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笔记分享/自然对数的底与欧拉常数.md

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+考虑两个数列$$x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n,y_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1},$$对所有的自然数 $n,$ 显然有 $\displaystyle y_n=x_n\left(1+\frac{1}{n}\right)>x_n.$ 接下来考察两个数列的单调性. 
+由“几何平均数小于等于算术平均数”可知$$x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\cdot1\le\left(\frac{n(1+1/n)+1}{n+1}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}=x_{n+1},$$于是数列 $\{x_n\}$ 单调递增; 
+$$\frac{1}{y_n}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}\cdot1\le\left(\frac{(n+1)\frac{n}{n+1}+1}{n+2}\right)^{n+2}=\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{n+2}=\frac{1}{y_{n+1}},$$于是数列 $\displaystyle\{\frac{1}{y_n}\}$ 单调递增，即数列 $\{y_n\}$ 单调递减. 于是有 $$2=x_1\le x_n<y_n\le y_1=4,$$故两个数列均有界. 由单调有界定理知两个数列均收敛. 又有 $y_n=x_n(1+\frac{1}{n}),$ 故两者极限相同，设为 $\text e$. 
+由上面的推导，我们有 $$x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<\text e<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=y_n,$$两边取对数，整理得$$\frac{1}{n+1}<\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)<\frac{1}{n},$$记 $\displaystyle b_n=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n,$ 则有$$b_{n+1}-b_n=\frac{1}{n+1}-\ln \frac{n+1}{n}<0,$$又有$$b_n>\ln \frac{2}{1}+\ln \frac{3}{2}+\cdots+\frac{n+1}{n}-\ln n=\ln (n+1)-\ln n>0,$$故数列 $\{b_n\}$ 单调递减有下界，故收敛，记 $\gamma=\lim\limits_{n\to\infty} b_n.$ 

素材/谏学高数者十思疏.md

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-学高数者，诚能见等价，则思加减不能替；将有洛，则思代换以化简；念复合，则思漏层而求导；惧积分，则思不定以加C；乐微分，则思dx而莫忘；忧定积，则思牛莱而相减；虑换元，则思积分上下限；惧级数，则思判别勿用错；项所加，则思无因忽以谬导；式所及，则思无以线而滥用。总此十思，宏兹九章，简能而任之，择善而从之，则牛顿尽其谋，莱氏竭其力，泰勒播其惠，柯西效其忠。文理争驰，学生无事，可以尽数分之乐，可以养高代之寿。
+学高数者，诚能见等价，则思加减不能替；将有洛，则思代换以化简；念复合，则思漏层而求导；惧积分，则思不定以加C；乐微分，则思dx而莫忘；忧定积，则思牛莱而相减；虑换元，则思积分上下限；惧级数，则思判别勿用错；项所加，则思无因忽以谬导；拐所及，则思无因x而漏y。总此十思，宏兹九章，简能而任之，择善而从之，则牛顿尽其谋，莱氏竭其力，泰勒播其惠，柯西效其忠。文理争驰，学生无事，可以尽数分之乐，可以养高代之寿。