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编写小组/试卷/1231线性代数考试卷（解析版）.md

@@ -159,6 +159,8 @@ $$A^n = 6^{n-1}\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} $$
    a = \underline{\qquad\qquad}.
    $$
 
+---
+
 10. 设矩阵
     $$
     A = \begin{bmatrix}
@@ -192,18 +194,16 @@ $$
 $$
 k=     \underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}.
     $$
-12.
-    $$
-    \underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}.
-    $$
-
+12. 
+	$$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}$$
 
+## 三、解答题，共五道，共64分
 ---
 
-12. （10 分）计算 下面的$n$ 阶行列式
+13. （20 分）计算 下面的两个$n$阶行列式
 
     $$
-    D_n = \begin{vmatrix}
+    K_n = \begin{vmatrix}
     1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\
     2 & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \\
     3 & 2 & 1 & \cdots & n-3 & n-2 \\
@@ -215,7 +215,7 @@ k=     \underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}.
 
 
 $$
-\begin{vmatrix}
+ M_n =\begin{vmatrix}
 1+x_1 & 1+x_1^2 & \cdots & 1+x_1^n \\
 1+x_2 & 1+x_2^2 & \cdots & 1+x_2^n \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
@@ -223,9 +223,167 @@ $$
 \end{vmatrix}
 
 $$
+
 ---
 
-13. 设$A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 6\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a & a-1 \\ 2 & -3 & 2 & -2\end{bmatrix}$,向量$\alpha=\begin{bmatrix}0\\2\\3\end{bmatrix},\beta=\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$.
+解析
+（1）$K_n$：  
+从第 $n-1$ 行开始，依次乘以 $(-1)$ 加到下一行，再把第 $n$ 列加到前面各列，得
+
+$$
+\begin{aligned}
+K_n &= 
+\begin{vmatrix}
+1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\
+2 & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \\
+3 & 2 & 1 & \cdots & n-3 & n-2 \\
+\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
+n-1 & n-2 & n-3 & \cdots & 1 & 2 \\
+n & n-1 & n-2 & \cdots & 2 & 1
+\end{vmatrix} \\[4pt]
+&= 
+\begin{vmatrix}
+1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\
+1 & -1 & -1 & \cdots & -1 & -1 \\
+1 & 1 & -1 & \cdots & -1 & -1 \\
+\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
+1 & 1 & 1 & \cdots & -1 & -1 \\
+1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & -1
+\end{vmatrix}
+
+\end{aligned}
+$$
+
+继续化简：
+
+$$
+\begin{aligned}
+&= 
+\begin{vmatrix}
+n+1 & n+2 & n+3 & \cdots & 2n-1 & n \\
+0 & -2 & -2 & \cdots & -2 & -1 \\
+0 & 0 & -2 & \cdots & -2 & -1 \\
+\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
+0 & 0 & 0 & \cdots & -2 & -1 \\
+0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -1
+\end{vmatrix}
+
+\end{aligned}
+$$
+
+这是一个上三角行列式，因此
+
+$$
+D_n = (-1)^{n-1} \cdot 2^{n-2} \cdot (n+1)
+
+$$
+---
+（2）加边
+
+
+$$
+\tilde{D} = 
+\begin{vmatrix}
+1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
+1 & 1 + x_1 & 1 + x_1^2 & \cdots & 1 + x_1^n \\
+1 & 1 + x_2 & 1 + x_2^2 & \cdots & 1 + x_2^n \\
+\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+1 & 1 + x_n & 1 + x_n^2 & \cdots & 1 + x_n^n
+\end{vmatrix}
+
+$$
+
+$$
+\tilde{D} = 
+\begin{vmatrix}
+1 & -1 & -1 & \cdots & -1 \\
+1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\
+1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\
+\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n
+\end{vmatrix}
+$$
+
+将第一行拆为 $(2,0,0,\dots,0)$ 与 $(-1,-1,\dots,-1)$ 之和：
+
+$$
+\tilde{D} = 
+\begin{vmatrix}
+2 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
+1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\
+1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\
+\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n
+\end{vmatrix}
++
+\begin{vmatrix}
+-1 & -1 & -1 & \cdots & -1 \\
+1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\
+1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\
+\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n
+\end{vmatrix}
+$$
+
+令左边为 $A$，右边为 $B$。
+
+计算 $A$，按第一行展开：
+
+$$
+A = 2 \cdot 
+\begin{vmatrix}
+x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\
+x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\
+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n
+\end{vmatrix}
+= 2 \cdot \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right) \cdot 
+\begin{vmatrix}
+1 & x_1 & \cdots & x_1^{n-1} \\
+1 & x_2 & \cdots & x_2^{n-1} \\
+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+1 & x_n & \cdots & x_n^{n-1}
+\end{vmatrix}
+$$
+
+右边为范德蒙德行列式：
+
+$$
+A = 2 \prod_{i=1}^{n} x_i \cdot \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)
+$$
+
+计算 $B$，提出第一行的因子 $-1$：
+
+$$
+B = (-1) \cdot 
+\begin{vmatrix}
+1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
+1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\
+1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\
+\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n
+\end{vmatrix}
+$$
+
+该行列式为 $n+1$ 阶范德蒙德行列式，变量为 $1, x_1, x_2, \dots, x_n$：
+
+$$
+B = (-1) \cdot \prod_{i=1}^{n} (x_i - 1) \cdot \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)
+$$
+
+因此：
+
+$$
+\tilde{D} = A + B = \left( 2 \prod_{i=1}^{n} x_i - \prod_{i=1}^{n} (x_i - 1) \right) \cdot \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)
+$$
+
+$$
+\boxed{\tilde{D} = \left(2\prod\limits_{i=1}^{n}x_i - \prod\limits_{i=1}^{n}(x_i-1)\right) \prod\limits_{1\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)}
+$$
+
+
+---
+14. 设$A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 6\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a & a-1 \\ 2 & -3 & 2 & -2\end{bmatrix}$,向量$\alpha=\begin{bmatrix}0\\2\\3\end{bmatrix},\beta=\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$.
      
