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素材/拐点是一个点.md

@@ -0,0 +1 @@
+拐点一定要是点

编写小组/试卷/0103高数模拟试卷.md

@@ -45,12 +45,6 @@ D$\frac{1}{6}$
 3.若级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^p}{(-1)^n}\sin(\frac{1}{\sqrt{n}})$绝对收敛，则常数$p$的取值范围是$\underline{\quad\quad\quad}.$
 
 
-
-
-
-
-
-=======
 4.求不定积分$\int{x^3\sqrt{4-x^2}\mathrm{d}x}=\underline{\quad\quad\quad}.$
 
 

编写小组/试卷/1231线性代数考试卷（解析版）.md

@@ -90,8 +90,6 @@ tags:
 
 8. 设2阶矩阵A=$\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix}$，n为正整数，则$A^n=\underline{\quad\quad}$。
 
-9. 若向量组$\alpha_1 = (1,0,1)^T,\quad \alpha_2 = (0,1,1)^T,\quad \alpha_3 = (1,3,5)^T$不能由向量组$\beta_1 = (1,1,1)^T,\quad\beta_2 = (1,2,3)^T,\quad\beta_3 = (3,4,a)^T$线性表示，则$a = \underline{\qquad\qquad}.$
-
 解析：
 先计算$A^2$：
 
@@ -401,7 +399,7 @@ $$
 ---
 
 解析：
-(1)证明：$[A\ \ \alpha] \rightarrow \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 & 1\\0 & 1 & 0 & 2 & 1\\0 & 0 & 1 & 1 & 0\end{bmatrix}$,于是$Ax=\alpha$的通解为$$x=k\begin{bmatrix}-1\\-2\\-1\\1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\1\\0\\0\end{bmatrix},$$把方程$Bx=\beta$还原成方程组得$$\begin{cases}x_1&+x_2&+x_3&+2x_4&=1\\x_1&-x_2&+ax_3&+(a-1)x_4&=1\\2x_1&-3x_2&+2x_3&-2x_4&=-1\end{cases}$$把$Ax=\alpha$的解带入上方程组，显然符合，故方程组$Ax=\alpha$的解均为方程组$Bx=\beta$的解.
+(1)证明：$[A\ \ \alpha] \rightarrow \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 & 1\\0 & 1 & 0 & 2 & 1\\0 & 0 & 1 & 1 & 0\end{bmatrix}$,于是$Ax=\alpha$的通解为$$x=k\begin{bmatrix}-1\\-2\\-1\\1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\1\\0\\0\end{bmatrix},$$把方程$Bx=\beta$还原成方程组得$$\begin{cases}x_1&+0x_2&+x_3&+2x_4&=1\\x_1&-x_2&+ax_3&+(a-1)x_4&=1\\2x_1&-3x_2&+2x_3&-2x_4&=-1\end{cases}$$把$Ax=\alpha$的解带入上方程组，显然符合，故方程组$Ax=\alpha$的解均为方程组$Bx=\beta$的解.
 
 (2)方程组$Bx=\beta$与方程组$Ax=\alpha$不同解，而由上一题，方程组$Ax=\alpha$的解是$Bx=\beta$的解的真子集，于是$\dim N(A)<\dim N(B),r(A)=3>r(B),r(B)\le2$.对$B$进行初等行变换得$$B\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&1&2\\0&1&0&2\\0&0&a-1&a-1\end{bmatrix},$$于是$a=1$.
 

编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.10线代限时练.md

@@ -0,0 +1,13 @@
+一、填空题
+1. 设 $A=\begin{bmatrix}1&2&0\\0&2&0\\-2&-1&-1\end{bmatrix}$，则$A^{100}=$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
+2. 线性空间 $V = \{A\in\mathbb{R}^{n\times n}|A = -A^\mathrm{T}\}$ 的维数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
+3. 设向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 线性无关，$\beta_1=\alpha_1+\alpha_2,\beta_2=\alpha_2+\alpha_3,\cdots,\beta_{s-1}=\alpha_{s-1}+\alpha_s$，则向量组 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$ 线性无关的充要条件是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
+4. 已知 $A,B$ 均为 $n$ 阶正交矩阵，且 $|A|=-|B|$，则 $|A+B|$ 的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
+5. 已知 $4$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，$A$ 的全部特征值为 $1,2,3,4$，则行列式 $|B^{-1}-E|$ 为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
+6. 设 $\alpha,\beta,\gamma$ 为 $x^3+px+q=0$ 的三个根，则行列式 $\begin{vmatrix}\alpha&\beta&\gamma\\\gamma&\alpha&\beta\\\beta&\gamma&\alpha\end{vmatrix}$ 的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
+二、解答题
+7. 计算$n$阶行列式 $D_n=\begin{vmatrix}2+a_1^2 & a_1a_2 & \cdots&a_1a_n \\ a_2a_1& 2+a_2^2 & \cdots & a_2a_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_na_1&a_na_2&\cdots& 2+a_n^2\end{vmatrix}$.
+8. 已知三阶方阵 $A=\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\end{bmatrix}$ 有三个不同的特征值，其中$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，若 $\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$ ，求线性方程组 $Ax=\beta$ 的通解.
+9. 设 $A$ 是 $m\times n$ 实矩阵， $\beta \neq 0$ 是 $m$ 维实列向量，证明：
+	(1) $\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)$ .
+	(2) 线性方程组 $A^\mathrm{T}Ax = A^\mathrm{T}\beta$ 有解.

