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素材/整合素材/线代素材/二次型与合同题目.md

@@ -43,6 +43,7 @@
 >记 $\boldsymbol x=(x_1,x_2,x_3)^T,\boldsymbol y=(y_1,y_2,y_3)^T,\boldsymbol z=(z_1,z_2,z_3)^T,\boldsymbol C=\begin{bmatrix}1&2&2\\0&1&2\\0&2&1\end{bmatrix}$，于是 $\boldsymbol x=\boldsymbol{Cy},\boldsymbol x=\boldsymbol C\begin{bmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\boldsymbol z$，从而$$\boldsymbol x=\boldsymbol C\begin{bmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}z_1\\z_2\\z_3\end{bmatrix}=\boldsymbol C\begin{bmatrix}-z_2\\-z_1\\z_3\end{bmatrix},$$于是此变换下标准型为$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=4(-z_2)^2-\frac{1}{2}(-z_1)^2=-\frac{1}{2}z_1^2+4z_2^2.$
 
 **题后总结：** 此题关键在于理解<span style='color:orange'>可逆矩阵与初等变换之间的关系</span>。如果能看到前一个线性变换和后一个线性变换之间<span style='color:orange'>只差了两次初等变换</span>，把初等变换写成矩阵的形式，并运用矩阵乘法的结合律，就能够解出这道题了。
+**补充：** 如果<span style='color:orange'>两个变换矩阵之间的关系不那么明显</span>，可以采用如下机械化的方法：记 $\boldsymbol x=C_1\boldsymbol y,\boldsymbol x=C_2\boldsymbol z$, 则 $C_1\boldsymbol y=C_2\boldsymbol z\Rightarrow \boldsymbol y=C_1^{-1}C_2\boldsymbol z$, 然后根据已有的标准型转化为要求的标准型。
 
 >[!example] 例题
 >把二次型 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2^2+6x_2x_3+100x_3^2$ 通过配方法化为标准型。

素材/整合素材/线代素材/正交及二次型.md

@@ -22,7 +22,7 @@
 
 >[!note] **解析**
 解题思路
-正交矩阵的定义是：若矩阵 H 满足 $H^T H = E$（其中 $E$ 为单位矩阵），则 $H$ 为正交矩阵。我们从这个定义出发推导条件。
+正交矩阵的定义是：若矩阵 $H$ 满足 $H^T H = E$（其中 $E$ 为单位矩阵），则 $H$ 为正交矩阵。我们从这个定义出发推导条件。
 >步骤1：写出 $H^T$
 >已知 $H = E - l\boldsymbol \alpha\boldsymbol \alpha^T$，转置得
 $$H^T = (E - l\boldsymbol \alpha\boldsymbol \alpha^T)^T = E^T - l(\boldsymbol \alpha\boldsymbol \alpha^T)^T = E - l\boldsymbol \alpha\boldsymbol \alpha^T$$
@@ -43,7 +43,7 @@ H^T H &= (E - l\boldsymbol \alpha\boldsymbol \alpha^T)(E - l\boldsymbol \alpha\b
 >若  $\boldsymbol \alpha \neq \boldsymbol 0（即 k \neq 0）$，则$\boldsymbol \alpha\boldsymbol \alpha^T \neq O$，因此系数必须为$0$：
 $$-2l + l^2 k^2 = 0 \implies l(l k^2 - 2) = 0$$
 >解得$l = 0$ 或 $l = \dfrac{2}{k^2}$。
->若 $\boldsymbol \alpha = \boldsymbol 0（即 k = 0$），则 $H = E$，显然 ￥ 是正交矩阵，此时对任意$l \in \mathbb{R}$ 均成立。
+>若 $\boldsymbol \alpha = \boldsymbol 0（即 k = 0$），则 $H = E$，显然 $H$ 是正交矩阵，此时对任意$l \in \mathbb{R}$ 均成立。
 >最终结论$$\begin{aligned}
 &1.\ \text{当}\ k = 0\ \text{时，对任意实数}\ l,\ H\ \text{为正交矩阵；} \\
 &2.\ \text{当}\ k \neq 0\ \text{时，}l = 0\ \text{或}\ l = \dfrac{2}{k^2}\ \text{时，}H\ \text{为正交矩阵。}
@@ -52,7 +52,6 @@ $$-2l + l^2 k^2 = 0 \implies l(l k^2 - 2) = 0$$
 >[!example] 例题2
 >已知 $A$ = $[a_{ij}]_{n \times n}$为 $n\,(n \ge 2)$ 阶正交矩阵，证明：$A_{ij} = \pm a_{ij}\;(i,j=1,2,\dots,n)$，其中 $A_{ij}$ 为行列式 $|A|$  中 $a_{ij}$ 的代数余子式。
 