      (1)证明：方程组$Ax=\alpha$的解均为方程组$Bx=\beta$的解；
      (2)若方程组$Ax=\alpha$与方程组$Bx=\beta$不同解，求$a$的值.
@@ -239,7 +397,7 @@ $$
 
 ---
 
-14. （10 分）设 
+15. （10 分）设 
     $$
     \alpha_1 = (1,0,-1)^T,\quad \alpha_2 = (2,1,1)^T,\quad \alpha_3 = (1,1,1)^T
     $$
@@ -315,13 +473,13 @@ $$
 1 & 0 & 1 & \vert & -2 \\
 0 & 1 & 1 & \vert & 1 \\
 0 & -1 & 0 & \vert & 2
-\end{bmatrix} \\
+\end{bmatrix} \\[1em]
 &\rightarrow
 \begin{bmatrix}
 1 & 0 & 1 & \vert & -2 \\
 0 & 1 & 1 & \vert & 1 \\
 0 & 0 & 1 & \vert & 3
-\end{bmatrix} \\
+\end{bmatrix} \\[1em]
 &\rightarrow
 \begin{bmatrix}
 1 & 0 & 0 & \vert & -5 \\
@@ -346,7 +504,7 @@ $$
 ---
 
 
-15. （12 分）设 $n$ 阶方阵 $A, B$ 满足 $AB = A + B$。
+16. （12 分）设 $n$ 阶方阵 $A, B$ 满足 $AB = A + B$。
 
     （1）证明 $A - E$ 可逆；
     
@@ -368,11 +526,75 @@ $$
 ---
 
 
+**【解】**
+
+**(1)**  
+由 $AB = A + B$ 得 $(A - E)(B - E) = E$，因此 $A - E$ 可逆。  
+$$\text{……3 分}$$
+
+**(2)**  
+由 $(A - E)(B - E) = E$ 得 $(B - E)(A - E) = E$，因此 $AB = BA$。  
+$$\text{……6 分}$$
 
