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素材/谏学高数者十思疏.md

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-学高数者，诚能见等价，则思加减不能替；将有洛，则思代换以化简；念复合，则思漏层而求导；惧积分，则思不定以加C；乐微分，则思dx而莫忘；忧定积，则思牛莱而相减；虑换元，则思积分上下限；惧级数，则思判别勿用错；项所加，则思无因忽以谬导；式所及，则思无以线而滥用。总此十思，宏兹九章，简能而任之，择善而从之，则牛顿尽其谋，莱氏竭其力，泰勒播其惠，柯西效其忠。文理争驰，学生无事，可以尽数分之乐，可以养高代之寿。
+学高数者，诚能见等价，则思加减不能替；将有洛，则思代换以化简；念复合，则思漏层而求导；惧积分，则思不定以加C；乐微分，则思dx而莫忘；忧定积，则思牛莱而相减；虑换元，则思积分上下限；惧级数，则思判别勿用错；项所加，则思无因忽以谬导；拐所及，则思无因x而漏y。总此十思，宏兹九章，简能而任之，择善而从之，则牛顿尽其谋，莱氏竭其力，泰勒播其惠，柯西效其忠。文理争驰，学生无事，可以尽数分之乐，可以养高代之寿。

编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md

@@ -129,6 +129,14 @@ $U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3
 >合同：惯性相同（正惯性指数、负惯性指数、$0$数都相同）且本身也是**实对称矩阵**
 > $C$ 选项的特征值与 $A$ 相同，然而, $C$ 选项的矩阵不是对称矩阵
 
+>[!faq] 思考
+>如果一个合同变换不改变特征值，那么这个合同变换一定是正交变换吗？
+
+>[!done] 思考结论
+>**不一定！**
+>举个例子：椭圆 $f(x_1,x_2)=x_1^2+4x_2^2$，其矩阵为 $A=\begin{bmatrix}1&0\\0&4\end{bmatrix}$，特征值为 $1,4$；
+>取变换矩阵 $P=\begin{bmatrix}2&0\\0&\frac12\end{bmatrix}$，$B=P^\mathrm TAP=\begin{bmatrix}4&0\\0&1\end{bmatrix}$，$A$ 与 $B$ 特征值相同，但是显然 $P$ 不是正交矩阵；
+>从几何意义来说，我们可以这样想象：这个坐标系的 $x_1$ 轴缩短至原来的 $\frac12$， $x_2$ 轴 拉长至原来的 $2$ 倍，得到的结果是 $4y_1^2+y_2^2$，形状与原来相同（在代数上体现为特征值不变）
 ## 二次型
 
 二次型，顾名思义，就是二次函数，只不过是 $n$ 元函数，当元数比较小时，我们可以清楚地画出它的图像，判断其几何形状，推得相应对的性质，然而一旦维度升高，我们是无法想象其空间几何构型的，只能从代数的角度了解其性质。因此引入二次型矩阵的概念，通过描述矩阵性质，进而得出函数的性质。
@@ -199,6 +207,9 @@ $U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3
 >1. 求特征值和特征向量；
 >2. 把特征向量拼接起来成为变换矩阵；
 >3. 或者把特征向量标准正交化，再拼接起来成为正交变换矩阵。
+
+>[!bug] 问题排查
+>在求特征向量的时候，可以检查不同特征值的特征向量是否正交：如果不正交，则求得的结果一定是错误的。可以用这种方法来快速排查潜在的错误。
 ##### 求标准形
 1. 已知二次型（直接求）
 >[!example] （[[线代2022秋B|2022]]）例题
@@ -320,10 +331,10 @@ $U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3
 > $\boldsymbol x=\boldsymbol{Cy},\boldsymbol x=\boldsymbol C\begin{bmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\boldsymbol z$，从而$$\boldsymbol x=\boldsymbol C\begin{bmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}z_1\\z_2\\z_3\end{bmatrix}=\boldsymbol C\begin{bmatrix}-z_2\\-z_1\\z_3\end{bmatrix},$$于是此变换下标准型为$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=4(-z_2)^2-\frac{1}{2}(-z_1)^2=-\frac{1}{2}z_1^2+4z_2^2.$
 
 >[!done] 该解法的底层逻辑
->记 $\boldsymbol x=(x_1,x_2,x_3)^T,\boldsymbol y=(y_1,y_2,y_3)^T,\boldsymbol z=(z_1,z_2,z_3)^T, C=\begin{bmatrix}1&2&2\\0&1&2\\0&2&1\end{bmatrix},D=\begin{bmatrix}-2 & -1 & 2\\-1 & 0 & 2\\-2 & 0 & 1\end{bmatrix},$
->$\boldsymbol x=C\boldsymbol y\Rightarrow \boldsymbol y=C^{-1}\boldsymbol x$
+>记 $\boldsymbol x=(x_1,x_2,x_3)^T,\boldsymbol y=(y_1,y_2,y_3)^T,\boldsymbol z=(z_1,z_2,z_3)^T, C=\begin{bmatrix}1&2&2\\0&1&2\\0&2&1\end{bmatrix},D=\begin{bmatrix}-2 & -1 & 2\\-1 & 0 & 2\\-2 & 0 & 1\end{bmatrix}$，
+>$\boldsymbol x=C\boldsymbol y\Rightarrow\boldsymbol y=C^{-1}\boldsymbol x$
 >所以 $\boldsymbol y=C^{-1}D\boldsymbol z=\begin{bmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\boldsymbol z$，
->这个就是该解法中那个“魔法矩阵”的来源—— $D$ 是 $C$ 经过 $3$ 次初等列操作的结果. 如果能注意到这一点，那么对 $C^{-1}D$ 的计算将非常快——直接像解法那样写就好了.
+>这个就是该解法中那个“魔法矩阵”的来源—— $D$ 是 $C$ 经过 $3$ 次初等列变换的结果. 如果能注意到这一点，那么对 $C^{-1}D$ 的计算将非常快——直接像解法那样写就好了.
 >$f(x_1,x_2,x_3)=\boldsymbol y^\mathrm T\begin{bmatrix}4&0&0\\0&-\frac{1}{2}&0\\0&0&0\end{bmatrix}\boldsymbol y=\boldsymbol z^\mathrm T\begin{bmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}^\mathrm T\begin{bmatrix}4&0&0\\0&-\frac{1}{2}&0\\0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\boldsymbol z$
 >$=\boldsymbol z^\mathrm T\begin{bmatrix}-\frac{1}{2}&0&0\\0&4&0\\0&0&0\end{bmatrix}\boldsymbol z=-\dfrac{1}{2}z_1^2+4z_2^2$
 

试卷库/线性代数期末真题/线代2014秋A.md

@@ -168,7 +168,6 @@ $$
 \left[\left(\frac{1}{2} A\right)^{\mathrm{*}}\right]^{-1}BA^{-1} = 2AB + 4E,
 $$
 
-且$A^{*}\alpha = \alpha$，其中$\alpha = (1,1,-1)^{\mathrm{T}}$，$A^{*}$为$A$的伴随矩阵，求二次型$x^{\mathrm{T}}Bx$的表达式。
 
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