-
 >[!note] **解析**
 >设 $A$为 $n$阶正交矩阵（$n\ge2$），则 ${A}^T{A}={E}$
 >又由伴随矩阵与逆矩阵的关系：$A^{-1} = \frac{1}{|A|}{A}^*$
@@ -61,19 +60,19 @@ $$-2l + l^2 k^2 = 0 \implies l(l k^2 - 2) = 0$$
 >由伴随矩阵的定义，其第 $(j,i)$ 元为 $a_{ij}$​ 的代数余子式 $A_{ij}$​，而 $\pm A^T$ 的第 $(j,i)$ 元为 $±a_{ij}$​。比较对应元素得$A_{ij}​=±a_{ij}​,i,j=1,2,…,n.$
 >证毕
 ## 施密特正交化法
-### **定理**
-设$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_p$ 是向量空间 $V$ 中的线性无关向量组，则
-如下方法所得向量组$\boldsymbol{\varepsilon}_1,\boldsymbol{\varepsilon}_2,\dots,\boldsymbol{\varepsilon}_p$
-施密特正交化与单位化公式
-正交化过程
+
+设 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_p$ 是向量空间 $V$ 的一组基，则用如下方法所得向量组 $\boldsymbol{\varepsilon}_1,\boldsymbol{\varepsilon}_2,\dots,\boldsymbol{\varepsilon}_p$ 为 $V$ 的一组标准正交基
 $$\begin{align*}
 \boldsymbol{u}_1 &= \boldsymbol{\alpha}_1, \\
 \boldsymbol{u}_k &= \boldsymbol{\alpha}_k - \sum_{i=1}^{k-1}\frac{\langle\boldsymbol{\alpha}_k,\boldsymbol{u}_i\rangle}{\langle\boldsymbol{u}_i,\boldsymbol{u}_i\rangle}\boldsymbol{u}_i,\quad k=2,3,\dots,p.
 \end{align*}$$
-单位化过程
+单位化得
 $$\boldsymbol{\varepsilon}_k = \frac{\boldsymbol{u}_k}{\|\boldsymbol{u}_k\|},\quad 
 k=1,2,3,\dots,p$$
-
+还有另一个更加常用的正交化法：$$\begin{aligned}
+\boldsymbol u_1&=\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\varepsilon_1=\dfrac{\boldsymbol u_1}{\|\boldsymbol u_1\|},\\
+\boldsymbol u_k&=\boldsymbol\alpha_k-\sum_{i=1}^{k-1}\langle\boldsymbol\varepsilon_i,\boldsymbol\alpha_k\rangle\boldsymbol\varepsilon_i,\boldsymbol\varepsilon_k=\dfrac{\boldsymbol u_k}{\|\boldsymbol u_k\|}(k=2,3,\cdots,p).
+\end{aligned}$$
 ### **例子**
 >[!example] **例3**
 已知 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_5$ 为欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基，令$$\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3,\quad
@@ -91,17 +90,15 @@ $U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3
 >$$\boldsymbol{\gamma}_3=\boldsymbol{\beta}_3-\dfrac{\langle\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle}{\langle\boldsymbol{\gamma}_1,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle}\boldsymbol{\gamma}_1-\dfrac{\langle\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\gamma}_2\rangle}{\langle\boldsymbol{\gamma}_2,\boldsymbol{\gamma}_2\rangle}\boldsymbol{\gamma}_2$$
 >$$\langle\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle=3,\quad
 \langle\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\gamma}_2\rangle=0$$
->$$\boldsymbol{\gamma}_3=\frac{1}{2}\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2-\frac{1}{2}\boldsymbol{\alpha}_3$$
+>$$\boldsymbol{\gamma}_3=-\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3+3\boldsymbol\alpha_4$$
 >步骤2：单位化
 $$\boldsymbol{\varepsilon}_1=\dfrac{\boldsymbol{\gamma}_1}{\|\boldsymbol{\gamma}_1\|}=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3}{\sqrt{2}}$$
-$$\|\boldsymbol{\gamma}_2\|=\sqrt{\dfrac{5}{2}}$$
-$$\boldsymbol{\varepsilon}_2=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1-2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3+2\boldsymbol{\alpha}_4}{\sqrt{10}}$$
-$$\|\boldsymbol{\gamma}_3\|=\sqrt{\dfrac{3}{2}}$$
-$$\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3}{\sqrt{6}}$$
+$$\|\boldsymbol{\gamma}_2\|=\sqrt{\dfrac{5}{2}},\boldsymbol{\varepsilon}_2=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1-2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3+2\boldsymbol{\alpha}_4}{\sqrt{10}}$$
+$$\|\boldsymbol{\gamma}_3\|=\sqrt{\dfrac{3}{2}},\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{-\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3+3\boldsymbol\alpha_4}{\sqrt{19}}$$
 >$U$ 的标准正交基为
 >$$\boldsymbol{\varepsilon}_1=\frac{\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3}{\sqrt{2}},\quad
 \boldsymbol{\varepsilon}_2=\frac{\boldsymbol{\alpha}_1-2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3+2\boldsymbol{\alpha}_4}{\sqrt{10}},\quad
-\boldsymbol{\varepsilon}_3=\frac{\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3}{\sqrt{6}}$$
+\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{-\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3+3\boldsymbol\alpha_4}{\sqrt{19}}$$
 