+**(3)**  
+由 $AB = A + B$ 得 $A = (A - E)B$，而 $A - E$ 可逆，故  
+$$
+\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(B).
+$$
+$$\text{……9 分}$$
+
+**(4)**  
+由 $AB = A + B$ 得 $A(B - E) = B$，而 $B - E$ 可逆，故  
+$$
+A = B(B - E)^{-1}.
+$$
+已知
+$$
+B = \begin{bmatrix}
+1 & -3 & 0 \\
+2 &  1 & 0 \\
+0 &  0 & 2
+\end{bmatrix},
+$$
+则
+$$
+B - E = \begin{bmatrix}
+0 & -3 & 0 \\
+2 &  0 & 0 \\
+0 &  0 & 1
+\end{bmatrix}.
+$$
+求逆得
+$$
+(B - E)^{-1} = \begin{bmatrix}
+0 & \frac12 & 0 \\[2pt]
+-\frac13 & 0 & 0 \\[2pt]
+0 & 0 & 1
+\end{bmatrix}.
+$$
+于是
+$$
+A = B(B - E)^{-1} = \begin{bmatrix}
+1 & -3 & 0 \\
+2 &  1 & 0 \\
+0 &  0 & 2
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+0 & \frac12 & 0 \\[2pt]
+-\frac13 & 0 & 0 \\[2pt]
+0 & 0 & 1
+\end{bmatrix}
+= \begin{bmatrix}
+1 & \frac12 & 0 \\[2pt]
+-\frac13 & 1 & 0 \\[2pt]
+0 & 0 & 2
+\end{bmatrix}.
+$$
+$$\text{……12 分}$$
 
 ---
 
-16. 设矩阵$A=\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\1&t&0&1\end{bmatrix}$，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中含有两个解向量，求Ax=0的通解。
+17. 设矩阵$A=\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\1&t&0&1\end{bmatrix}$，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中含有两个解向量，求Ax=0的通解。
 
 ---
 

编写小组/试卷/线代期中试卷.md

@@ -1,46 +0,0 @@
-#官方试卷
-时量：120分钟  满分：100分
-#### 一、单选题（共5小题，每小题3分，共15分）
-1. 若$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=4$，则当$n$充分大时，恒有
-	A. $|a_n|\le 1$
-	B. $|a_n|>2$
-	C. $|a_n|<2$
-	D. $|a_n|>4$
-2. 已知$g(x)=\frac{1}{x^2}$，复合函数$y=f(g(x))$对$x$的导数为$-\frac{1}{2x}$，则$f'(\frac{1}{2})$的值为
-	A. $1$
-	B. $2$
-	C. $\frac{\sqrt 2}{4}$
-	D. $\frac{1}{2}$
-3. 设$f(x)$可导且$f'(x_0)=\frac{1}{3}$，则当$\Delta x \rightarrow 0$时，$f(x)$在$x_0$处的微分$\text{d}y$是$\Delta x$的
-	A. 同阶无穷小
-	B. 低阶无穷小
-	C. 等价无穷小
-	D. 高阶无穷小
-4. 设数列通项为$x_n=\begin{cases}\frac{n^2-\sqrt{n}}{n},n=2k, \\ \frac{1}{n},n=2k+1  \end{cases}(k\in \mathbb{N}^+)$，则当$n\rightarrow\infty$时，$x_n$是
-	A. 无穷大量
-	B. 无穷小量
-	C. 有界变量
-	D. 无界变量
-5. 下列四个级数，**发散**的是
-	A. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(a^{\frac{1}{n}}+a^{-\frac{1}{n}}-2)}(a>0)$
