@ -2,191 +2,91 @@
tags:
- 编写小组
---
# 线性代数适应性调研
## 一、选择题， ， ，
1. 设 $A$ 为 $n$ 阶对称矩阵，$B$ 为 $n$ 阶反对称矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是【 】
1. 设 $A$ 为 $n$ 阶对称矩阵，$B$ 为 $n$ 阶反对称矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是
(A) $AB - BA$;
(B) $AB + BA$;
(C) $BAB$;
(D) $(AB)^2$.
2. 设 $e_1, e_2$ 和 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 是线性空间 $\mathbb{R}^2$ 的两组基，并且已知关系式
$$
\varepsilon_1 = e_1 + 5e_2,\quad \varepsilon_2 = e_2,
$$
则由基 $e_1, e_2$ 到基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 的过渡矩阵是
$$
(A) \begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
5 & -1
\end{bmatrix} \quad
(B) \begin{bmatrix}
0 & -1 \\
-6 & 0
\end{bmatrix} \quad
(C) \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
-5 & -1
\end{bmatrix} \quad
(D) \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
-5 & 1
\end{bmatrix}.
$$
---
解析：
$$
\varepsilon_1 = e_1 + 5e_2,\quad \varepsilon_2 = 0e_1 + 1e_2.
$$
把它们按列排成矩阵形式：
$$
[\varepsilon_1, \varepsilon_2] = [e_1, e_2]
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
5 & 1
\end{bmatrix}.
$$
基变换矩阵为：
$$
T = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}.
$$
$$
\quad
T^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -5 & 1 \end{bmatrix}.
$$
$\quad T^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -5 & 1 \end{bmatrix}$是坐标变换矩阵， ，
---
3. 设向量组
$$
\alpha_1 = (0, 0, c_1)^T,\quad
\alpha_2 = (0, 1, c_2)^T,\quad
\alpha_3 = (1, -1, c_3)^T,\quad
\alpha_4 = (-1, 1, c_4)^T,
$$
其中 $c_1, c_2, c_3, c_4$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的是【 】
>答案：**B**
>解析：$A$ 为 $n$ 阶对称矩阵 $\Rightarrow$ $A^T=A$ ， ；
>逐个选项分析：
>(A) $(AB-BA)^T=(AB)^T-(BA)^T=B^TA^T-A^TB^T=-BA+AB$，故 $AB-BA$ 是对称矩阵
>(B) $(AB+BA)^T=(AB)^T+(BA)^T=B^TA^T+A^TB^T=-BA-AB$，故 $(AB+BA)$ 是反称矩阵
>(C) $(BAB)^T=B^TA^TB^T=BAB$，故 $BAB$ 是对称矩阵
>(D) $((AB)^2)^T=(ABAB)^T=B^TA^TB^TA^T=(BA)^2$，故 $(AB)^2$ 不一定有对称性
2. 设 $e_1, e_2$ 和 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 是线性空间 $\mathbb{R}^2$ 的两组基，并且已知关系式 $\varepsilon_1 = e_1 + 5e_2,\ \varepsilon_2 = e_2,$ 则由基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 到基 $e_1, e_2$ 到基的过渡矩阵是
(A) $\begin{bmatrix}0 & -1 \\ -6 & 0\end{bmatrix}$
(B) $\begin{bmatrix}-1 & 0 \\5 & -1\end{bmatrix}$
(C) $\begin{bmatrix}1 & 0 \\-5 & -1\end{bmatrix}$
(D) $\begin{bmatrix}1 & 0 \\-5 & 1\end{bmatrix}$
>答案：**D**
>解析：$\varepsilon_1 = e_1 + 5e_2,\quad \varepsilon_2 = 0e_1 + 1e_2.$
>把它们按列排成矩阵形式：$[\varepsilon_1, \varepsilon_2] = [e_1, e_2] \begin{bmatrix}1 & 0 \\5 & 1\end{bmatrix}.$
>而由基 $e_1, e_2$ 到基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 的过渡矩阵 $T$ 应该满足$\begin{bmatrix}e_1& e_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\varepsilon_1& \varepsilon_2\end{bmatrix}T$，即：
>$\begin{bmatrix}e_1& e_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}e_1& e_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 5 & 1\end{bmatrix}T$，所以 $T=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 5 & 1\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ -5 & 1\end{bmatrix}$
3. 设向量组 $\alpha_1 = (0, 0, c_1)^T,\quad \alpha_2 = (0, 1, c_2)^T,\quad \alpha_3 = (1, -1, c_3)^T,\quad \alpha_4 = (-1, 1, c_4)^T,$
其中 $c_1, c_2, c_3, c_4$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的是
(A) $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$;
(B) $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$;
(C) $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$;
(D) $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$.
