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@ -6,9 +6,9 @@
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## 一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
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一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
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1. 设$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$是欧氏空间的标准正交基，则向量$2\alpha_{1} - \alpha_{2} + 3\alpha_{3}$的长度为 __________。
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1. 设$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$是欧氏空间的标准正交基，则向量$2\alpha_{1} - \alpha_{2} + 3\alpha_{3}$的长度为 $\underline{\qquad}$。
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2. 设矩阵
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$$
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A = \left[ \begin{array}{ccc}
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@ -18,19 +18,16 @@ $$
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\frac{2}{3} & \frac{-1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{3\sqrt{2}}
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\end{array} \right]
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$$
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为正交矩阵，则$ab =$__________。
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3. 若实二次型
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$$
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f(x_{1},x_{2},x_{3}) = x_{1}^{2} + 2\lambda x_{1}x_{2} - 2x_{1}x_{3} + 4x_{2}^{2} + 4x_{2}x_{3} + 4x_{3}^{2}
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$$
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为正定二次型，则$\lambda$的取值范围为 __________。
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4. 已知$\alpha_{1},\alpha_{2}$是非齐次线性方程组$A_{2\times 3}x = b$的两个线性无关的解，且$\mathrm{rank}A = 2$。若$\alpha = k\alpha_{1} + l\alpha_{2}$是方程组$Ax = b$的通解，则常数$k,l$须满足关系式 __________。
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5. 设$A$为$n$阶实对称矩阵，且$A^{2} + 2A - 3E = 0$，$\lambda = 1$是$A$的一重特征值，则行列式$|A + 2E| =$__________。
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6. 设$A$为$n$阶可逆矩阵，且每一行元素之和都等于常数$a\neq 0$，则$A$的逆矩阵的每一行元素之和为 __________。
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为正交矩阵，则$ab =$$\underline{\qquad}$。
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3. 若实二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3}) = x_{1}^{2} + 2\lambda x_{1}x_{2} - 2x_{1}x_{3} + 4x_{2}^{2} + 4x_{2}x_{3} + 4x_{3}^{2}$
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为正定二次型，则$\lambda$的取值范围为 $\underline{\qquad}$。
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4. 已知$\alpha_{1},\alpha_{2}$是非齐次线性方程组$A_{2\times 3}x = b$的两个线性无关的解，且$\mathrm{rank}A = 2$。若$\alpha = k\alpha_{1} + l\alpha_{2}$是方程组$Ax = b$的通解，则常数$k,l$须满足关系式 $\underline{\qquad}$。
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5. 设$A$为$n$阶实对称矩阵，且$A^{2} + 2A - 3E = 0$，$\lambda = 1$是$A$的一重特征值，则行列式$|A + 2E| =$$\underline{\qquad}$。
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6. 设$A$为$n$阶可逆矩阵，且每一行元素之和都等于常数$a\neq 0$，则$A$的逆矩阵的每一行元素之和为$\underline{\qquad}$。
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## 二、单选题（共6小题，每小题3分，共18分）
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二、单选题（共6小题，每小题3分，共18分）
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1. 设$A$为$n$阶可逆矩阵，$A$的第二行乘以2为矩阵$B$，则（ ）。
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- (A)$A^{-1}$的第二行乘以2为$B^{-1}$
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@ -74,7 +71,7 @@ $$
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## 三、（10分）计算$n$阶行列式
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三、（10分）计算$n$阶行列式
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$$
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D_n = \begin{vmatrix}
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@ -89,7 +86,7 @@ $$
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## 四、（10分）设3阶方阵$A,B$满足方程$A^{2}B - A - B = E$，试求矩阵$B$，其中
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四、（10分）设3阶方阵$A,B$满足方程$A^{2}B - A - B = E$，试求矩阵$B$，其中
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$$
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A = \begin{bmatrix}
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1 & 0 & 1 \\
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@ -100,7 +97,7 @@ $$
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## 五、（10分）判定向量组
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五、（10分）判定向量组
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$$
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\alpha_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix},\
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@ -113,7 +110,7 @@ $$
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## 六、（10分）设线性方程组为
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六、（10分）设线性方程组为
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\left\{
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@ -129,7 +126,7 @@ $$
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## 七、（12分）已知实二次型
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七、（12分）已知实二次型
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f(x_{1},x_{2},x_{3}) = 2x_{1}x_{2} + 2x_{2}x_{3} + 2x_{3}x_{1},
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@ -139,7 +136,7 @@ $$
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## 八、（12分）设$A$是$m \times n$实矩阵，$\beta \neq 0$是$m$维实列向量，证明：
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八、（12分）设$A$是$m \times n$实矩阵，$\beta \neq 0$是$m$维实列向量，证明：
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(1)$\mathrm{rank}A = \mathrm{rank}(A^{\mathrm{T}}A)$；
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(2) 线性方程组$A^{\mathrm{T}}Ax = A^{\mathrm{T}}\beta$有解。
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