编写小组/试卷/高数期末复习模拟/1.10高数限时练.md

@@ -0,0 +1,133 @@
+---
+tags:
+  - 高数复习模拟
+---
+### 一、单选题（共3小题，每小题6分，共18分）  
+
+1. 函数$f(x) = \frac{|x+1|}{x(x-1)(x+1)} \arctan x + \sin \frac{1}{x-2}$的可去间断点为（ ）。  
+   (A)$x = 0$ 
+   (B)$x = 1$ 
+   (C)$x = 2$ 
+   (D)$x = -1$ 
+
+2. “级数$\sum_{n=1}^\infty a_n$收敛”是“级数$a_1 - a_1 + a_2 - a_2 + \cdots + a_n - a_n + \cdots$收敛”的（ ）。  
+   (A) 充分但非必要条件  
+   (B) 必要但非充分条件  
+   (C) 充要条件  
+   (D) 既非充分也非必要条件  
+
+3. 已知函数$f(x) = x^2 \sin \frac{1}{x}$，则下列四个判断：  
+   ①$f(x)$在$(0, +\infty)$上有界  
+   ②$f(x)$是$x \to +\infty$过程的无穷大量  
+   ③$f'(x)$在$(0, +\infty)$上有界  
+   ④$f'(x)$是$x \to +\infty$过程的无穷大量  
+   正确的是（ ）。  
+   (A) ①③  
+   (B) ①④  
+   (C) ②③  
+   (D) ②④  
+
+---
+
+### 二、填空题（共3小题，每小题6分，共18分）  
+
+4. 设$y = y(x)$是由方程$xy + e^{2y} = \sin 3x + 1$确定的隐函数，则$dy|_{x=0} = \underline{\qquad}$。  
+
+5. 极限  
+  $$
+   \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{3n^4 + 1}} + \frac{2}{\sqrt{3n^4 + 2}} + \cdots + \frac{n}{\sqrt{3n^4 + n}} \right)
+  $$ 
+   的值为 $\underline{\qquad}$。  
+
+6. 已知  
+$$\int x f(x) \, dx = \ln \left( 1 + x^2 \right) + C$$ 
+    则曲线$y = f(x) (x > 0)$的拐点为 $\underline{\qquad}$。  
+
+---
+
+### 三、解答题（共4小题，共64分）  
+
+7. （16分）求极限  
+   $$
+    \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - 1 - \ln \left( x^2 + 1 \right)}{x^3 \arcsin x}.
+   $$
+```text
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+
+```
+8. （16分）设函数  
+   $$
+    f(x) = 
+    \begin{cases} 
+    |x|^x, & x \neq 0, \\ 
+    a, & x = 0, 
+    \end{cases}
+   $$ 
+    试求常数$a$的值，使得$f(x)$在$x = 0$处连续，并讨论此时$f(x)$在$x = 0$处的可导性。  
+```text
+
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+
+
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+
+```
+9. （16分）将函数$f(x) = x^2 e^x + x^6$展开成六阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式，并求$f^{(6)} (0)$的值。
+```text
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+
+```
+10. （16分）已知函数$f(x)$在$[0,1]$上可导，$f(0)=0$。证明：至少存在一点$\xi \in (0,1)$，使得  
+   $$f'(1-\xi)=\frac{2}{\xi}f(1-\xi).$$
+```text
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+
+
+
+
+
+```