4. 设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，则【 】
>答案：**C**
>解析：逐选项分析：
>A. $\begin{bmatrix}\alpha_1& \alpha_2& \alpha_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0& 0& 1\\0& 1& -1\\c_1& c_2& c_3\end{bmatrix}$，当$c_1\ne 0$时，作初等列变换，$\text{rank}\begin{bmatrix}\alpha_1& \alpha_2& \alpha_3\end{bmatrix}=\text{rank}\begin{bmatrix}0& 0& 1\\0& 1& 0\\1& 0& 0\end{bmatrix}=3$，故线性无关；
>B. $\begin{bmatrix}\alpha_1& \alpha_2& \alpha_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0& 0& -1\\0& 1& 1\\c_1& c_2& c_4\end{bmatrix}$，当$c_1\ne 0$时，作初等列变换，$\text{rank}\begin{bmatrix}0& 0& -1\\0& 1& 1\\c_1& c_2& c_4\end{bmatrix}=\text{rank}\begin{bmatrix}0& 0& 1\\0& 1& 0\\1& 0& 0\end{bmatrix}=3$，故线性无关；
>C. $\begin{bmatrix}\alpha_1& \alpha_3& \alpha_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0& 1& -1\\0& -1& 1\\c_1& c_3& c_4\end{bmatrix}\cong\begin{bmatrix}0& 0& -1\\0& 0& 1\\c_1& c_3+c_4& c_4\end{bmatrix}\cong\begin{bmatrix}0& 0& 0\\0& 0& 1\\c_1& c_3+c_4& c_4\end{bmatrix}$，故其必定线性相关；
>D. $\begin{bmatrix}\alpha_1& \alpha_2& \alpha_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0& 1& -1\\1& -1& 1\\c_2& c_3& c_4\end{bmatrix}\cong\begin{bmatrix}0& 0& -1\\1& 0& 1\\c_2& c_3+c_4& c_4\end{bmatrix}$，当$c_3+c_4\ne 0$时，作初等列变换，$\text{rank}\begin{bmatrix}0& 0& -1\\1& 0& 1\\c_2& c_3+c_4& c_4\end{bmatrix}=\text{rank}\begin{bmatrix}0& 0& 1\\1& 0& 0\\0& 1& 0\end{bmatrix}=3$，故线性无关；
4. 设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，则
(A) $\text{rank}[A \ AB] = \text{rank} A$;
(B) $\text{rank}[A \ BA] = \text{rank} A$;
(C) $\text{rank}[A \ B] = \max\{\text{rank} A, \text{rank} B\}$;
(D) $\text{rank}[A \ B] = \text{rank}[A^T \ B^T]$.
5. 设 $A$ 可逆，将 $A$ 的第一列加上第二列的 2 倍得到 $B$，则 $A^*$ 与 $B^*$ 满足【 】
>答案：**A**
>重点：$AB$的每一列都是 $A$ 的列向量的线性组合，因此，$\text{rank}[A
5. 设 $A$ 可逆，将 $A$ 的第一列加上第二列的 2 倍得到 $B$，则 $A^*$ 与 $B^*$ 满足
(A) 将 $A^*$ 的第一列加上第二列的 2 倍得到 $B^*$;
(B) 将 $A^*$ 的第一行加上第二行的 2 倍得到 $B^*$;
(C) 将 $A^*$ 的第二列加上第一列的 $(-2)$ 倍得到 $B^*$;
(D) 将 $A^*$ 的第二行加上第一行的 $(-2)$ 倍得到 $B^*$.
