vault backup: 2026-01-18 17:32:15

试卷库/线性代数/线代2011秋A.md

@@ -0,0 +1,179 @@
+# 2011—2012学年秋季学期《线性代数》考试试卷（A）卷
+
+**考试形式：闭卷**  
+**考试时间：150分钟**  
+**满分：100分**
+
+---
+
+## 一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
+
+1. 已知3阶矩阵  
+$$
+   A = \begin{bmatrix}
+   1 & 0 & 1 \\
+   0 & 2 & 0 \\
+   1 & 0 & 1
+   \end{bmatrix},
+$$
+   且正整数$n \geq 2$，则$A^n - 2A^{n - 1} =$__________。
+
+2. 已知矩阵$A$的逆矩阵  
+$$
+   A^{-1} = \begin{bmatrix}
+   0 & 0 & 2 \\
+   3 & 1 & 0 \\
+   5 & 2 & 0
+   \end{bmatrix},
+$$
+   则$\left(\dfrac{1}{2} A^*\right)^{-1} =$__________。
+
+3. 已知4阶矩阵$A$和$B$的列向量组分别为$a_1, a_2, a_3, a_4$和$\beta , a_2, a_3, a_4$，且$|A| = 4$，$|B| = 1$，则$|A + B| =$__________。
+
+4. 设$A = [a_{ij}]_{3\times 3}$是正交矩阵，且$b = (1,0,0)^T$，$a_{11} = 1$，则$Ax = b$有一个解是 __________。
+
+5. 设$n$阶实对称矩阵$A$的特征值为$\dfrac{1}{n}, \dfrac{2}{n}, \dots , 1$，则当$\lambda$__________ 时，$A - \lambda E$为正定矩阵。
+
+6. 线性空间$V = \{ A \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid A \text{ 为反对称矩阵} \}$的维数为 __________。
+
+---
+
+## 二、单选题（共6小题，每小题3分，共18分）
+
+1. 设  
+$$
+   A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix} a & 1 \\ 2 & b \end{bmatrix},
+$$
+$A$与$B$可交换的充要条件是（ ）。
+
+   - (A)$a = b - 1$
+   - (B)$a = b + 1$
+   - (C)$a = b$
+   - (D)$a = 2b$
+
+2. 设$n$阶非零矩阵$A$满足$A^{3} = 0$，则（ ）。
+
+   - (A)$E - A$不可逆，$E + A$不可逆  
+   - (B)$E - A$可逆，$E + A$不可逆  
+   - (C)$E - A$不可逆，$E + A$可逆  
+   - (D)$E - A$可逆，$E + A$可逆
+
+3. 设$A,B$均为$m\times n$矩阵，给定下面四个命题：  
+   ① 若$A x = 0$的解均是$B x = 0$的解，则$\mathrm{rank}A \geq \mathrm{rank}B$；  
+   ② 若$\mathrm{rank}A \geq \mathrm{rank}B$，则$A x = 0$的解均是$B x = 0$的解；  
+   ③ 若$A x = 0$与$B x = 0$同解，则$\mathrm{rank}A = \mathrm{rank}B$；  
+   ④ 若$\mathrm{rank}A = \mathrm{rank}B$，则$A x = 0$与$B x = 0$同解。  
+   则上述命题正确的是（ ）。
+
+   - (A) ①②  
+   - (B) ①③  
+   - (C) ②④  
+   - (D) ③④
+
+4. 设$n$阶可逆矩阵$A$的伴随矩阵为$A^{*}$，$n\geq 2$，互换$A$的第一行与第二行得到矩阵$B$，则（ ）。
+
+   - (A) 互换$A^{*}$的第一列与第二列得到$B^{*}$
+   - (B) 互换$A^{*}$的第一行与第二行得到$B^{*}$
+   - (C) 互换$A^{*}$的第一列与第二列得到$-B^{*}$
+   - (D) 互换$A^{*}$的第一行与第二行得到$-B^{*}$
+
+5. 已知$\eta_{1},\eta_{2}$是非齐次线性方程组$A x = b$的两个不同解，$\xi_{1},\xi_{2}$是对应的齐次线性方程组$A x = 0$的基础解系，$k_{1},k_{2}$为任意常数，则$A x = b$的通解必是（ ）。
+
+   - (A)$k_{1}\xi_{1} + k_{2}(\xi_{1} + \xi_{2}) + \dfrac{\eta_{1} - \eta_{2}}{2}$
+   - (B)$k_{1}\xi_{1} + k_{2}(\xi_{1} - \xi_{2}) + \dfrac{\eta_{1} + \eta_{2}}{2}$