编写小组/试卷/高数期末真题/2017高数期末考试卷.md

@@ -0,0 +1,146 @@
+---
+tags:
+  - 官方试卷
+---
+# 国防科技大学 2017—2018 学年秋季学期  
+## 《高等数学》考试试卷（A）卷  
+
+**(2018 年 1 月 26 日)**  
+
+**考试形式：闭卷**  
+**考试时间：150 分钟**  
+**满分：100 分**  
+
+| 题号 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 七 | 八 | 九 | 十 | 十一 | 十二 | 总分 | 核分 |
+|------|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|-----|-----|------|------|
+| 满分 | 15 | 15 | 6  | 6  | 6  | 6  | 6  | 8  | 8  | 8  | 8   | 8   | 100 |      |
+| 得分 |    |    |    |    |    |    |    |    |    |    |     |     |      |      |
+| 评阅人 |    |    |    |    |    |    |    |    |    |    |     |     |      |      |
+
+**注意：**  
+1. 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效。  
+2. 密封线外不得有姓名及相关标记。  
+3. 当题目留空不够时，可写在试卷反面，但密封线内请勿答题。  
+
+---
+
+### 一、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）  
+
+1. 函数$y = \ln(2 - x^2)$在$x = 1$处的微分为 ______。  
+
+2. 曲线$y = 1 + xe^x$在点 (0,1) 处的曲率为 ______。  
+
+3. 函数$y = \frac{x^3 + 4}{x^2}$的单调递减区间为 ______。  
+
+4. 已知$\int f(x) dx = \arctan x + C$，则$f'(x) =$______。  
+
+5. 已知级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^{2n}}{a^{2n} + 1}$收敛，则常数$a$的最大取值范围为 ______。  
+
+---
+
+### 二、选择题（共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）  
+
+1. 点$x = 0$为函数$f(x) = \frac{2e^x + 3}{3e^x + 2}$的（ ）。  
+   (A) 可去间断点  
+   (B) 跳跃间断点  
+   (C) 无穷间断点  
+   (D) 振荡间断点  
+
+2. 设函数$f(x), g(x)$在$[-a, a]$上均具有连续导数，且$f(x)$为奇函数，$g(x)$为偶函数，则定积分  
+  $$
+   \int_{-a}^{a} [f'(x) + g'(x)] dx = \text{（ ）}。
+  $$ 
+   (A)$f(a) + g(a)$ 
+   (B)$f(a) - g(a)$ 
+   (C)$2g(a)$ 
+   (D)$2f(a)$ 
+
+3. 设$f(x)$是定义在$(-\infty, +\infty)$内的连续的奇函数，下列表格中给出了它的二阶导数$f''(x)$在$(0, +\infty)$内的符号信息，则曲线$y = f(x) (-\infty < x < +\infty)$的拐点个数为（ ）。  
+
+   |$x$| (0,1) | 1 | (1,2) | 2 | (2,+\infty) |  
+   |--------|--------|---|--------|---|-------------|  
+   |$f''(x)$| + | 0 | - | 不存在 | - |  
+
+   (A) 1  
+   (B) 2  
+   (C) 3  
+   (D) 4  
+
+4. 下列级数中条件收敛的是（ ）。  
+   (A)$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{n^2}{2^n + 1}$ 
+   (B)$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{2^n}{n! + 1}$ 
+   (C)$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{n}{n^2 + 1}$ 
+   (D)$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{2^n}{n^2 + 1}$ 
+
+5. 极限  
+  $$
+   \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2 + 1^2} + \frac{2}{n^2 + 2^2} + \cdots + \frac{n}{n^2 + n^2} \right)
+  $$ 
+   的值为（ ）。  
+   (A)$\frac{\ln 2}{2}$ 
+   (B)$\frac{\pi}{4}$ 
+   (C)$\frac{1}{2}$ 
+   (D) 0  
+
+---
+
+### 三、（6 分）求曲线$y = \frac{\ln(1-x)}{x}$的所有渐近线方程。  
+
+---
+
+### 四、（6 分）已知函数$y = y(x)$由方程$x \cos y + e^y = 1$所确定，求曲线$y = y(x)$在点 (0,0) 处的切线方程。  
+
+---
+
+### 五、（6 分）计算极限$\lim_{x \to +\infty} \left( 1 + 2^x + 3^x \right)^{\frac{1}{x}}$。  
+
+---
+
+### 六、（6 分）已知  
+$$
+\begin{cases} 
+x = \int_{0}^{t} \frac{\sin u}{u} du, \\ 
+y = \int_{0}^{t} \sin u^2 du, 
+\end{cases}
+$$ 
+求$\frac{dy}{dx}$和$\frac{d^2 y}{dx^2}$。  
+
+---
+
+### 七、（6 分）计算反常积分  
+$$
+\int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{\left(1 + x^2\right)^{\frac{5}{2}}} dx。
+$$ 
+
+---
+
+### 八、（8 分）  
+（I）写出函数$f(x) = \ln \sqrt{\frac{1 - x^2}{1 + x^2}}$带佩亚诺余项的 6 阶麦克劳林公式，并求$f''(0)$和$f'''(0)$的值；  
+
+（II）已知当$x \to 0$时，$f(x)$与$g(x) = ae^{-x^2} + b\cos x$是等价无穷小，求常数$a, b$的值。  
+
+---
+
+### 九、（8 分）求曲线$y = \sqrt{x}\sin x \ (0 \leq x \leq \pi)$与$x$轴所围的平面图形绕$x$轴旋转一周所得的旋转体体积。  
+
+---
+
+### 十、（8 分）设$x_1 = 1, x_n = 1 + \frac{x_{n-1}}{1 + x_{n-1}}, n = 2, 3, \cdots$，试用单调有界原理证明极限$\lim_{n \to \infty} x_n$存在，并求出其值。  
+
+---
+
+### 十一、（8 分）要造一个壁和底厚为$a(m)$、容积为$V(m^3)$、上端开口的圆柱形容器，问：当容器端口内半径尺寸$r(m)$为何值时，所用材料最省？  
+
+---
+
+### 十二、（8 分）已知函数$f(x)$在$[0,+\infty)$内二阶可导，且  
+$$
+\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} = \lambda < 0, \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty。
+$$ 
+证明：  
+（I）方程$f(x) = 0$在$(0,+\infty)$内至少有一个实根；  
+（II）方程$f(x)f''(x)+[f'(x)]^2=0$在$(0,+\infty)$内至少有两个实根。  
+
+---
+
+**（试卷结束）**