6. 已知方程组
$$
\text{(I)} \quad
\begin{cases}
x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0, \\
2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0, \\
x_1 + x_2 + ax_3 = 0,
\end{cases}
$$
与
$$
\text{(II)} \quad
\begin{cases}
x_1 + bx_2 + cx_3 = 0, \\
2x_1 + b^2x_2 + (c+1)x_3 = 0
\end{cases}
$$
同解，则【 】
>答案：**D**
>解析：$B=AP(2,1(2))$，故$B^{-1}=P(2,1(-2))A^{-1}$，
>又$|A|=|B|$， ，
>可得$B^*=|B|B^{-1}=|A|P(2,1(-2))A^{-1}=P(2,1(-2))A^*$，根据初等矩阵的性质，$B^*$应该是$A^*$的第一行乘以$(-2)$加到第二行的结果。
6. 已知方程组$\quad\begin{cases}x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0, \\2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0, \\x_1 + x_2 + ax_3 = 0,\end{cases}$与$\text{(II)} \quad\begin{cases}x_1 + bx_2 + cx_3 = 0, \\2x_1 + b^2x_2 + (c+1)x_3 = 0\end{cases}$同解，则
(A) $a = 1, b = 0, c = 1$;
(B) $a = 1, b = 1, c = 2$;
(C) $a = 2, b = 0, c = 1$;
(D) $a = 2, b = 1, c = 2$.
## 二、填空题， ， ，
7. 已知向量 $\alpha_1 = (1,0,-1,0)^T$， ，
$$
\langle \alpha_1 + 2\alpha_2,\, 2\alpha_1 + \alpha_3 \rangle = \underline{\qquad\qquad}.
$$
8. 设2阶矩阵A=$\begin{bmatrix}3& -1\\-9& 3\end{bmatrix}$， ，
---
解析：
先计算$A^2$：
$$A^2
= \begin{bmatrix}3& -1\\-9& 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3& -1\\-9& 3\end{bmatrix} $$
$$= \begin{bmatrix}3\times3 + (-1)\times(-9)& 3\times(-1) + (-1)\times3\\-9\times3 + 3\times(-9)& -9\times(-1) + 3\times3\end{bmatrix}
$$$$= \begin{bmatrix}18& -6\\-54& 18\end{bmatrix} $$
$$= 6\begin{bmatrix}3& -1\\-9& 3\end{bmatrix} = 6A$$
由此递推：
- $$A^3 = A^2 \cdot A = 6A \cdot A = 6A^2 = 6\times6A = 6^2A$$
- 归纳可得当$n \geq 1$时，$A^n = 6^{n-1}A$
将A代入得：
$$A^n = 6^{n-1}\begin{bmatrix}3& -1\\-9& 3\end{bmatrix} $$
---
>答案：**D**
>解析：$\text{(I)}:\begin{bmatrix}1& 2& 3\\2& 3& 5\\1& 1& a\end{bmatrix}x=0$， & b& c\\2& b^2& c+1\end{bmatrix}x=0$，对方程做初等行变换：
>$\text{(I)}:\begin{bmatrix}1& 0& 1\\0& 1& 1\\0& 0& a-2\end{bmatrix}x=0$， & b& c\\0& b^2-2b& 1-c\end{bmatrix}x=0$，记系数矩阵分别为$A,B$
>因为方程(I),(II)同解，所以$\text{rank}A=\text{rank}B$，而$\text{rank}A\ge 2,\text{rank}B\le 2$，故$\text{rank}A=\text{rank}B=2$，故$a-2=0 \to a=2$；所以方程组(I)的解为$x=k(1,1,-1)^T$；
>令$k=1,x=(1,1,-1)^T$代入方程组(II)得$\begin{bmatrix}1& b& c\\0& b^2-2b& 1-c\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+b-c\\b^2-2b+c-1\end{bmatrix}=0$，解得$\begin{cases}b=0\\c=1\end{cases}$或$\begin{cases}b=1\\c=2\end{cases}$；然而，当$\begin{cases}b=0\\c=1\end{cases}$时，$\begin{bmatrix}1& b& c\\0& b^2-2b& 1-c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1& 0& 1\\0& 0& 0\end{bmatrix}$，不符合$\text{rank}B=2$的约束，故舍去；
>综上，$\begin{cases}a=2\\b=1\\c=2\end{cases}$
## 二、填空题， ， ，
9. 若向量组
$$
\alpha_1 = (1,0,1)^T,\quad \alpha_2 = (0,1,1)^T,\quad \alpha_3 = (1,3,5)^T
$$
不能由向量组
$$
\beta_1 = (1,1,1)^T,\quad \beta_2 = (1,2,3)^T,\quad \beta_3 = (3,4,a)^T
$$
线性表示，则
$$
a = \underline{\qquad\qquad}.
$$
---
7. 已知向量 $\alpha_1 = (1,0,-1,0)^T$， ，
10. 设矩阵
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\
1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\
1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\
1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3
\end{bmatrix},\quad
x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix},\quad
b = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},
$$
其中常数 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 互不相等，则线性方程组 $Ax = b$ 的解为
$$
\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}.
