vault backup: 2026-01-21 16:05:55

编写小组/讲义/矩阵相似变换（解析版）.md

@@ -505,7 +505,8 @@ D. $\boldsymbol{A}^\text{T}+\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}^\text{T}+\boldsymb
 
 >[!note] 证明：
 >必要性：若 $\boldsymbol A^2=\boldsymbol A$，则 $\boldsymbol A^2-\boldsymbol A=\boldsymbol A(\boldsymbol A-\boldsymbol E)=\boldsymbol O$, 由秩的不等式知 $\text{rank}(\boldsymbol A)+\text{rank}(\boldsymbol A-\boldsymbol E)\le n$, 又有 $\text{rank}(\boldsymbol A)+\text{rank}(\boldsymbol A-\boldsymbol E)\ge\text{rank}(\boldsymbol A-(\boldsymbol A-\boldsymbol E))=n$, 故 $\text{rank}(\boldsymbol A)+\text{rank}(\boldsymbol A-\boldsymbol E)=n.$
->充分性：若 $\text{rank}\boldsymbol A+\text{rank}(\boldsymbol A-\boldsymbol E)=n$，设 $\text{rank}\boldsymbol A=r,\text{rank}(\boldsymbol A-\boldsymbol E)=n-r.$
+>充分性：考虑 $\boldsymbol A=E$ 和 $\boldsymbol A=\boldsymbol O$ 的情况，显然成立 
+>若 $\text{rank}\boldsymbol A+\text{rank}(\boldsymbol A-\boldsymbol E)=n$，设 $\text{rank}\boldsymbol A=r(0<r<n),\text{rank}(\boldsymbol A-\boldsymbol E)=n-r.$
 >考虑齐次线性方程组 $\boldsymbol A \boldsymbol x=\boldsymbol 0$ 和 $(\boldsymbol A-\boldsymbol E)\boldsymbol x=\boldsymbol 0$, 则前一方程组解空间的维数是 $n-r$, 后一方程组解空间的维数是 $r$, 故 $0$ 和 $1$ 是矩阵 $\boldsymbol A$ 的特征值，且几何重数分别为 $r$ 和 $n-r$，从而代数重数也必须分别是 $r$ 和 $n-r$, 否则会导致代数重数之和大于 $n$. 所以 $\boldsymbol A$ 的特征值只能是 $0$ 或 $1$，于是存在可逆矩阵 $\boldsymbol P$，使得 $\boldsymbol P^{-1}\boldsymbol A\boldsymbol P=\begin{bmatrix}\boldsymbol E_r&\\ & \boldsymbol O_{n-r}\end{bmatrix}$.于是 $$\begin{aligned}\boldsymbol P^{-1}\boldsymbol A^2\boldsymbol P=(\boldsymbol P^{-1}\boldsymbol A\boldsymbol P)^2=&\left(\begin{bmatrix}\boldsymbol E_r&\\ & \boldsymbol O_{n-r}\end{bmatrix}\right)^2=\begin{bmatrix}\boldsymbol E_r&\\ & \boldsymbol O_{n-r}\end{bmatrix}=\boldsymbol P^{-1}\boldsymbol A\boldsymbol P\\&\implies \boldsymbol A^2=\boldsymbol A\end{aligned}.$$
 ##### 4. 矩阵转置自乘及相关的同解问题
 >[!hint] 相关知识点