编写小组/试卷/高数期末真题/2018高数期末考试卷.md

@@ -0,0 +1,149 @@
+---
+tags:
+  - 官方试卷
+---
+# 国防科技大学 2018—2019 学年秋季学期  
+## 《高等数学》(I) 考试试卷 (A) 卷  
+
+**(2019 年 1 月 25 日 8:00—10:30)**  
+
+**考试形式：闭卷**  
+**考试时间：150 分钟**  
+**满分：100 分**  
+
+**注意：**  
+1. 所有答题都须写在答题卡指定区域内，写在其它纸上一律无效。  
+2. 答题区域内不得有姓名及相关标记。  
+
+---
+
+### 一、单选题（共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）  
+
+1. 点$x = 0$是函数$f(x) = \frac{e^x - 1}{|x|}$的（ ）。  
+   (A) 可去间断点  
+   (B) 跳跃间断点  
+   (C) 无穷间断点  
+   (D) 振荡间断点  
+
+2. 下列级数发散的是（ ）。  
+   (A)$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n + 1}{n^4 + 1}$ 
+   (B)$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^4 + 1}{4^n + 1}$ 
+   (C)$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n+1}}$ 
+   (D)$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{\sqrt{n}}{n+1}$ 
+
+3. 当$x \to 0$时，与$x - \sin x$同阶的无穷小是（ ）。  
+   (A)$x + \tan x$ 
+   (B)$x \tan x$ 
+   (C)$x^2 + \tan x$ 
+   (D)$x^2 \tan x$ 
+
+4. 已知函数$f(x)$在$x = 1$的某邻域内三阶可导，且$\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - 2}{(x-1)^2 \ln x} = \frac{1}{3}$，则（ ）。  
+   (A)$x = 1$为函数$f(x)$的极大值点  
+   (B) 点 (1, 2) 为曲线$y = f(x)$的拐点  
+   (C)$x = 1$为函数$f(x)$的极小值点  
+   (D) 点 (1, 0) 为曲线$y = f(x)$的拐点  
+
+5. 设$f(x)$与$g(x)$互为反函数，已知$f(x)$二阶可导，则依据下表知$g'(2)$与$g''(2)$的值分别为（ ）。  
+
+   |$x$| 1 | 2 |  
+   |--------|---|---|  
+   |$f(x)$| 2 | 1 |  
+   |$f'(x)$| -3 | -1 |  
+   |$f''(x)$| 3 | 2 |  
+
+   (A) -1, 2  
+   (B) -1, -2  
+   (C)$\frac{1}{3}, \frac{1}{9}$ 
+   (D)$\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}$ 
+
+---
+
+### 二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）  
+
+6. 函数$y = \frac{1 - x + x^2}{1 + x + x^2}$在$x = 0$处的微分是 ______。  
+
+7. 极限  
+  $$
+   \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \tan \frac{\pi}{4n} + \tan \frac{2\pi}{4n} + \cdots + \tan \frac{n\pi}{4n} \right)
+  $$ 
+   的值为 ______。  
+
+8. 定积分  
+  $$
+   \int_{-1}^{1} \frac{x(\cos x + x)}{1 + x^2} dx
+  $$ 
+   的值为 ______。  
+
+9. 已知$\int f(x^2) dx = x \ln x + C$，则$f'(2) =$______。  
+
+10. 极坐标曲线$\rho = \theta$在点$(\rho, \theta) = (\pi, \pi)$处的切线的直角坐标方程为 ______。  
+
+---
+
+### 三、解答题（共 8 小题，共 54 分）  
+
+11. （6分）计算极限  
+   $$
+    \lim_{x \to 0} \frac{x \int_{0}^{x} \sqrt{1 + t^4} dt}{x - \ln (1 + x)}。
+   $$ 
+
+12. （6分）试确定常数$a, b$的值，使函数  
+   $$
+    f(x) = 
+    \begin{cases} 
+    ae^x + b, & x > 0, \\ 
+    \cos 3x, & x \leq 0 
+    \end{cases}
+   $$ 
+    在$x = 0$处可导。  
+
+13. （6分）计算不定积分  
+   $$
+    \int \frac{2 - \sqrt{2x + 1}}{2 + \sqrt{2x + 1}} dx。
+   $$ 
+
+14. （6分）计算定积分  
+   $$
+    \int_{0}^{\pi/2} x \sin x \cos^3 x dx。
+   $$ 
+
+15. （6分）试写出函数$f(x) = x \ln (2 + x) + \cos x$的 4 阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式，并求函数图形在点$(0, 1)$处的曲率。  
+
+16. （8分）已知函数$f(x) = (2x + 3) e^{\frac{2}{x}}$。  
+    （1）求函数$f(x)$的单调区间与极值。  
+    （2）求曲线$y = f(x)$的渐近线方程。  
+
+17. （8分）  
+    （1）证明：存在$\theta \in (0, 1)$使得  
+   $$
+    \ln (1 + x) - \ln \left( 1 + \frac{x}{2} \right) = \frac{x}{2 + (1 + \theta)x}, \quad x > 0；
+   $$ 
+    （2）证明不等式  
+   $$
+    \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n+1} < e \left( 1 + \frac{1}{2n} \right)，\quad n \text{为正整数}。
+   $$ 
+
+18. （8分）已知$y = y(x)$是由方程$x \cos y + \sin x + e^y = 1$所确定的隐函数。  
+    （1）求$\frac{dy}{dx}$；  
+    （2）计算极限  
+   $$
+    \lim_{x \to 0} \left( \frac{1 - y(x)}{1 + y(x)} \right)^{\frac{1}{x}} 的值。
+   $$ 
+
+---
+
+### 四、应用题（8 分）  
+
+19. 如图所示，某人在离水面 3m 高的岸上，用缆绳拉船靠岸。已知初始时刻船距离岸壁 20m，假设船的运动方向始终与岸壁垂直。问：当船离岸壁 4m，收缆速度为 2m/s 时，船靠岸的速度大小为多少？此时，缆绳倾斜角$\theta$关于时间的变化率是多少？  
+
+---
+
+### 五、证明题（8 分）  
+
+20. 设函数$f(x)$在$(-\infty, +\infty)$内可导，且$|f'(x)| \leq \lambda$，其中$\lambda (0 < \lambda < 1)$为常数。给定实数$a_1$，令$a_{n+1} = f(a_n) \quad (n=1,2,\cdots)$，证明：  
+    （1）级数$\sum_{n=1}^{\infty} (a_{n+1} - a_n)$是绝对收敛的；  
+    （2）数列$\{a_n\}$收敛，且其极限值为方程$f(x) = x$的唯一实数根。  
+
+---
+
+**（试卷结束）**