$$
---
解析：
8. 设2阶矩阵A=$\begin{bmatrix}3& -1\\-9& 3\end{bmatrix}$， ，
一眼顶针，鉴定为： $$
x = (1,0,0,0)^T$$
---
9. 若向量组$\alpha_1 = (1,0,1)^T,\quad \alpha_2 = (0,1,1)^T,\quad \alpha_3 = (1,3,5)^T$不能由向量组$\beta_1 = (1,1,1)^T,\quad\beta_2 = (1,2,3)^T,\quad\beta_3 = (3,4,a)^T$线性表示，则$a = \underline{\qquad\qquad}.$
10. 设矩阵$A = \begin{bmatrix}1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3\end{bmatrix},x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix},b = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},$其中常数 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 互不相等，则线性方程组 $Ax = b$ 的解为$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}.$
11. 矩阵(陈峰华原创题)$$A=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & 1 \\
@ -202,19 +102,12 @@ $$A^n = 6^{n-1}\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} $$
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}_{(mn) \times (mn)}$$其中第一行有$m$个$0$.若$A^k=O$，则 $k$ 的最小值为$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}.$
---
解析：
12. 设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，满足$\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B,$ 且方程 $XA = B$ 有解。若 $\operatorname{rank} A = k$，则$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\underline{\hspace{3cm}}.$
## 三、解答题， ，
---
13. （
$$
$$
K_n = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\
2 & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \\
@ -224,8 +117,6 @@ $$A^n = 6^{n-1}\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} $$
n & n-1 & n-2 & \cdots & 2 & 1
\end{vmatrix}.
$$
$$
M_n =\begin{vmatrix}
1+x_1 & 1+x_1^2 & \cdots & 1+x_1^n \\
@ -233,392 +124,14 @@ $$
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1+x_n & 1+x_n^2 & \cdots & 1+x_n^n
\end{vmatrix}
$$
---
解析
（ ） ：
从第 $n-1$ 行开始，依次乘以 $(-1)$ 加到下一行，再把第 $n$ 列加到前面各列，得
$$
\begin{aligned}
K_n & =
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\
2 & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \\
3 & 2 & 1 & \cdots & n-3 & n-2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
n-1 & n-2 & n-3 & \cdots & 1 & 2 \\
n & n-1 & n-2 & \cdots & 2 & 1
\end{vmatrix} \\[4pt]
& =
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\
1 & -1 & -1 & \cdots & -1 & -1 \\
1 & 1 & -1 & \cdots & -1 & -1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
1 & 1 & 1 & \cdots & -1 & -1 \\
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & -1
\end{vmatrix}
\end{aligned}
$$
继续化简：
$$
\begin{aligned}
& =
\begin{vmatrix}
n+1 & n+2 & n+3 & \cdots & 2n-1 & n \\
0 & -2 & -2 & \cdots & -2 & -1 \\
0 & 0 & -2 & \cdots & -2 & -1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & -2 & -1 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -1
\end{vmatrix}
\end{aligned}
$$
这是一个上三角行列式，因此
$$
D_n = (-1)^{n-1} \cdot 2^{n-2} \cdot (n+1)
$$
---
（ ）
$$
\tilde{D} =
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
1 & 1 + x_1 & 1 + x_1^2 & \cdots & 1 + x_1^n \\
1 & 1 + x_2 & 1 + x_2^2 & \cdots & 1 + x_2^n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 1 + x_n & 1 + x_n^2 & \cdots & 1 + x_n^n
\end{vmatrix}
$$
$$
\tilde{D} =
\begin{vmatrix}
1 & -1 & -1 & \cdots & -1 \\
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\
1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n
\end{vmatrix}
$$
将第一行拆为 $(2,0,0,\dots,0)$ 与 $(-1,-1,\dots,-1)$ 之和：
$$
\tilde{D} =
\begin{vmatrix}
2 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\
1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
-1 & -1 & -1 & \cdots & -1 \\
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\
1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n
\end{vmatrix}
$$
令左边为 $A$，右边为 $B$。