-	B. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2n\sin{\frac{1}{n}}}}$
-	C. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(\frac{\cos{n!}}{n^2+1}+\frac{1}{\sqrt{n+12}})}$
-	D. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{[\sqrt{2}+(-1)^n]^n}{3^n}$
-#### 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
-6. 函数$f(x)=\frac{\mathrm{e}^\frac{1}{x-1} \ln{|1+x|}}{(\mathrm{e}^x-1)(x-2)}$的第二类间断点的个数为____.
-7. 设函数$y=x-\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan{(\sqrt{2}\tan x)}$，则$\text{d}y|_{x=\frac{\pi}{4}}=$\_\_\_\_\_.
-8. 已知级数$\sum\limits_{n=2}^{\infty}{(-1)^n\frac{1}{n^a}\ln\frac{n+1}{n-1}}$条件收敛，则常数$a$的取值范围是_____.
-9. 已知函数$f(x)$在$x=1$处可导，且$f(1)=0,f'(1)=2$，则$\lim\limits_{x\rightarrow 0}{\frac{f(e^{x^2})}{\sin^2 x}}$=\_\_\_\_\_\_.
-10. 曲线$y=\frac{1}{2}x^2$与曲线$y=c\ln x$相切，则常数$c$的值为\_\_\_\_\_\_.
-#### 三、解答与证明题（11~19小题，共70分）
-11. （6分）求极限$\lim\limits_{x\rightarrow 0}(\cos 2x + x\arcsin x)^\frac{1}{x^2}$.
-12. （6分）求极限$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n+2]{2\sin^2 n+\cos^2 n}$.
-13. （6分）已知函数$f(x)=\begin{cases}\sin 2x+1, x\le 0\\a^{2x}+b, x>0 \end{cases}$在$x=0$处可导，求常数$a,b$的值.
-14. （6分）设$y=y(x)$是由方程$y=x\mathrm{e}^y=1$所确定的函数，求曲线$y=y(x)$在$x=0$对应点处的切线方程.
-15. （8分）设函数$y=f(x)$的极坐标式为$\rho=\mathrm{e}^\theta$，求$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|_{\theta=\frac{\pi}{2}}$，$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}|_{\theta=\frac{\pi}{2}}$.
-16. （8分）设$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内是以$2T$为周期的连续函数，证明对任一实数$x_0$，方程$f(x)=f(x+T)$在区间$[x_0-\frac{T}{2},x_0+\frac{T}{2}]$上至少有一个根.
-17. （10分）求曲线$y=\frac{x^2-3x+2}{x-1}+2\ln|x-2|,(x>0)$的所有渐近线方程.
-18. （10分）百米跑道上正在举行百米赛跑，摄影师站在50米处为4号跑道夺冠种子选手A录像，摄像头始终对准选手A，摄影师距离4号跑道5米，若选手A以10m/s的速度从摄影师正前方经过，问此时摄影镜头的角速度是多少？ ![[期中试卷-18.png]]
-19. （10分）设$a_1=3,a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{n},n=1,2,\dots,$
-	(1) 证明$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$存在，并求其极限值；（5分）
-	(2) 证明：对于任意实数$p$，级数$\sum\limits_{n=1}{\infty}{n^p(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)}$收敛. （5分）