+   - (C)$k_{1}\xi_{1} + k_{2}(\eta_{1} + \eta_{2}) + \dfrac{\eta_{1} - \eta_{2}}{2}$
+   - (D)$k_{1}\xi_{1} + k_{2}(\eta_{1} - \eta_{2}) + \dfrac{\eta_{1} + \eta_{2}}{2}$
+
+6. 已知$A$是4阶矩阵，且$\mathrm{rank}(3E - A) = 2$，则$\lambda = 3$是$A$的（ ）。
+
+   - (A) 一重特征值  
+   - (B) 二重特征值  
+   - (C)$k$重特征值，$k\geq 2$
+   - (D)$k$重特征值，$k\leq 2$
+
+---
+
+## 三、（10分）计算$n$阶行列式
+
+$$
+D_n = \begin{vmatrix}
+1 + a_1 & a_1 & a_1 & \cdots & a_1 \\
+a_2 & 1 + a_2 & a_2 & \cdots & a_2 \\
+a_3 & a_3 & 1 + a_3 & \cdots & a_3 \\
+\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+a_n & a_n & a_n & \cdots & 1 + a_n
+\end{vmatrix}
+$$
+
+**专业：** __________  
+**年级：** __________  
+**学院：** __________  
+**姓名：** __________  
+**学号：** __________
+
+---
+
+## 四、（10分）设  
+$$
+A = \begin{bmatrix}
+1 & 1 & -1 \\
+-1 & 1 & 1 \\
+1 & -1 & 1
+\end{bmatrix},
+$$
+$A^{*}X = A^{- 1} + 2X$，求矩阵$X$。
+
+---
+
+## 五、（10分）已知齐次线性方程组 (I) 的基础解系为
+
+$$
+\xi_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix},\quad
+\xi_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix},
+$$
+
+齐次线性方程组 (II) 的基础解系为
+
+$$
+\eta_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix},\quad
+\eta_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix},
+$$
+
+试求方程组 (I) 和 (II) 的公共解。
+
+---
+
+## 六、（10分）设$p_1, p_2$分别是$n$阶矩阵$A$对应于特征值$\lambda_1, \lambda_2$的特征向量，$\lambda_1 \neq \lambda_2$，证明$p_1 + p_2$必不是$A$的特征向量。
+
+---
+
+## 七、（12分）设
+
+$$
+a_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix},\ 
+a_{2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix},\ 
+a_{3} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ a \end{bmatrix},
+$$
+$$
+\beta_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ a + 1 \end{bmatrix},\ 
+\beta_{2} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 2a \end{bmatrix},\ 
+\beta_{3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{bmatrix}.
+$$
+
+试问：当$a$为何值时，向量组$a_{1},a_{2},a_{3}$与向量组$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}$等价？当$a$为何值时，向量组$a_{1},a_{2},a_{3}$与向量组$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}$不等价？
+
+---
+
+## 八、（12分）已知二次型
+
+$$
+f(x_{1},x_{2},x_{3}) = ax_{1}^{2} + ax_{2}^{2} + 6x_{3}^{2} + 8x_{1}x_{2} - 4x_{1}x_{3} + 4x_{2}x_{3} \quad (a > 0)
+$$
+
+通过正交变换可以化为标准形$7y_{1}^{2} + 7y_{2}^{2} - 2y_{3}^{2}$，求参数$a$及所用的正交变换。
+
+---
+
+**注意：**  
+1. 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效。  
+2. 密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记。