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- 编写小组
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## 一、选择题，共六道，每题3分，共18分
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1. 设 $A$ 为 $n$ 阶对称矩阵，$B$ 为 $n$ 阶反对称矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是【 】
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(A) $AB - BA$;
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(B) $AB + BA$;
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(C) $BAB$;
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(D) $(AB)^2$.
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2. 设 $e_1, e_2$ 和 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 是线性空间 $\mathbb{R}^2$ 的两组基，并且已知关系式 $\varepsilon_1 = e_1 + 5e_2,\ \varepsilon_2 = e_2,$ 则由基 $e_1, e_2$ 到基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 的过渡矩阵是
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(A) $\begin{bmatrix}0 & -1 \\ -6 & 0\end{bmatrix}$
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(B) $\begin{bmatrix}-1 & 0 \\5 & -1\end{bmatrix}$
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(C) $\begin{bmatrix}1 & 0 \\-5 & -1\end{bmatrix}$
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(D) $\begin{bmatrix}1 & 0 \\-5 & 1\end{bmatrix}$
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3. 设向量组 $\alpha_1 = (0, 0, c_1)^T,\quad \alpha_2 = (0, 1, c_2)^T,\quad \alpha_3 = (1, -1, c_3)^T,\quad \alpha_4 = (-1, 1, c_4)^T,$
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其中 $c_1, c_2, c_3, c_4$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的是
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(A) $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$;
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(B) $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$;
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(C) $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$;
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(D) $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$.
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4. 设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，则
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(A) $\text{rank}[A \ AB] = \text{rank} A$;
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(B) $\text{rank}[A \ BA] = \text{rank} A$;
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(C) $\text{rank}[A \ B] = \max\{\text{rank} A, \text{rank} B\}$;
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(D) $\text{rank}[A \ B] = \text{rank}[A^T \ B^T]$.
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5. 设 $A$ 可逆，将 $A$ 的第一列加上第二列的 2 倍得到 $B$，则 $A^*$ 与 $B^*$ 满足
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(A) 将 $A^*$ 的第一列加上第二列的 2 倍得到 $B^*$;
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(B) 将 $A^*$ 的第一行加上第二行的 2 倍得到 $B^*$;
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(C) 将 $A^*$ 的第二列加上第一列的 $(-2)$ 倍得到 $B^*$;
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(D) 将 $A^*$ 的第二行加上第一行的 $(-2)$ 倍得到 $B^*$.
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6. 已知方程组$\quad\begin{cases}x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0, \\2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0, \\x_1 + x_2 + ax_3 = 0,\end{cases}$与$\text{(II)} \quad\begin{cases}x_1 + bx_2 + cx_3 = 0, \\2x_1 + b^2x_2 + (c+1)x_3 = 0\end{cases}$同解，则
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(A) $a = 1, b = 0, c = 1$;
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(B) $a = 1, b = 1, c = 2$;
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(C) $a = 2, b = 0, c = 1$;
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(D) $a = 2, b = 1, c = 2$.
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## 二、填空题，共六道，每题3分，共18分
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7. 已知向量 $\alpha_1 = (1,0,-1,0)^T$，$\alpha_2 = (1,1,-1,-1)^T$，$\alpha_3 = (-1,0,1,1)^T$，则向量 $\alpha_1 + 2\alpha_2$ 与 $2\alpha_1 + \alpha_3$ 的内积$\langle \alpha_1 + 2\alpha_2,\, 2\alpha_1 + \alpha_3 \rangle = \underline{\qquad\qquad}.$
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8. 设2阶矩阵A=$\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix}$，n为正整数，则$A^n=\underline{\quad\quad}$。
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9. 若向量组$\alpha_1 = (1,0,1)^T,\quad \alpha_2 = (0,1,1)^T,\quad \alpha_3 = (1,3,5)^T$不能由向量组$\beta_1 = (1,1,1)^T,\quad \beta_2 = (1,2,3)^T,\quad \beta_3 = (3,4,a)^T$线性表示，则$a = \underline{\qquad\qquad}.$
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10. 设矩阵$A = \begin{bmatrix}1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3\end{bmatrix},x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix},b = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},$
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其中常数 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 互不相等，则线性方程组 $Ax = b$ 的解为$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}.$
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11. $A^{k} = 0, k=\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}.$
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12. $\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}$
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## 三、解答题，共五道，共64分
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13. （20 分）计算 下面的两个$n$阶行列式
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$$
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K_n = \begin{vmatrix}
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1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\
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2 & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \\
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3 & 2 & 1 & \cdots & n-3 & n-2 \\
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\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
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n-1 & n-2 & n-3 & \cdots & 1 & 2 \\
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n & n-1 & n-2 & \cdots & 2 & 1
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\end{vmatrix}.
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$$
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$$
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M_n =\begin{vmatrix}
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1+x_1 & 1+x_1^2 & \cdots & 1+x_1^n \\
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1+x_2 & 1+x_2^2 & \cdots & 1+x_2^n \\
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\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
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1+x_n & 1+x_n^2 & \cdots & 1+x_n^n
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\end{vmatrix}
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$$
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14. 设$A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 6\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a & a-1 \\ 2 & -3 & 2 & -2\end{bmatrix}$,向量$\alpha=\begin{bmatrix}0\\2\\3\end{bmatrix},\beta=\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$.
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(1)证明：方程组$Ax=\alpha$的解均为方程组$Bx=\beta$的解；
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(2)若方程组$Ax=\alpha$与方程组$Bx=\beta$不同解，求$a$的值.
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15. （10 分）设 $\alpha_1 = (1,0,-1)^T,\quad \alpha_2 = (2,1,1)^T,\quad \alpha_3 = (1,1,1)^T$和$\beta_1 = (0,1,1)^T,\quad \beta_2 = (-1,1,0)^T,\quad \beta_3 = (0,2,1)^T$是 $\mathbb{R}^3$ 的两组基，求向量$u = \alpha_1 + 2\alpha_2 - 3\alpha_3$在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标。
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16. （12 分）设 $n$ 阶方阵 $A, B$ 满足 $AB = A + B$。
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（1）证明 $A - E$ 可逆；
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（2）证明 $AB = BA$；
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（3）证明 $\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(B)$；
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（4）若矩阵$B = \begin{bmatrix}1 & -3 & 0 \\2 & 1 & 0 \\0 & 0 & 2\end{bmatrix}$，求矩阵 $A$。
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17. 设矩阵$A=\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\1&t&0&1\end{bmatrix}$，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中含有两个解向量，求Ax=0的通解。
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