计算 $A$，按第一行展开：
$$
A = 2 \cdot
\begin{vmatrix}
x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\
x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n
\end{vmatrix}
= 2 \cdot \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right) \cdot
\begin{vmatrix}
1 & x_1 & \cdots & x_1^{n-1} \\
1 & x_2 & \cdots & x_2^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & x_n & \cdots & x_n^{n-1}
\end{vmatrix}
$$
右边为范德蒙德行列式：
$$
A = 2 \prod_{i=1}^{n} x_i \cdot \prod_{1 \leq i < j \leq n } ( x_j - x_i )
$$
计算 $B$，提出第一行的因子 $-1$：
$$
B = (-1) \cdot
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n \\
1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n
\end{vmatrix}
$$
该行列式为 $n+1$ 阶范德蒙德行列式，变量为 $1, x_1, x_2, \dots, x_n$：
$$
B = (-1) \cdot \prod_{i=1}^{n} (x_i - 1) \cdot \prod_{1 \leq i < j \leq n } ( x_j - x_i )
$$
因此：
$$
\tilde{D} = A + B = \left( 2 \prod_{i=1}^{n} x_i - \prod_{i=1}^{n} (x_i - 1) \right) \cdot \prod_{1 \leq i < j \leq n } ( x_j - x_i )
$$
$$
\boxed{\tilde{D} = \left(2\prod\limits_{i=1}^{n}x_i - \prod\limits_{i=1}^{n}(x_i-1)\right) \prod\limits_{1\leq i< j \leq n }( x_j-x_i )}
$$
---
14. 设$A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 6\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a & a-1 \\ 2 & -3 & 2 & -2\end{bmatrix}$,向量$\alpha=\begin{bmatrix}0\\2\\3\end{bmatrix},\beta=\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$.
(1)证明：方程组$Ax=\alpha$的解均为方程组$Bx=\beta$的解；
(2)若方程组$Ax=\alpha$与方程组$Bx=\beta$不同解，求$a$的值.
---
解析：
(1)证明：$[A\ \ \alpha] \rightarrow \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 & 1\\0 & 1 & 0 & 2 & 1\\0 & 0 & 1 & 1 & 0\end{bmatrix}$,于是$Ax=\alpha$的通解为$$x=k\begin{bmatrix}-1\\-2\\-1\\1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\1\\0\\0\end{bmatrix},$$把方程$Bx=\beta$还原成方程组得$$\begin{cases}x_1& +x_2& +x_3& +2x_4& =1\\x_1& -x_2& +ax_3& +(a-1)x_4& =1\\2x_1& -3x_2& +2x_3& -2x_4& =-1\end{cases}$$把$Ax=\alpha$的解带入上方程组，显然符合，故方程组$Ax=\alpha$的解均为方程组$Bx=\beta$的解.
(2)方程组$Bx=\beta$与方程组$Ax=\alpha$不同解，而由上一题，方程组$Ax=\alpha$的解是$Bx=\beta$的解的真子集，于是$\dim N(A)< \dim N ( B ), r ( A )= 3 > r(B),r(B)\le2$.对$B$进行初等行变换得$$B\rightarrow\begin{bmatrix}1& 0& 1& 2\\0& 1& 0& 2\\0& 0& a-1& a-1\end{bmatrix},$$于是$a=1$.
---
15. （
$$
\alpha_1 = (1,0,-1)^T,\quad \alpha_2 = (2,1,1)^T,\quad \alpha_3 = (1,1,1)^T
$$
和
$$
\beta_1 = (0,1,1)^T,\quad \beta_2 = (-1,1,0)^T,\quad \beta_3 = (0,2,1)^T
$$
是 $\mathbb{R}^3$ 的两组基，求向量
$$
u = \alpha_1 + 2\alpha_2 - 3\alpha_3
$$
在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标。
---
解析：
已知：
$$
A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & 1
\end{bmatrix},
$$
$$
B = (\beta_1, \beta_2, \beta_3) =
\begin{bmatrix}
0 & -1 & 0 \\
1 & 1 & 2 \\
1 & 0 & 1
\end{bmatrix}.
$$
设 $u$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的坐标为 $x = (1, 2, -3)^T$，在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标为 $y$，则
$$
u = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) x = (\beta_1, \beta_2, \beta_3) y,
$$
即
$$
Ax = By.
$$
因为 $B$ 可逆，所以
$$
y = B^{-1} A x.
$$
用增广矩阵求解 $y$：
$$
(B, Ax) =
\begin{bmatrix}
0 & -1 & 0 & \vert & 2 \\
1 & 1 & 2 & \vert & -1 \\
1 & 0 & 1 & \vert & -2
\end{bmatrix}
$$
作行初等变换：
$$
\begin{aligned}
& \rightarrow
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 & \vert & -2 \\
0 & 1 & 1 & \vert & 1 \\
0 & -1 & 0 & \vert & 2
\end{bmatrix} \\[1em]
& \rightarrow
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 & \vert & -2 \\
0 & 1 & 1 & \vert & 1 \\
0 & 0 & 1 & \vert & 3
\end{bmatrix} \\[1em]
& \rightarrow
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & \vert & -5 \\
0 & 1 & 0 & \vert & -2 \\
0 & 0 & 1 & \vert & 3
\end{bmatrix}.