编写小组/试卷/高数期末真题/2019高数期末考试卷.md

@@ -0,0 +1,144 @@
+---
+tags:
+  - 官方试卷
+---
+# 2019—2020学年秋季学期  
+## 《高等数学》（I）考试试卷（A）卷  
+
+**考试形式：闭卷**  
+**考试时间：150分钟**  
+**满分：100分**  
+
+| 题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
+|------|----|----|----|------|
+| 得分 |    |    |    |      |
+| 评阅人 |    |    |    |      |
+
+**注意：**  
+1. 所有答题都须写在答题卡对应位置，写在其它纸上一律无效。  
+2. 答题卡密封线外不得有姓名及相关标记。  
+3. 所有教学班做1-19题，空医、陆医三个教学班做20*题和21*题，其他教学班做20题和21题。  
+
+---
+
+### 一、选择题（共5小题，每小题2分，共10分）  
+
+1. 函数  
+  $$
+   f(x) = \begin{cases} 
+   \sqrt{x} \sin \frac{1}{x}, & x > 0, \\ 
+   0, & x \leq 0 
+   \end{cases}
+  $$ 
+   在点$x = 0$处（ ）。  
+   (A) 不连续  
+   (B) 连续但不可导  
+   (C) 可导且$f'(0) = 0$ 
+   (D) 可导且$f'(0) \neq 0$ 
+
+2. 数列极限$\lim_{n \to \infty} (e^{-n} + \pi^{-n})^{\frac{1}{n}}$的值为（ ）。  
+   (A)$e$ 
+   (B)$\pi$ 
+   (C)$\frac{1}{e}$ 
+   (D)$\frac{1}{\pi}$ 
+
+3. 曲线$y = \frac{x^3 - x^2}{2 + x^2}$的渐近线为（ ）。  
+   (A)$y = x - 1$ 
+   (B)$y = x + 1$ 
+   (C)$y = x$ 
+   (D)$y = \frac{1}{2}x$ 
+
+4. 图1中曲线分别为函数$y = f(x)$及其一、二阶导函数的图形，则编号为①、②、③的曲线依次对应的函数是（ ）。  
+   (A)$y = f(x)$、$y = f'(x)$、$y = f''(x)$ 
+   (B)$y = f'(x)$、$y = f(x)$、$y = f''(x)$ 
+   (C)$y = f'(x)$、$y = f''(x)$、$y = f(x)$ 
+   (D)$y = f(x)$、$y = f''(x)$、$y = f'(x)$ 
+
+5. 设$y = f(x)$为区间$[0,1]$上单调增加的连续函数，且$f(0) = 0$，$f(1) = 2$，$x = g(y)$为$y = f(x)$的反函数。若$\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{1}{3}$，则$\int_{0}^{2} g(y) dy$的值为（ ）。  
+   (A)$\frac{1}{3}$ 
+   (B)$\frac{2}{3}$ 
+   (C)$\frac{4}{3}$ 
+   (D)$\frac{5}{3}$ 
+
+---
+
+### 二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）  
+
+6. 已知函数$y = e^{\sin(2x)}$，则在$x = 0$处的微分$dy|_{x=0} = \underline{\qquad}$。  
+
+7. 函数$f(x) = xe^{-x^2}$在$(-\infty,+\infty)$上的最大值为 \underline{\qquad}。  
+
+8. 曲线$C: x = \frac{1}{2} \cos t, y = \sin t, t \in [0,2\pi]$在点$(0,-1)$处的曲率为 \underline{\qquad}。  
+
+9. 已知函数$f(x) = x^2 \sin x$，则$f^{(7)}(0) = \underline{\qquad}$。  
+
+10. 不定积分$\int \frac{1}{x(1+2\ln x)} dx = \underline{\qquad}$。  
+
+---
+