 >[!example] **例4**
 >已知 $A$ $=$ $[\boldsymbol{\alpha}_1\ \boldsymbol{\alpha}_2\ \boldsymbol{\alpha}_3\ \boldsymbol{\alpha}_4]$ 为正交矩阵，其中
@@ -109,9 +106,8 @@ $$\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2
 \boldsymbol{\alpha}_4 = \frac{1}{6}\begin{bmatrix}2\sqrt{6}\\0\\-\sqrt{6}\\-\sqrt{6}\end{bmatrix}$$
 试求一个$\boldsymbol{\alpha}_1$ 和一个 $\boldsymbol{\alpha}_2$。
 
-
 >[!note] **解析**
->$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$必须与 $\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$都正交，且$\boldsymbol{\alpha}_1 与 \boldsymbol{\alpha}_2$ 也正交，模长为1。
+>$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$必须与 $\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$都正交，且$\boldsymbol{\alpha}_1 与 \boldsymbol{\alpha}_2$ 也正交，模长为 $1$。
 >设 $\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T$，正交条件等价于方程组：
 >$$\begin{cases}
 \langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{\alpha}_3\rangle = x_1 - 2x_2 + 2x_4 = 0\\
@@ -119,16 +115,10 @@ $$\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2
 \end{cases}$$
 >解上述齐次方程组,得到两个线性无关的解：
 >$$\boldsymbol{\xi}_1=(2,1,4,0)^T,\quad
-\boldsymbol{\xi}_2=(0,1,0,1)^T$$
->正交化
->$$\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\xi}_1 = (2,1,4,0)^T$$
->$$\boldsymbol{\beta}_2 = \boldsymbol{\xi}_2 - \frac{\langle\boldsymbol{\xi}_2,\boldsymbol{\beta}_1\rangle}{\langle\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_1\rangle}\boldsymbol{\beta}_1
-= (0,1,0,1)^T - \frac{1}{21}(2,1,4,0)^T
-= \left(-\frac{2}{21},\frac{20}{21},-\frac{4}{21},1\right)^T$$
->单位化$$\boldsymbol{\alpha}_1 = \frac{\boldsymbol{\beta}_1}{\|\boldsymbol{\beta}_1\|}=\frac{1}{\sqrt{21}}(2,1,4,0)^T$$
->$$\boldsymbol{\alpha}_2 = \frac{\boldsymbol{\beta}_2}{\|\boldsymbol{\beta}_2\|}
-=\frac{1}{3\sqrt{105}}(-2,20,-4,21)^T$$
->满足条件的一组标准正交向量为：$$\boldsymbol{\alpha}_1 = \frac{1}{\sqrt{21}}\begin{bmatrix}2\\1\\4\\0\end{bmatrix},\quad\boldsymbol{\alpha}_2 = \frac{1}{3\sqrt{105}}\begin{bmatrix}-2\\20\\-4\\21\end{bmatrix}$$
+\boldsymbol{\xi}_2=(0,1,-1,1)^T$$
+>用施密特正交化法得 $$\boldsymbol u_1=\boldsymbol \xi_1,\boldsymbol\varepsilon_1=\dfrac{\boldsymbol u_1}{\|\boldsymbol u_1\|}=\dfrac{1}{\sqrt{21}}(2,1,4,0)^\text{T},$$
+>$$\boldsymbol u_2=\boldsymbol \xi_2-\langle\boldsymbol \xi_2,\boldsymbol \varepsilon_1\rangle\boldsymbol \varepsilon_1=\dfrac{1}{7}(2,8,-3,7)^\text{T},\boldsymbol \varepsilon_2=\dfrac{\boldsymbol u_2}{\|\boldsymbol u_2\|}=\dfrac{1}{4\sqrt 5}(2,0,-3,7)^\text T$$
+>满足条件的一组标准正交向量为：$$\boldsymbol{\varepsilon}_1 = \frac{1}{\sqrt{21}}\begin{bmatrix}2\\1\\4\\0\end{bmatrix},\quad\boldsymbol{\varepsilon}_2 = \frac{1}{4\sqrt{5}}\begin{bmatrix}2\\0\\-3\\7\end{bmatrix}.$$
 
