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@ -1,15 +1,15 @@
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## **通用解题框架**：$AB = kA + lB + C$型等式证明 AB=BA
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步骤1：等式变形，构造因式分解
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**步骤1**：等式变形，构造因式分解
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把给定的等式 $AB = kA + lB + C$ 整理成可以因式分解的形式。
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移项：$AB - kA - lB = C$
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凑因子：在等式两边加上 $klE$，凑出 $(A - lE)(B - kE)$
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$(A - lE)(B - kE) = C + klE$
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这样就把等式转化为两个矩阵的乘积等于一个常数矩阵的形式。
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步骤 2：证明矩阵可逆
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**步骤 2**：证明矩阵可逆
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如果上一步得到的右边 $C + klE$ 是可逆矩阵（如单位矩阵 E、非零常数乘以 E），则：
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$(A - lE)$ 和 $(B - kE)$ 互为逆矩阵，即 $(A - lE)(B - kE) = (B - kE)(A - lE)$
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若右边不是单位矩阵，但仍是可逆矩阵，同样能得到 $(A - lE)$ 与 $(B - kE)$ 可交换。
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步骤 3：展开等式，推导 AB=BA
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**步骤 3**：展开等式，推导 AB=BA
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把步骤2得到的可交换等式 $(A - lE)(B - kE) = (B - kE)(A - lE)$展开：
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$AB - kA - lB + klE = BA - lB - kA + klE$
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两边消去相同项$-kA - lB + klE$ ，直接得到：
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@ -112,4 +112,21 @@ $$
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0 & 0 & 1
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\end{bmatrix}.
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$$
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于是
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于是
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$$
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A = B(B - E)^{-1} = \begin{bmatrix}
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1 & -3 & 0 \\
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2 & 1 & 0 \\
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0 & 0 & 2
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\end{bmatrix}
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\begin{bmatrix}
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0 & \frac12 & 0 \\[2pt]
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-\frac13 & 0 & 0 \\[2pt]
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0 & 0 & 1
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\end{bmatrix}
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= \begin{bmatrix}
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1 & \frac12 & 0 \\[2pt]
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-\frac13 & 1 & 0 \\[2pt]
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0 & 0 & 2
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|
\end{bmatrix}.
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|
$$
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