编写小组/试卷/线代期中试卷解析.md

@@ -1,62 +0,0 @@
-#官方试卷
-#民间答案
-#### 一、单选题（共5小题，每小题3分，共15分）
-1. 若$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=4$，则当$n$充分大时，恒有
-	A. $|a_n|\le 1$
-	B. $|a_n|>2$
-	C. $|a_n|<2$
-	D. $|a_n|>4$
-> **答案：B**
->  解析：保号性 
-> 若$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=4$，按照定义，$\forall \epsilon >0,\exists N, n>N\text{时},|a_n-4|<\epsilon$，
-> 取$\epsilon=2$，则$|a_n-4|<\epsilon$，则$2<a_n<6$，B选项符合题意
-2. 已知$g(x)=\frac{1}{x^2}$，复合函数$y=f(g(x))$对$x$的导数为$-\frac{1}{2x}$，则$f'(\frac{1}{2})$的值为
-	A. $1$
-	B. $2$
-	C. $\frac{\sqrt 2}{4}$
-	D. $\frac{1}{2}$
->**答案：D**
->解析：复合函数求导法则
->$y'=f'(g(x))g'(x)=\frac{-2}{x^3}f'(\frac{1}{x^2})=-\frac{1}{2x}\Rightarrow f'(\frac{1}{x^2})=\frac{x^2}{4}$，即$f'(\frac{1}{x})=\frac{x}{4}(x> 0)$
->代入$x=2$得：$f'(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$
-3. 设$f(x)$可导且$f'(x_0)=\frac{1}{3}$，则当$\Delta x \rightarrow 0$时，$f(x)$在$x_0$处的微分$\text{d}y$是$\Delta x$的
-	A. 同阶无穷小
-	B. 低阶无穷小
-	C. 等价无穷小
-	D. 高阶无穷小
-> **答案：A**
-> 解析：同阶无穷小；微分的定义
-> $\Delta x \rightarrow 0$时，$\Delta x \sim \mathrm{d}x$，又$\mathrm{d}y|_{x=x_0}=\frac{1}{3}\mathrm{d}x$，故$\mathrm{d}y$与$\Delta{x}$是同阶不等价的无穷小
-4. 设数列通项为$x_n=\begin{cases}\frac{n^2-\sqrt{n}}{n},n=2k, \\ \frac{1}{n},n=2k+1  \end{cases}(k\in \mathbb{N}^+)$，则当$n\rightarrow\infty$时，$x_n$是
-	A. 无穷大量
-	B. 无穷小量
-	C. 有界变量
-	D. 无界变量
->**答案：D**
->解析：易错点10-无穷大与无界的辨析
->$\lim\limits_{k\to\infty}a_{2k}=+\infty$，因此$a_n$无界；然而，$\lim\limits_{k\to\infty}a_{2k+1}=0$，因此$a_n(n\to\infty)$不是无穷大
-5. 下列四个级数，**发散**的是
-	A. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(a^{\frac{1}{n}}+a^{-\frac{1}{n}}-2)}(a>0)$
-	B. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2n\sin{\frac{1}{n}}}}$
-	C. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(\frac{\cos{n!}}{n^2+1}+\frac{1}{\sqrt{n+12}})}$
-	D. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{[\sqrt{2}+(-1)^n]^n}{3^n}$
->**答案：C**
->
-#### 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
-6. 函数$f(x)=\frac{\mathrm{e}^\frac{1}{x-1} \ln{|1+x|}}{(\mathrm{e}^x-1)(x-2)}$的第二类间断点的个数为____.
-7. 设函数$y=x-\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan{(\sqrt{2}\tan x)}$，则$\text{d}y|_{x=\frac{\pi}{4}}=$\_\_\_\_\_.
-8. 已知级数$\sum\limits_{n=2}^{\infty}{(-1)^n\frac{1}{n^a}\ln\frac{n+1}{n-1}}$条件收敛，则常数$a$的取值范围是_____.
-9. 已知函数$f(x)$在$x=1$处可导，且$f(1)=0,f'(1)=2$，则$\lim\limits_{x\rightarrow 0}{\frac{f(e^{x^2})}{\sin^2 x}}$=\_\_\_\_\_\_.
-10. 曲线$y=\frac{1}{2}x^2$与曲线$y=c\ln x$相切，则常数$c$的值为\_\_\_\_\_\_.
-#### 三、解答与证明题（11~19小题，共70分）
-11. （6分）求极限$\lim\limits_{x\rightarrow 0}(\cos 2x + x\arcsin x)^\frac{1}{x^2}$.
-12. （6分）求极限$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n+2]{2\sin^2 n+\cos^2 n}$.
-13. （6分）已知函数$f(x)=\begin{cases}\sin 2x+1, x\le 0\\a^{2x}+b, x>0 \end{cases}$在$x=0$处可导，求常数$a,b$的值.
-14. （6分）设$y=y(x)$是由方程$y=x\mathrm{e}^y=1$所确定的函数，求曲线$y=y(x)$在$x=0$对应点处的切线方程.
-15. （8分）设函数$y=f(x)$的极坐标式为$\rho=\mathrm{e}^\theta$，求$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|_{\theta=\frac{\pi}{2}}$，$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}|_{\theta=\frac{\pi}{2}}$.
-16. （8分）设$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内是以$2T$为周期的连续函数，证明对任一实数$x_0$，方程$f(x)=f(x+T)$在区间$[x_0-\frac{T}{2},x_0+\frac{T}{2}]$上至少有一个根.
-17. （10分）求曲线$y=\frac{x^2-3x+2}{x-1}+2\ln|x-2|,(x>0)$的所有渐近线方程.
-18. （10分）百米跑道上正在举行百米赛跑，摄影师站在50米处为4号跑道夺冠种子选手A录像，摄像头始终对准选手A，摄影师距离4号跑道5米，若选手A以10m/s的速度从摄影师正前方经过，问此时摄影镜头的角速度是多少？ ![[期中试卷-18.png]]
-19. （10分）设$a_1=3,a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{n},n=1,2,\dots,$
-	(1) 证明$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$存在，并求其极限值；（5分）
-	(2) 证明：对于任意实数$p$，级数$\sum\limits_{n=1}{\infty}{n^p(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)}$收敛. （5分）