 # Section 2  实对称矩阵的正交变换与二次型
 
@@ -179,19 +169,19 @@ $$\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2
 合同变换法直接对实对称矩阵 $A$ 进行初等变换，通过“初等行变换+同步初等列变换”，将 $A$ 化为对角阵 $\Lambda$ ，同步记录初等列变换得到可逆矩阵 $C$，本质是直接构造 $C^TAC=\Lambda$ 。
 
 >[!tip] 核心步骤：
->1. 构造分块矩阵 $\begin{bmatrix}A\\I\end{bmatrix}$ （I为单位矩阵）；
+>1. 构造分块矩阵 $\begin{bmatrix}A\\E\end{bmatrix}$ （$E$为单位矩阵）；
 >2. 对 $A$ 施行初等行变换的同时，对整个分块矩阵的列施行相同的初等列变换，使 $A$ 化为对角阵 $\Lambda$ ；
->3. 此时下方单位矩阵I同步化为可逆矩阵 $C$，满足 $C^TAC=\Lambda$ ，对应线性代换 $X=CY$ ，二次型化为标准型 $f=\Lambda_{11}y_1^2+\Lambda_{22}y_2^2+...+\Lambda_{nn}y_n^2$ 。
+>3. 此时下方单位矩阵 $E$ 同步化为可逆矩阵 $C$，满足 $C^TAC=\Lambda$ ，对应线性代换 $X=CY$ ，二次型化为标准型 $f=\lambda_{11}y_1^2+\lambda_{22}y_2^2+...+\lambda_{nn}y_n^2$ 。
 
 **特点**：直接关联矩阵合同关系，**直观体现二次型化标准型的本质**；标准型系数不唯一，C由初等变换直接得到；适用于需明确合同矩阵的场景，计算量介于配方法与正交变换法之间。
 #### （三）**正交变换法（特殊可逆代换，保几何度量）**
 
-正交变换法利用实对称矩阵可正交对角化的性质，构造正交矩阵Q（满足 $Q^T=Q^{-1}$ ），使 $Q^TAQ=\Lambda$ ，其中 $\Lambda$ 的对角元为A的特征值，对应的线性代换 $X=QY$ 为正交变换。
+正交变换法利用实对称矩阵可正交对角化的性质，构造正交矩阵 $Q$（满足 $Q^T=Q^{-1}$ ），使 $Q^TAQ=\Lambda$ ，其中 $\Lambda$ 的对角元为 $A$ 的特征值，对应的线性代换 $X=QY$ 为正交变换。
 >[!tip] 核心步骤：
->1.求二次型对应实对称矩阵 $A$ 的全部特征值 $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$ 
+>1. 求二次型对应实对称矩阵 $A$ 的全部特征值 $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$ 
 >对每个特征值，求对应的特征向量，并将属于同一特征值的特征向量正交化；
->2.将所有正交化后的特征向量单位化，得到正交矩阵 $Q$；
->3作正交变换 $X=QY$ ，二次型化为标准型$f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+...+\lambda_ny_n^2$ 。
+>2. 将所有正交化后的特征向量单位化，得到正交矩阵 $Q$；
+>3. 作正交变换 $X=QY$ ，二次型化为标准型$f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+...+\lambda_ny_n^2$ 。
 
