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素材/特征值与相似.md

@@ -23,8 +23,8 @@ $$P=\begin{bmatrix}\boldsymbol\xi_1&\boldsymbol\xi_2&\cdots&\boldsymbol\xi_n\end
 1. 针对“迹”设问
 >[!hint] 提示
 >秩为$1$的矩阵$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$的特征值有如下特征：
->（1）$0$为其特征值，且代数重数和几何重数均为$n-1$；
->>证明：因为$r(A)=1<n$,所以$|A|=0$，故$0$是$A$的一个特征值。考虑齐次线性方程组$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$.由于$r(A)=1$，$\mathrm{dim}N(A)=n-1$，所以特征值$0$的几何重数为$n-1$。若$0$的代数重数为$n$，则 $A\sim O$,而相似必等价，故$r(A)=0$，矛盾。又代数重数必定不小于几何重数，所以$0$的代数重数为$n-1$。
+>（1）$0$为其特征值，且几何重数均为$n-1$，若$A$能相似对角化，则$0$的代数重数也为$n-1$；
+>>证明：因为$r(A)=1<n$,所以$|A|=0$，故$0$是$A$的一个特征值。考虑齐次线性方程组$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$.由于$r(A)=1$，$\mathrm{dim}N(A)=n-1$，所以特征值$0$的几何重数为$n-1$。若矩阵$A$能相似对角化，则代数重数与几何重数相等，也为$n-1$。若$A$不能相似对角化，则$0$的代数重数为$n$。
 >
 >（2）它的另一个特征值为 $\mathrm{tr}(A)$. 
 >>这个特征可以由“特征值之和等于矩阵的迹”得出.