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@ -469,7 +469,7 @@ $$\begin{aligned}
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$$\left. \frac{dl}{dt} \right|_{x=1} = \frac{2\cdot 1 + 1}{2\sqrt{1^2 + 1}} \cdot v = \frac{3}{2\sqrt{2}} \cdot v = \frac{3v}{2\sqrt{2}}$$
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有理化：$\frac{3v}{2\sqrt{2}} = \frac{3v\sqrt{2}}{4}$
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有理化得：$$\frac{3v}{2\sqrt{2}} = \frac{3v\sqrt{2}}{4}$$
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答案：
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@ -484,19 +484,11 @@ $$\left. \frac{dl}{dt} \right|_{x=1} = \frac{2\cdot 1 + 1}{2\sqrt{1^2 + 1}} \cdo
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>[!example] 例题
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>半径为$a$的球渐渐沉入盛有部分水的半径为$b(b>a)$的圆柱形容器中.若球以匀速$c$下沉，求：球浸没一半时，容器内水面上升的速率.
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>（A）$\frac{a^2c}{b^2}$
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>（B）$\frac{a^c}{b^2-a^2}$
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>（C）$\frac{a^2c}{2b^2}$
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>（D）$\frac{a^2c}{b^2+a^2}$
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解：主要的等量关系是：球浸入水中的体积与水“溢出”的体积相同（如果把水面上升视为溢出的话）。设时间为$t$，球下沉的体积为$V$，水上升的高度为$H$，球浸入水的高度为$h$，则有$$V=\pi h^2(a-\frac{h}{3}),dV=(2\pi ah-\pi h^2)dh=\pi h(2a-h)dh$$（这个公式大家可以记住）
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且（如图）$$dV=\pi(b^2-a^2+(a-h)^2)dH$$
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![[球浸入水示意图.jpg]]
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于是$$\pi(b^2-a^2+(a-h)^2)dH=\pi h(2a-h)dh$$$$dH=\frac{h(2a-h)}{b^2-2ah+h^2}dh$$$$\frac{dH}{dt}=\frac{h(2a-h))}{b^2-2ah+h^2}\frac{dh}{dt}$$而$\frac{dh}{dt}=c,h=a$，故$$\frac{dH}{dt}=\frac{a^2c}{b^2-a^2}$$
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选B.
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### 应用题期中真题
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