+### 三、解答题（共11小题，共80分）  
+
+11. 计算数列极限  
+   $$
+    \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} + \cdots + \frac{1}{2n+n} \right)。
+   $$ 
+    （6分）  
+
+12. 设$y(x)$是由曲线方程$\sin x + y + e^x = 2$确定的隐函数，试计算$\frac{dy}{dx} \bigg|_{x=0}$的值，并求该曲线在点$P(0,1)$处的切线方程。（6分）  
+
+13. 计算不定积分  
+   $$
+    \int \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}} dx。
+   $$ 
+    （6分）  
+
+14. 设曲线$f(x) = x^3 + ax^2 + 18x$（$a$为大于零的常数）的拐点正好位于$x$轴上，试求$a$的值及曲线$y = f(x)$的拐点坐标。（6分）  
+
+15. 计算极限  
+   $$
+    \lim_{x \to +\infty} \left[ x + x^2 \ln \left( 1 - \frac{1}{x} \right) \right]。
+   $$ 
+    （6分）  
+
+16. 设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$f(x) = \arcsin x + x \int_0^1 f(x) \, dx$，试求$f(x)$的表达式。（6分）  
+
+17. 无人机在海面执勤时，发现可疑目标后将实时拍照传回指挥部。已知无人机按直线飞行，高度为150米，飞行过程中摄像头始终对准可疑目标（如图2所示）。当无人机飞临目标正上方时，速度为3米/秒。问：此时无人机摄像头转动角速度为多少？（8分）  
+
+18. 证明不等式  
+   $$
+    1 + x \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{1 + t^2}} > \sqrt{1 + x^2} \quad (x > 0)。
+   $$ 
+    （8分）  
+
+19. 记$I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^n x \, dx, (n=0,1,2,\cdots)$。  
+    （1）证明：当$n \geq 2$时，  
+   $$
+    I_n = \frac{2^{\frac{n-2}{2}}}{n-1} + \frac{n-2}{n-1} I_{n-2}；
+   $$ 
+    （2）计算$I_3$的值。（8分）  
+
+---
+
+**（以下为选做题，普通班做20、21题；空医、陆医班做20*、21*题）**  
+
+20. （10分）已知当$x \to 0$时，函数$f(x) = \sqrt{a + bx^2} - \cos x$与$x^2$是等价无穷小。  
+    （1）求参数$a, b$的值；（5分）  
+    （2）计算极限$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - x^2}{x^4}$的值。（5分）  
+
+20*. （10分）已知当$x \to 0$时，函数$f(x) = a + bx^2 - \cos x$与$x^2$是等价无穷小。  
+    （1）求参数$a, b$的值；（5分）  
+    （2）计算极限$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - x^2}{x^4}$的值。（5分）  
+
+21. （10分）设函数$f(x)$在$[0,1]$上可导，$f(1) = 1$且$2 \int_{0}^{1} x^2 f(x) dx = 1$。证明存在$\xi \in (0,1)$，使得  
+   $$
+    f(\xi) = -\frac{\xi}{2} f'(\xi)。
+   $$ 
+
+21*. （10分）设函数$f(x)$在$[0,1]$上可导，$\int_{0}^{\frac{1}{2}} f(x) dx = 0$。证明存在$\xi \in (0,1)$，使得  
+   $$
+    f(\xi) = (1 - \xi) f'(\xi)。
+   $$ 
+
+---  
+
+**（试卷结束）**

