特征值与相似

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 4. 相似矩阵特征值相等。
 
 ## 常见题型
-特征值常见的就是针对其性质进行设问
+##### 特征值常见的小题就是针对其性质进行设问。
 1. 针对“迹”设问
 >[!example] （[[线代2019秋A|2019]]）例题1
 设 $E$ 为 $3$ 阶单位矩阵，$\alpha$ 为一个 $3$ 维单位列向量，则矩阵 $E-\alpha\alpha^\text{T}$ 的全部 $3$ 个特征值为？（详解见[[特征值]]）
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 >根据这一条性质，我们求得矩阵 $B^{-1}-E$ 的所有特征值，进而求得行列式。
 >$f(x)=\frac{1}{x}-1$，则 $B^{-1}-E$ 的特征值为 $0,-\frac12, -\frac23,-\frac34$，相乘结果为 $0$，故答案为 $0$。
 
---- TODO: ADD MORE. --- 
+>[!example] （[[线代2022秋A|2022]]）例题3
+已知 $n$ 阶方阵$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$相似，$\boldsymbol{C}$与$\boldsymbol{D}$相似，则下列命题中正确的是【】
+A. $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{C}$与$\boldsymbol{B}+\boldsymbol{D}$相似.
+B. $\boldsymbol{AC}$与$\boldsymbol{BD}$相似.
+C. $\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{E}$与$\boldsymbol{B}^2+\boldsymbol{E}$相似.
+D. $\boldsymbol{A}^\text{T}+\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}^\text{T}+\boldsymbol{B}$相似.
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+>[!note] 解析
+>C选项是一个典型的 $f(A)\sim f(B)\ ,f(x)=x^2+1$ 结构，如果熟悉性质可以秒选
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+##### 特征值大题在设问时，往往回归“特征值”的本源，用特征多项式求解特征值，并应用特征值的性质。
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+>[!example] （[[线代2023秋A|2023]]）例题4
+>设矩阵 $A=\begin{bmatrix}3&1&2\\0&a&0\\2&b&3\end{bmatrix}$ 仅有两个相异特征值，且 $A$ 相似于对角矩阵，求 $a,b$， 并求可逆矩阵 $P$，使得$P^{-1}AP$ 为对角矩阵．
+
+>[!note] 解析
+>通过定义，求特征值：$\lambda E-A=\begin{bmatrix}\lambda-3&-1&-2\\0&\lambda-a&0\\-2&-b&\lambda-3\end{bmatrix}$,
+> $|\lambda E-A|=0 \Rightarrow (\lambda-a)(\lambda-5)(\lambda-1)=0$
+> $A$ 仅有两个相异特征值，说明 $a=5$ 或 $a=1$。
+> 如果 $a=5$：特征值 $5$ 的代数重数为 $2$；因为 $A$ 能相似对角化，所以相应的几何重数也为 $2$。
+> $3-\mathrm{rank}(5E-A)=2$，即$\mathrm{rank}\begin{bmatrix}2&-1&-2\\0&0&0\\-2&-b&2\end{bmatrix}=1$，求得 $b=-1$；对应的特征向量为$(1,2,0)^\mathrm{T},(1,0,1)^\mathrm{T}$；
+> 而 $3-\mathrm{rank}(E-A)=1$，即$\mathrm{rank}\begin{bmatrix}-2&-1&-2\\0&4&0\\-2&b&-2\end{bmatrix}=2$，满足条件，对应的特征向量是 $(-1,0,1)^\mathrm{T}$；
+> 因此，$P=\begin{bmatrix}1&1&-1\\2&0&0\\0&1&1\end{bmatrix}$。
+> 如果 $a=1$：特征值 $1$ 的代数重数为 $2$；因为 $A$ 能相似对角化，所以相应的几何重数也为 $2$。
+> $3-\mathrm{rank}(E-A)=1$，即$\mathrm{rank}\begin{bmatrix}-2&-1&-2\\0&0&0\\-2&-b&-2\end{bmatrix}=1$，求得 $b=1$，对应的特征向量为$(1,-2,0)^\mathrm{T},(1,0,-1)^\mathrm{T}$；
+> 而 $3-\mathrm{rank}(5E-A)=1$，即$\mathrm{rank}\begin{bmatrix}-2&-1&-2\\0&4&0\\-2&b&-2\end{bmatrix}=2$，满足条件，对应的特征向量是 $(1,0,1)^\mathrm{T}$；
+> 因此，$P=\begin{bmatrix}1&1&1\\-2&0&0\\0&-1&1\end{bmatrix}$。