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微分中值定理与定积分中值定理的综合运用：.md

@@ -0,0 +1,12 @@
+经过对近十年的期末测试题的观察，微分中值定理通常不会单独出题，而是与积分中值定理一起出，本模块旨在通过几道经典的题目，让同学们熟悉微分中值与定积分中值的综合运用。
+首先我们来回顾定积分中值定理：
+>[!note] 定理
+>如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则在积分区间$[a,b]$上至少有一点$\xi$，使
+>$$\int_{a}^{b}f(x) \mathrm{d} x=f(\xi)(b-a)\qquad(a\le\xi\le b)$$
+
+>[!example] 例题1
+>已知函数$f(x)$在$[0,2]$上可导，且$f(0)=0$，$\large{\int}_{1}^{2}f(x)\mathrm{d}x=0$.  证明：至少存在$\xi\in(0,2)$，使得$f'(\xi)=2022f(\xi)$
+
+>[!example] 例题2
+>设函数$f(x)$在闭区间$[0,2]$上可导，且$\large{\int}_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x=0$.证明：至少存在一点$\xi\in(0,2)$，使得$f'(\xi)=\frac{2}{2-\xi}f(\xi)$
+

编写小组/讲义/线性方程组的解与秩的不等式.md

@@ -407,9 +407,9 @@ $$
 #### 2. 再证$\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(B)$
 
 - 考虑$C$的行向量：  
-  设$A = \begin{bmatrix} a_1^T \\ a_2^T \\ \vdots \\ a_m^T \end{bmatrix}$，则  
+  设$A = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_m \end{bmatrix}$，则  
  $$
-  C = \begin{bmatrix} a_1^T B \\ a_2^T B \\ \vdots \\ a_m^T B \end{bmatrix}.
+  C = \begin{bmatrix} a_1 B \\ a_2 B \\ \vdots \\ a_m B \end{bmatrix}.
  $$
   因此$C$的每一行都是$B$的行向量的线性组合。  
 - 所以$C$的行空间是$B$的行空间的子空间，故  
@@ -490,15 +490,6 @@ $$
 $$
 这是因为$M$左上块为$A$，右下块为$B$，中间有单位矩阵，所以$A$和$B$的秩可以同时取到。
 
-更严格地，我们可以直接写：
-$$
-\operatorname{rank}(M) \ge \operatorname{rank}\begin{bmatrix}
-A \\
-I_n
-\end{bmatrix} + \operatorname{rank}\begin{bmatrix}
-I_n & B
-\end{bmatrix} - n
-$$
 但更简单的常用方法是利用：
 $$
 \operatorname{rank}\begin{bmatrix}
@@ -511,16 +502,7 @@ $$
 ---
 
 #### 4. 从变换后的矩阵得到下界
-观察变换后的矩阵：
-$$
-\operatorname{rank}\begin{bmatrix}
-A & -AB \\
-I_n & O
-\end{bmatrix}
-\ge \operatorname{rank}\begin{bmatrix}
-I_n & O
-\end{bmatrix} + \operatorname{rank}([-AB])
-$$
+
 实际上更直接的方法是注意到：
 $$
 \operatorname{rank}\begin{bmatrix}
@@ -530,7 +512,7 @@ I_n & O
 = \operatorname{rank}\begin{bmatrix}
 O & -AB \\
 I_n & O
-\end{bmatrix} \quad (\text{列变换})
+\end{bmatrix} \quad (\text{行变换})
 $$
 即：
 $$

编写小组/讲义/线性方程组的解与秩的不等式（解析版）.md

@@ -436,9 +436,9 @@ $$
 #### 2. 再证$\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(B)$
 
 - 考虑$C$的行向量：  
-  设$A = \begin{bmatrix} a_1^T \\ a_2^T \\ \vdots \\ a_m^T \end{bmatrix}$，则  
+  设$A = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_m \end{bmatrix}$，则  
  $$
-  C = \begin{bmatrix} a_1^T B \\ a_2^T B \\ \vdots \\ a_m^T B \end{bmatrix}.
+  C = \begin{bmatrix} a_1 B \\ a_2 B \\ \vdots \\ a_m B \end{bmatrix}.
  $$
   因此$C$的每一行都是$B$的行向量的线性组合。  
 - 所以$C$的行空间是$B$的行空间的子空间，故  
@@ -519,15 +519,6 @@ $$
 $$
 这是因为$M$左上块为$A$，右下块为$B$，中间有单位矩阵，所以$A$和$B$的秩可以同时取到。
 
-更严格地，我们可以直接写：
-$$
-\operatorname{rank}(M) \ge \operatorname{rank}\begin{bmatrix}
-A \\
-I_n
-\end{bmatrix} + \operatorname{rank}\begin{bmatrix}
-I_n & B
-\end{bmatrix} - n
-$$
 但更简单的常用方法是利用：
 $$
 \operatorname{rank}\begin{bmatrix}
@@ -540,16 +531,7 @@ $$
 ---
 
 #### 4. 从变换后的矩阵得到下界
-观察变换后的矩阵：
-$$
-\operatorname{rank}\begin{bmatrix}
-A & -AB \\
-I_n & O
-\end{bmatrix}
-\ge \operatorname{rank}\begin{bmatrix}
-I_n & O
-\end{bmatrix} + \operatorname{rank}([-AB])
-$$
+
 实际上更直接的方法是注意到：
 $$
 \operatorname{rank}\begin{bmatrix}
@@ -559,7 +541,7 @@ I_n & O
 = \operatorname{rank}\begin{bmatrix}
 O & -AB \\
 I_n & O
-\end{bmatrix} \quad (\text{列变换})
+\end{bmatrix} \quad (\text{行变换})
 $$
 即：
 $$
@@ -645,4 +627,3 @@ D =
 0 & 1 & 0 & 0
 \end{pmatrix}$$
 **答案**： (B) 12  
-