编写小组/试卷/高数期末真题/2020高数期末考试卷.md

@@ -0,0 +1,147 @@
+---
+tags:
+  - 官方试卷
+---
+# 2020—2021 学年秋季学期  
+## 《高等数学》（I）考试试卷（A）卷  
+
+**考试形式：闭卷**  
+**考试时间：150 分钟**  
+**满分：100 分**  
+
+| 题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
+|------|----|----|----|------|
+| 得分 |    |    |    |      |
+| 评阅人 |    |    |    |      |
+
+**注意：**  
+1. 所有答题都须写在答题卡对应位置，写在其它纸上一律无效。  
+2. 答题卡密封线外不得有姓名及相关标记。  
+
+---
+
+### 一、单选题（共5小题，每小题2分，共10分）  
+
+1. 函数$f(x) = \frac{|x+1|}{x(x-1)(x+1)} \arctan x + \sin \frac{1}{x-2}$的可去间断点为（ ）。  
+   (A)$x = 0$ 
+   (B)$x = 1$ 
+   (C)$x = 2$ 
+   (D)$x = -1$ 
+
+2. 已知函数$f(x)$可导，$y = \int_0^x f(t^2) dt$，则$y''(x)$等于（ ）。  
+   (A)$f(x^2)$ 
+   (B)$2xf'(x^2)$ 
+   (C)$2xf(x^2)$ 
+   (D)$2f(x^2) + 4x^2 f'(x^2)$ 
+
+3. “级数$\sum_{n=1}^\infty a_n$收敛”是“级数$a_1 - a_1 + a_2 - a_2 + \cdots + a_n - a_n + \cdots$收敛”的（ ）。  
+   (A) 充分但非必要条件  
+   (B) 必要但非充分条件  
+   (C) 充要条件  
+   (D) 既非充分也非必要条件  
+
+4. 已知函数$f(x), g(x)$在$(-\infty, +\infty)$内可导，且$f'(x) > 0, g'(x) < 0$，则（ ）。  
+   (A)$\int_0^1 f(x) dx > \int_1^2 f(x) dx$ 
+   (B)$\int_0^1 [f(x)] dx > \int_1^2 [f(x)] dx$ 
+   (C)$\int_0^1 f(x) g(x) dx > \int_1^2 f(x) g(x) dx$ 
+   (D)$\int_0^1 [g(x)] dx > \int_1^2 [g(x)] dx$ 
+
+5. 已知函数$f(x) = x^2 \sin \frac{1}{x}$，则下列四个判断：  
+   ①$f(x)$在$(0, +\infty)$上有界  
+   ②$f(x)$是$x \to +\infty$过程的无穷大量  
+   ③$f'(x)$在$(0, +\infty)$上有界  
+   ④$f'(x)$是$x \to +\infty$过程的无穷大量  
+   正确的是（ ）。  
+   (A) ①③  
+   (B) ①④  
+   (C) ②③  
+   (D) ②④  
+
+---
+
+### 二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）  
+
+6. 设$y = y(x)$是由方程$xy + e^{2y} = \sin 3x + 1$确定的隐函数，则$dy|_{x=0} = \underline{\qquad}$。  
+
+7. 极限  
+  $$
+   \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{3n^4 + 1}} + \frac{2}{\sqrt{3n^4 + 2}} + \cdots + \frac{n}{\sqrt{3n^4 + n}} \right)
+  $$ 
+   的值为 $\underline{\qquad}$。  
+
+8. 定积分  
+  $$
+   \int \frac{\pi}{2} \left( |\sin x| + x \right) \cos^2 x \, dx
+  $$ 
+   的值为 $\underline{\qquad}$。  
+
+9. 不定积分  