\end{aligned}
$$
因此向量
$$
u = \alpha_1 + 2\alpha_2 - 3\alpha_3
$$
在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标为
$$
y = (-5, -2, 3)^T.
$$
---
14. （ & -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 6\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a & a-1 \\ 2 & -3 & 2 & -2\end{bmatrix}$,向量$\alpha=\begin{bmatrix}0\\2\\3\end{bmatrix},\beta=\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$.
(1)证明：方程组 $Ax=\alpha$ 的解均为方程组 $Bx=\beta$ 的解；
(2)若方程组 $Ax=\alpha$ 与方程组 $Bx=\beta$ 不同解，求 $a$ 的值.
15. （
16. （
（ ）
（ ） ；
（ ） ；
（ ）
$$
B = \begin{bmatrix}
1 & -3 & 0 \\
2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix},
$$
求矩阵 $A$。
---
**【解】**
**(1)**
由 $AB = A + B$ 得 $(A - E)(B - E) = E$，因此 $A - E$ 可逆。
$$\text{……3 分}$$
**(2)**
由 $(A - E)(B - E) = E$ 得 $(B - E)(A - E) = E$，因此 $AB = BA$。
$$\text{……6 分}$$
**(3)**
由 $AB = A + B$ 得 $A = (A - E)B$，而 $A - E$ 可逆，故
$$
\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(B).
$$
$$\text{……9 分}$$
**(4)**
由 $AB = A + B$ 得 $A(B - E) = B$，而 $B - E$ 可逆，故
$$
A = B(B - E)^{-1}.
$$
已知
$$
B = \begin{bmatrix}
1 & -3 & 0 \\
2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix},
$$
则
$$
B - E = \begin{bmatrix}
0 & -3 & 0 \\
2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}.
$$
求逆得
$$
(B - E)^{-1} = \begin{bmatrix}
0 & \frac12 & 0 \\[2pt]
-\frac13 & 0 & 0 \\[2pt]
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}.
$$
于是
$$
A = B(B - E)^{-1} = \begin{bmatrix}
1 & -3 & 0 \\
2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & \frac12 & 0 \\[2pt]
-\frac13 & 0 & 0 \\[2pt]
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
1 & \frac12 & 0 \\[2pt]
-\frac13 & 1 & 0 \\[2pt]
0 & 0 & 2
\end{bmatrix}.
$$
$$\text{……12 分}$$
---
17. 设矩阵$A=\begin{bmatrix}1& 2& 1& 2\\0& 1& t& t\\1& t& 0& 1\end{bmatrix}$， ，
---
解析：
因为n=4，
对A施行初等行变换，
$$A=\begin{bmatrix}1& 2& 1& 2\\0& 1& t& t\\1& t& 0& 1\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1& 2& 1& 2\\0& 1& t& t\\0& t-2& -1& -1\end{bmatrix}$$
$$\to\begin{bmatrix}1& 2& 1& 2\\0& 1& t& t\\0& 0& -(1-t)^2& -(1-t)^2\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1& 0& 1-2t& 2-2t\\0& 1& t& t\\0& 0& -(1-t)^2& -(1-t)^2\end{bmatrix}$$
要使$\text{rank}A=2$，
此时，
$$\boldsymbol{\xi}_1=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\\0\end{bmatrix},\ \boldsymbol{\xi}_2=\begin{bmatrix}0\\-1\\0\\1\end{bmatrix}$$
方程组的通解为$$\boldsymbol{x}=k_1\boldsymbol{\xi}_1+k_2\boldsymbol{\xi}_2， （ ）
（ ） & -3 & 0 \\2 & 1 & 0 \\0 & 0 & 2\end{bmatrix}$，求矩阵 $A$。
17. （ & 2& 1& 2\\0& 1& t& t\\1& t& 0& 1\end{bmatrix}$，齐次线性方程组 $Ax=0$ 的基础解系中含有两个解向量，求 $Ax=0$ 的通解。
