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- 编写小组
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# 单调有界准则
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## 原理
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> [!example] **例1**
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- **单调有界数列必收敛**：
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1. 若数列 $\{a_n\}$ 单调递增且有上界 $M$，则 $\{a_n\}$ 收敛，且 $\lim_{n \to \infty} a_n = \sup\{a_n\} \leq M$。
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2. 若数列 $\{a_n\}$ 单调递减且有下界 $m$，则 $\{a_n\}$ 收敛，且 $\lim_{n \to \infty} a_n = \inf\{a_n\} \geq m$。
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- **函数单调有界性质**：
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若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调且有界，则 $f(x)$ 在 $I$ 的端点或无穷远处存在单侧极限。
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## 适用情况
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适用于证明数列或函数极限的存在性，尤其是：
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- 递推数列极限的存在性与求解；
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- 函数在某区间上的极限存在性；
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- 某些无法直接求极限但可判断单调性和有界性的情形。
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## 优势
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1. 不依赖于极限的具体值，只需判断单调性和有界性；
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2. 适用于很多递推定义的数列；
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3. 证明过程结构清晰，易于理解和操作。
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## 劣势
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1. 只能证明极限存在，不能直接给出极限值（需另解方程）；
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2. 判断单调性和有界性有时需要一定的技巧；
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3. 对于非单调或没有明显界的序列不适用。
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## 例子
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> [!example] 例1
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> 证明数列 $a_1 = \sqrt{2}, a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ 收敛，并求其极限。
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**解析**
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1. **有界性**：
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易证 $0 < a_n < 2$（可用归纳法）。
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2. **单调性**：
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计算 $a_{n+1} - a_n = \sqrt{2 + a_n} - a_n$。
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设 $f(x) = \sqrt{2 + x} - x$，在 $[0,2]$ 上分析符号，可得 $a_{n+1} \geq a_n$，故数列单调递增。
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3. **由单调有界准则**，数列收敛。
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4. **求极限**：
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设 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$，则 $L = \sqrt{2 + L}$，解得 $L = 2$（舍去负根）。
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> [!example] 例2
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> 证明函数 $f(x) = \frac{x}{x+1}$ 在 $[0, +\infty)$ 上单调有界，并求 $\lim_{x \to +\infty} f(x)$。
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**解析**
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1. **单调性**：
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导数 $f'(x) = \frac{1}{(x+1)^2} > 0$，故 $f(x)$ 单调递增。
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2. **有界性**：
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显然 $0 \leq f(x) < 1$。
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3. **由单调有界准则**，$\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 存在，且为 $1$。
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> [!example] **例3**
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> 设$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$a < c < d < b$。证明：在$(a,b)$内必存在点$\xi$，使得$mf(c)+nf(d)=(m+n)f(\xi)$，其中$m,n$为任意给定的自然数。
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**解析：**
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因$f(x)$在$[a,b]$上连续，所以$f(x)$在$[a,b]$上能取得最大值$f_{\max}$和最小值$f_{\min}$。又因为 $(m+n)fmin⩽mf(c)+nf(d)⩽(m+n)fmax$, 即$$f_{\min} \leqslant \frac{mf(c) + nf(d)}{m + n} \leqslant f_{\max}$$故由介值定理，在$[a,b]$上必存在一点$\xi$，使得 $m+nmf(c)+nf(d)=f(ξ)$, 即$mf(c) + nf(d) = (m + n)f(\xi)$。
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> [!example] **例2**
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> [!example] **例4**
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> 一支巡逻小分队定期到山上的岗哨换岗，每天上午7点从营地出发，8点到达目的地。第二天上午7点沿原路返回，8点前返回到达山下营地。利用零点定理证明，在换岗的路途中必有一点，小分队在两天中的同一时刻经过该点。
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**解析**
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设上山的路程函数为$s=f_1(t)$（$7\leqslant t\leqslant8$），则$f_1(7)=0$，$f_1(8)=D$（$D$为两岗哨之间的距离） 下山的路程函数为$s=f_2(t)$（$7\leqslant t\leqslant8$），则$f_2(7)=D$，$f_2(8)=0$ 作辅助函数$F(t)=f_1(t)-f_2(t)$，则$F(t)$在$[7,8]$上连续，且$F(7)=-D$，$F(8)=D$ 由零点定理知，至少存在$\xi\in(7,8)$使$F(\xi)=0$ 即在换岗的路途中必有一点，小分队在两天中的同一时刻经过该点。
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> [!example] 例3
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> [!example] 例5
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> 设$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且$\lim\limits_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x}=0$，试证存在$\xi\in(-\infty,+\infty)$，使$f(\xi)+\xi=0$
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**解析**
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@ -31,7 +89,7 @@ $$$$\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{F(x)}{x}=\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\
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步骤3：应用零点存在定理得出结论 $F(x)$在闭区间$[x_2,x_1]$上连续，且$F(x_2)<0$，$F(x_1)>0$。 由零点存在定理，至少存在一点$\xi\in(x_2,x_1)\subset(-\infty,+\infty)$，使得$F(\xi)=0$，即$f(\xi)+\xi=0$
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>[!example] **例4**
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>[!example] **例6**
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>设数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_1 = \sqrt{2}$，且对任意 $n \ge 1$，有 $x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n}$。证明该数列收敛，并求其极限。
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**证明**：
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