 **特点**：标准型系数为 $A$ 的特征值，具有唯一性（不计顺序）；正交变换保持向量长度、夹角不变，几何意义明确（如旋转、反射变换）；但计算量较大，需求解特征值和特征向量。
 

素材/整合素材/高数素材/不定积分.md

@@ -0,0 +1,35 @@
+>[!example] 
+>求 $\displaystyle I_n=\int\dfrac{\text{d}x}{(x^2+a^2)^n}$. （递推公式）
+
+>[!example] 
+>证明 $$\displaystyle I_n=\int\tan^nx\text{d}x=\dfrac{\tan^{n-1}x}{n-1}-I_{n-2}.$$
+
+>[!note] 
+>证明： $\displaystyle I_n=\int\tan^{n-2}x(\sec^2x-1)\text{d}x=\int\tan^{n-2}x\text{d}(\tan x)-I_{n-2}=\dfrac{\tan^{n-1}x}{n-1}-I_{n-2}.$
+
+分部积分法：多次使用时，记住每次一定要把<span style='color:orange; font-weight:bold'>同一种</span>函数放到 $\text d$ 里面去. 
+
+抽象函数积分
+>[!example] 
+>已知 $f(x)$ 的一个原函数是 $\dfrac{\cos x}{x}$, 求 $\displaystyle \int xf'(x)\text dx$.
+
+>[!note]
+>$\displaystyle \int xf'(x)\text dx=\int x\text df(x)=xf(x)-\int f(x)\text dx=xf(x)-\dfrac{\cos x}{x},$ 
+>$\displaystyle f(x)=\left(\dfrac{\cos x}{x}\right)'=\dfrac{-x\sin x-\cos x}{x^2},$
+>于是原式 $=$
+
+换元加分部
+>[!example] 
+>求 $\displaystyle I=\int\dfrac{\text e^{\arctan x}}{(1+x^2)^{3/2}}\text dx.$
+
+>[!note] 
+>令 $u=\arctan x$, 则 $\text dx=\sec^2u\text du.$ 则 $$\begin{aligned}
+>\displaystyle I&=\int \text e^u\cos u\text du\\
+>&=\int \text e^u\text d\sin u\\
+>&=\int \text e^u\text d\sin u\\
+>&=\text e^u\sin u-\int\text e^u\sin u\text du\\
+>&=\text e^u\sin u+\int \text e^u\text d\cos u\\
+>&=\text e^u\sin u+(\text e^u\cos u-\int\text e^u\cos u\text du)\\
+>&=\text e^u\sin u+\text e^u\cos u-I
+>\end{aligned},$$于是 $\displaystyle I=\dfrac{1}{2}\text e^u(\sin u+\cos u)=\dfrac{(x+1)\text e^{\arctan x}}{2\sqrt{x^2+1}}+C.$
+

编写小组/试卷/积佬卷.md

@@ -21,42 +21,39 @@
 (D)$2f(a)$
 
 2. 设$y = f(x)$为区间$[0,1]$上单调增加的连续函数，且$f(0) = 0$，$f(1) = 2$，$x = g(y)$为  
-$y = f(x)$的反函数。若$\int_{0}^{1} f(x) \, dx = \frac{1}{3}$，则$\int_{0}^{2} g(y) \, dy$的值为（    ）。  
+$y = f(x)$的反函数。若$\displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \, dx = \frac{1}{3}$，则$\displaystyle\int_{0}^{2} g(y) \, dy$的值为（    ）。  
 
 (A)$\frac{1}{3}$
 (B)$\frac{2}{3}$
 (C)$\frac{4}{3}$
 (D)$\frac{5}{3}$
 
-3. 已知函数$f(x), g(x)$在$(-\infty, +\infty)$内可导，且$f'(x) > 0, g'(x) < 0$，则（ ）。
+3. 已知函数$\displaystyle f(x), g(x)$在$\displaystyle(-\infty, +\infty)$内可导，且$f'(x) > 0, g'(x) < 0$，则（ ）。
 
-(A)$$\int_0^1 f(x) dx > \int_1^2 f(x) dx$$
+(A)$\displaystyle\int_0^1 f(x) \text{d}x > \int_1^2 f(x) \text{d}x$
 
-(B)$$\int_0^1 |f(x)| dx > \int_1^2 |f(x)| dx$$
+(B)$\displaystyle\int_0^1 |f(x)| dx > \int_1^2 |f(x)| dx$
 
