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素材/正交矩阵和施密特正交化法.md

@@ -75,7 +75,7 @@ $$\boldsymbol A^{-1} = \frac{1}{|A|}\boldsymbol{A}^*$$
 $$\boldsymbol{A}^T= \frac{1}{|A|}\boldsymbol A^*$$
 正交矩阵的行列式满足 $\frac{1}{|A|} =±1$，故
 $A^*={|A|}A^T=±A^T$ 
-由伴随矩阵的定义，其第 (j,i)元为 aij​的代数余子式 Aij​，而 ±AT的第 (j,i)元为 ±aij​。比较对应元素得
+由伴随矩阵的定义，其第 (j,i)元为 $a_{ij}$​的代数余子式 $A_{ij}$​，而 $±A^T$的第 (j,i)元为 $±a_{ij}$​。比较对应元素得
 $$A_{ij}​=±a_{ij}​,i,j=1,2,…,n.$$
 证毕
 
@@ -93,21 +93,20 @@ $$\begin{align*}
 \boldsymbol{u}_k &= \boldsymbol{\alpha}_k - \sum_{i=1}^{k-1}\frac{\langle\boldsymbol{\alpha}_k,\boldsymbol{u}_i\rangle}{\langle\boldsymbol{u}_i,\boldsymbol{u}_i\rangle}\boldsymbol{u}_i,\quad k=2,3,\dots,p.
 \end{align*}$$
 单位化过程
-$$\boldsymbol{\varepsilon}_1 = \frac{\boldsymbol{\alpha}_1}{\|\boldsymbol{\alpha}_1\|}$$
 $$\boldsymbol{\varepsilon}_k = \frac{\boldsymbol{u}_k}{\|\boldsymbol{u}_k\|},\quad 
-k=2,3,\dots,p$$
+k=1,2,3,\dots,p$$
 
 ### **例子**
 >[!example] **例1**
-已知 为欧氏空间 V 的一组标准正交基，令$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_5$ $$\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3,\quad
+已知 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_5$ 为欧氏空间 V 的一组标准正交基，令$$\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3,\quad
 \boldsymbol{\beta}_2 = \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_4,\quad
 \boldsymbol{\beta}_3 = 2\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3,$$
 $U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3\}$求 U 的一个标准正交基。
 
-**解析**。
+**解析**：
  施密特正交化
 步骤1：正交化
-取$$ \boldsymbol{\gamma}_1=\boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3
+取$$ \boldsymbol{\gamma}_1=\boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3,\ \ 
 \boldsymbol{\gamma}_2=\boldsymbol{\beta}_2-\dfrac{\langle\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle}{\langle\boldsymbol{\gamma}_1,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle}\boldsymbol{\gamma}_1$$$$\langle\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle=1,\quad
 \langle\boldsymbol{\gamma}_1,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle=2$$
 $$\boldsymbol{\gamma}_2=\frac{1}{2}\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2-\frac{1}{2}\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4$$
@@ -142,7 +141,7 @@ $$\begin{cases}
 \langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{\alpha}_3\rangle = x_1 - 2x_2 + 2x_4 = 0\\
 \langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{\alpha}_4\rangle = 2\sqrt{6}x_1 - \sqrt{6}x_3 - \sqrt{6}x_4 = 0 \implies 2x_1 - x_3 - x_4 = 0
 \end{cases}$$
-解上述齐次方程组，基础解系，得到两个线性无关的解：
+解上述齐次方程组,得到两个线性无关的解：
 $$\boldsymbol{\xi}_1=(2,1,4,0)^T,\quad
 \boldsymbol{\xi}_2=(0,1,0,1)^T$$
 正交化

编写小组/讲义/微分中值定理.md

@@ -140,7 +140,7 @@ $$
 ```
 
 >[!example] 例3  
-设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上可导，且$f(1) = 2\sqrt{e}\int_0^{1/2} e^{1-x} f(x) dx$
+设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上可导，且$f(1) = 2\sqrt{e}\int_0^{1/2} e^{\frac{x^2}{2}-x} f(x) dx$
 证明：存在 $\xi \in (0, 1)$ 使得：$f'(\xi) = (1-\xi) f(\xi)$
 
 ```text