M 编写小组/讲义/正交及二次型.md 编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md

编写小组/讲义/正交及二次型.md

@@ -309,9 +309,13 @@ $U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3
 
 ```
 
+
 >[!done] 思考题结论
 >“保持几何度量”体现在代数中最直观常用的就是变换后向量长度不变。
->>证明：对于正交矩阵 $P$，若 $\boldsymbol x=P\boldsymbol y$ $\|\boldsymbol x\|$
+>>证明：对于正交矩阵 $P$，若 $\boldsymbol x=P\boldsymbol y$，
+>>则 $\left<\boldsymbol x,\boldsymbol x\right>=\boldsymbol x^\mathrm T\boldsymbol x=(P\boldsymbol y)^\mathrm T(P\boldsymbol y)=\boldsymbol y^\mathrm TP^\mathrm TP\boldsymbol y=\boldsymbol y^\mathrm T\boldsymbol y=\left<y,y\right>$
+>>即 $\|\boldsymbol x\|=\|\boldsymbol y\|$
+>除此之外还有向量夹角保持不变，在不学习空解的情况下基本用不到.
 
 配方法化标准形考察较少，此方法熟悉即可：
 >[!example] 例题

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@@ -285,7 +285,10 @@ $$\|\boldsymbol{\gamma}_3\|=\sqrt{\dfrac{3}{2}},\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfra
 
 >[!done] 思考题结论
 >“保持几何度量”体现在代数中最直观常用的就是变换后向量长度不变。
->>证明：对于正交矩阵 $P$，若 $\boldsymbol x=P\boldsymbol y$ $\|\boldsymbol x\|$
+>>证明：对于正交矩阵 $P$，若 $\boldsymbol x=P\boldsymbol y$，
+>>则 $\left<\boldsymbol x,\boldsymbol x\right>=\boldsymbol x^\mathrm T\boldsymbol x=(P\boldsymbol y)^\mathrm T(P\boldsymbol y)=\boldsymbol y^\mathrm TP^\mathrm TP\boldsymbol y=\boldsymbol y^\mathrm T\boldsymbol y=\left<y,y\right>$
+>>即 $\|\boldsymbol x\|=\|\boldsymbol y\|$
+>除此之外还有向量夹角保持不变，在不学习空解的情况下基本用不到.
 
 配方法化标准形考察较少，此方法熟悉即可：
 >[!example] 例题