+  $$
+   \int x \tan^2 x \, dx = \underline{\qquad}。
+  $$ 
+
+10. 已知  
+   $$
+    \int x f(x) \, dx = \ln \left( 1 + x^2 \right) + C,
+   $$ 
+    则曲线$y = f(x) (x > 0)$的拐点为 \underline{\qquad}。  
+
+---
+
+### 三、解答题（共11小题，共80分）  
+
+11. （6分）求极限  
+   $$
+    \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - 1 - \ln \left( x^2 + 1 \right)}{x^3 \arcsin x}.
+   $$ 
+
+12. （6分）设函数  
+   $$
+    f(x) = 
+    \begin{cases} 
+    |x|^x, & x \neq 0, \\ 
+    a, & x = 0, 
+    \end{cases}
+   $$ 
+    试求常数$a$的值，使得$f(x)$在$x = 0$处连续，并讨论此时$f(x)$在$x = 0$处的可导性。  
+
+13. （6分）将函数$f(x) = x^2 e^x + x^6$展开成六阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式，并求$f^{(6)} (0)$的值。  
+
+14. （6分）已知$f(x)$是周期为 2 的可导函数，且曲线$y = f(x)$与曲线$y = \int_0^x e^{-t^2} dt$在点$(0,0)$处相切。求曲线$y = f(x)$在$x = 4$处的切线方程。  
+
+15. （6分）已知函数$f(x)$在$[0,1]$上可导，$f(0)=0$。证明：至少存在一点$\xi \in (0,1)$，使得  
+   $$
+    f'(1-\xi)=\frac{2}{\xi}f(1-\xi).
+   $$ 
+
+16. （6分）在某直线公路上有 A, B, C, D 四个加油站，依次相距 20 km。现计划在该公路上建一个加油总站 M，并配备一台供油车给各加油站供油。已知 A, B, C, D 四个加油站每天所需的油量依次为 2 车、3 车、5 车及 4 车。问：加油总站 M 建在何处可使供油车每天行驶的总路程最少？并说明理由。  
+
+    （图略：A、B、C、D 依次排列，间距均为 20 km）  
+
+17. （8分）已知函数$f(x) = \frac{\ln(1+x)}{1+x}$。  
+    (1) 求函数$f(x)$的单调区间与极值；（4分）  
+    (2) 求曲线$y = f(x)$的渐近线。（4分）  
+
+18. （8分）求极坐标曲线$C: \rho = 1 + \cos \theta$在$\theta = \frac{\pi}{2}$对应点处的曲率与曲率半径。  
+
+19. （8分）已知函数$f(x)$在$(-\infty, +\infty)$内连续，且  
+   $$
+    \int_{0}^{x} tf(x-t) dt = x^3 - \int_{0}^{x} f(t) dt.
+   $$ 
+    (1) 验证：$f'(x) + f(x) = 6x$且$f(0) = 0$；（5分）  
+    (2) 计算定积分$\int_{0}^{1} e^{x} f(x) dx$。（3分）  
+
+20. （10分）设函数$f(x)$在$(-\infty, +\infty)$内可导，$f'(0) = 2$，且对任意$x, y$，恒有  
+   $$
+    f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy.
+   $$ 
+    (1) 求函数$f(x)$的表达式；（6分）  
+    (2) 求曲线$y = f(x)$与$x$轴所围成的平面图形的面积。（4分）  
+
+21. （10分）  
+    (1) 证明：对任意的正整数$n$，方程  
+   $$
+    x^n + n^2 x - 1 = 0
+   $$ 
+    有唯一正实根（记为$x_n$）；（6分）  
+    (2) 证明级数$\sum_{n=1}^{\infty} x_n$收敛，且其和不超过 2。（4分）