称矩阵，则 $\boldsymbol B$ 也是实对称矩阵。
->证明：$\boldsymbol B=\boldsymbol P^\mathrm T\boldsymbol A\boldsymbol P \Rightarrow \boldsymbol B^\mathrm T=(\boldsymbol P^\mathrm T\boldsymbol A\boldsymbol P)^\mathrm T=\boldsymbol P^\mathrm T\boldsymbol A^\mathrm T\boldsymbol P=\boldsymbol P\mathrm T\boldsymbol A\boldsymbol P$，即 $\boldsymbol B^\mathrm T=\boldsymbol B$
+>证明：$\boldsymbol B=\boldsymbol P^\mathrm T\boldsymbol A\boldsymbol P \Rightarrow \boldsymbol B^\mathrm T=(\boldsymbol P^\mathrm T\boldsymbol A\boldsymbol P)^\mathrm T=\boldsymbol P^\mathrm T\boldsymbol A^\mathrm T\boldsymbol P=\boldsymbol P^\mathrm T\boldsymbol A\boldsymbol P$，即 $\boldsymbol B^\mathrm T=\boldsymbol B$
 
 >[!example] 例题
 >已知三阶实对称矩阵 $\boldsymbol A$ 与 $\begin{bmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&-3\end{bmatrix}$ 相似，则下列矩阵中，与 $\boldsymbol A$ 相似但不合同的是