-(C)$$\int_0^1 f(x)g(x) dx > \int_1^2 f(x)g(x) dx$$
+(C)$\displaystyle\int_0^1 f(x)g(x) dx > \int_1^2 f(x)g(x) dx$
 
-(D)$$\int_0^1 f[g(x)] dx > \int_1^2 f[g(x)] dx$$
+(D)$\displaystyle\int_0^1 f[g(x)] dx > \int_1^2 f[g(x)] dx$
 
 ---
 
 ## 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
 
-4. 不定积分$$\int \frac{1}{x(1+2\ln x)} \, dx =$$
+4. 不定积分$\displaystyle\int \frac{1}{x(1+2\ln x)} \, dx =\underline{\qquad}$
 
-5. 定积分$$\int_{-1}^{1} \frac{x\left(\cos x + x\right)}{1+x^2} \, dx$$的值为
+5. 定积分$\displaystyle\int_{-1}^{1} \frac{x\left(\cos x + x\right)}{1+x^2} \, dx$的值为$\underline{\qquad}.$
 
-6. 已知$$\int f(x) \, dx = \arctan x + C$$则$f'(x) =$
+6. 已知$\displaystyle\int f(x) \, dx = \arctan x + C$则 $f'(x) =\underline{\qquad}.$
 
 ---
 
 ## 三、解答题（共8小题，共54分）
-7. （6分）计算极限  
-$$
-    \lim_{x\to 0}\frac{x\int_{0}^{x}\sqrt{1 + t^{4}}\mathrm{d}t}{x - \ln(1 + x)}.
-$$
+7. （6分）计算极限 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x\int_{0}^{x}\sqrt{1 + t^{4}}\mathrm{d}t}{x - \ln(1 + x)}.$
 
-8. （6分）计算不定积分  
+8. （6分）计算不定积分
 $$
     \int \frac{2 - \sqrt{2x + 1}}{2 + \sqrt{2x + 1}}\mathrm{d}x
 $$

试卷库/线性代数期末真题/线代2011秋A.md

@@ -16,7 +16,7 @@ $$
    1 & 0 & 1
    \end{bmatrix},
 $$
-   且正整数$n \geq 2$，则$A^n - 2A^{n - 1} =$__________。
+   且正整数$n \geq 2$，则$A^n - 2A^{n - 1} =\underline{\qquad}$。
 
 2. 已知矩阵$A$的逆矩阵  
 $$
@@ -26,15 +26,15 @@ $$
    5 & 2 & 0
    \end{bmatrix},
 $$
-   则$\left(\dfrac{1}{2} A^*\right)^{-1} =$__________。
+   则$\left(\dfrac{1}{2} A^*\right)^{-1} =\underline{\qquad}$__________。
 
-3. 已知4阶矩阵$A$和$B$的列向量组分别为$a_1, a_2, a_3, a_4$和$\beta , a_2, a_3, a_4$，且$|A| = 4$，$|B| = 1$，则$|A + B| =$__________。
+3. 已知4阶矩阵$A$和$B$的列向量组分别为$a_1, a_2, a_3, a_4$和$\beta , a_2, a_3, a_4$，且$|A| = 4$，$|B| = 1$，则$|A + B| =$$\underline{\qquad}$。
 
-4. 设$A = [a_{ij}]_{3\times 3}$是正交矩阵，且$b = (1,0,0)^T$，$a_{11} = 1$，则$Ax = b$有一个解是 __________。
+4. 设$A = [a_{ij}]_{3\times 3}$是正交矩阵，且$b = (1,0,0)^T$，$a_{11} = 1$，则$Ax = b$有一个解是$\underline{\qquad}$。
 
-5. 设$n$阶实对称矩阵$A$的特征值为$\dfrac{1}{n}, \dfrac{2}{n}, \dots , 1$，则当$\lambda$__________ 时，$A - \lambda E$为正定矩阵。
+5. 设$n$阶实对称矩阵$A$的特征值为$\dfrac{1}{n}, \dfrac{2}{n}, \dots , 1$，则当$\lambda\underline{\qquad}$时，$A - \lambda E$为正定矩阵。
 
-6. 线性空间$V = \{ A \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid A \text{ 为反对称矩阵} \}$的维数为 __________。
+6. 线性空间$V = \{ A \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid A \text{ 为反对称矩阵} \}$的维数为$\underline{\qquad}$。
 
 ---