@ -134,3 +134,18 @@ $$\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2
>满足条件的一组标准正交向量为：$$\boldsymbol{\alpha}_1 = \frac{1}{\sqrt{21}}\begin{bmatrix}2\\1\\4\\0\end{bmatrix},\quad\boldsymbol{\alpha}_2 = \frac{1}{3\sqrt{105}}\begin{bmatrix}-2\\20\\-4\\21\end{bmatrix}$$
# Section 2 实对称矩阵的正交变换与二次型
%%TODO: 合同%%
>[!danger] 待整合
>与一个**实对称矩阵** 相似：特征值及其几何重数、代数重数相等
>合同： （ ）
>即：如果 $\boldsymbol A$ 与 $\boldsymbol B$ 合同，且 $\boldsymbol A$ 是实对称矩阵，则 $\boldsymbol B$ 也是实对称矩阵。
>证明：$\boldsymbol B=\boldsymbol P^\mathrm T\boldsymbol A\boldsymbol P \Rightarrow \boldsymbol B^\mathrm T=(\boldsymbol P^\mathrm T\boldsymbol A\boldsymbol P)^\mathrm T=\boldsymbol P^\mathrm T\boldsymbol A^\mathrm T\boldsymbol P=\boldsymbol P\mathrm T\boldsymbol A\boldsymbol P$，即 $\boldsymbol B^\mathrm T=\boldsymbol B$
>[!example] 例题
>已知三阶实对称矩阵 $\boldsymbol A$ 与 $\begin{bmatrix}2& 0& 0\\0& 1& 0\\0& 0& -3\end{bmatrix}$ 相似，则下列矩阵中，与 $\boldsymbol A$ 相似但不合同的是
>A. $\begin{bmatrix}1& 1& 1\\1& 1& 1\\1& 1& 1\end{bmatrix}$ B. $\begin{bmatrix}-3& 0& 0\\0& 1& 0\\0& 0& 2\end{bmatrix}$ C. $\begin{bmatrix}-3& 1& 1\\0& 1& 1\\0& 0& 2\end{bmatrix}$ D. $\begin{bmatrix}1& 0& 0\\0& -2& 0\\0& 0& 3\end{bmatrix}$
>[!note] 解析
>与一个**实对称矩阵** 相似：特征值及其几何重数、代数重数相等
>合同： （ ）
>C选项的特征值与 $\boldsymbol A$ 相同， ，
