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素材/整合素材/正交及二次型.md

@@ -60,23 +60,19 @@ $$-2l + l^2 k^2 = 0 \implies l(l k^2 - 2) = 0$$
 >由伴随矩阵的定义，其第 $(j,i)$ 元为 $a_{ij}$​ 的代数余子式 $A_{ij}$​，而 $\pm A^T$ 的第 $(j,i)$ 元为 $±a_{ij}$​。比较对应元素得$A_{ij}​=±a_{ij}​,i,j=1,2,…,n.$
 >证毕
 ## 施密特正交化法
-### **定理**
-设$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_p$ 是向量空间 $V$ 中的线性无关向量组，则
-如下方法所得向量组$\boldsymbol{\varepsilon}_1,\boldsymbol{\varepsilon}_2,\dots,\boldsymbol{\varepsilon}_p$
-施密特正交化与单位化公式
-正交化过程
+
+设 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_p$ 是向量空间 $V$ 的一组基，则用如下方法所得向量组 $\boldsymbol{\varepsilon}_1,\boldsymbol{\varepsilon}_2,\dots,\boldsymbol{\varepsilon}_p$ 为 $V$ 的一组标准正交基
 $$\begin{align*}
 \boldsymbol{u}_1 &= \boldsymbol{\alpha}_1, \\
 \boldsymbol{u}_k &= \boldsymbol{\alpha}_k - \sum_{i=1}^{k-1}\frac{\langle\boldsymbol{\alpha}_k,\boldsymbol{u}_i\rangle}{\langle\boldsymbol{u}_i,\boldsymbol{u}_i\rangle}\boldsymbol{u}_i,\quad k=2,3,\dots,p.
 \end{align*}$$
-单位化过程
+单位化得
 $$\boldsymbol{\varepsilon}_k = \frac{\boldsymbol{u}_k}{\|\boldsymbol{u}_k\|},\quad 
 k=1,2,3,\dots,p$$
 还有另一个更加常用的正交化法：$$\begin{aligned}
 \boldsymbol u_1&=\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\varepsilon_1=\dfrac{\boldsymbol u_1}{\|\boldsymbol u_1\|},\\
-\boldsymbol u_k&=\boldsymbol\alpha_k-\sum_{i=1}^{k-1}\langle\boldsymbol\varepsilon_i,\boldsymbol\alpha_i\rangle\boldsymbol\varepsilon_i,\boldsymbol\varepsilon_k=\dfrac{\boldsymbol u_k}{\|\boldsymbol u_k\|}(k=2,3,\cdots,n).
+\boldsymbol u_k&=\boldsymbol\alpha_k-\sum_{i=1}^{k-1}\langle\boldsymbol\varepsilon_i,\boldsymbol\alpha_k\rangle\boldsymbol\varepsilon_i,\boldsymbol\varepsilon_k=\dfrac{\boldsymbol u_k}{\|\boldsymbol u_k\|}(k=2,3,\cdots,p).
 \end{aligned}$$
-
 ### **例子**
 >[!example] **例3**
 已知 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_5$ 为欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基，令$$\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3,\quad
@@ -94,17 +90,15 @@ $U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3
 >$$\boldsymbol{\gamma}_3=\boldsymbol{\beta}_3-\dfrac{\langle\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle}{\langle\boldsymbol{\gamma}_1,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle}\boldsymbol{\gamma}_1-\dfrac{\langle\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\gamma}_2\rangle}{\langle\boldsymbol{\gamma}_2,\boldsymbol{\gamma}_2\rangle}\boldsymbol{\gamma}_2$$
 >$$\langle\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle=3,\quad
 \langle\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\gamma}_2\rangle=0$$
->$$\boldsymbol{\gamma}_3=\frac{1}{2}\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2-\frac{1}{2}\boldsymbol{\alpha}_3$$
+>$$\boldsymbol{\gamma}_3=-\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3+3\boldsymbol\alpha_4$$
 >步骤2：单位化
 $$\boldsymbol{\varepsilon}_1=\dfrac{\boldsymbol{\gamma}_1}{\|\boldsymbol{\gamma}_1\|}=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3}{\sqrt{2}}$$
-$$\|\boldsymbol{\gamma}_2\|=\sqrt{\dfrac{5}{2}}$$
-$$\boldsymbol{\varepsilon}_2=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1-2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3+2\boldsymbol{\alpha}_4}{\sqrt{10}}$$
-$$\|\boldsymbol{\gamma}_3\|=\sqrt{\dfrac{3}{2}}$$
-$$\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3}{\sqrt{6}}$$
+$$\|\boldsymbol{\gamma}_2\|=\sqrt{\dfrac{5}{2}},\boldsymbol{\varepsilon}_2=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1-2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3+2\boldsymbol{\alpha}_4}{\sqrt{10}}$$
+$$\|\boldsymbol{\gamma}_3\|=\sqrt{\dfrac{3}{2}},\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{-\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3+3\boldsymbol\alpha_4}{\sqrt{19}}$$
 >$U$ 的标准正交基为
 >$$\boldsymbol{\varepsilon}_1=\frac{\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3}{\sqrt{2}},\quad
 \boldsymbol{\varepsilon}_2=\frac{\boldsymbol{\alpha}_1-2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3+2\boldsymbol{\alpha}_4}{\sqrt{10}},\quad
-\boldsymbol{\varepsilon}_3=\frac{\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3}{\sqrt{6}}$$
+\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{-\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3+3\boldsymbol\alpha_4}{\sqrt{19}}$$
 
 >[!example] **例4**
 >已知 $A$ $=$ $[\boldsymbol{\alpha}_1\ \boldsymbol{\alpha}_2\ \boldsymbol{\alpha}_3\ \boldsymbol{\alpha}_4]$ 为正交矩阵，其中
@@ -112,9 +106,8 @@ $$\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2
 \boldsymbol{\alpha}_4 = \frac{1}{6}\begin{bmatrix}2\sqrt{6}\\0\\-\sqrt{6}\\-\sqrt{6}\end{bmatrix}$$
 试求一个$\boldsymbol{\alpha}_1$ 和一个 $\boldsymbol{\alpha}_2$。
 
-
 >[!note] **解析**
->$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$必须与 $\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$都正交，且$\boldsymbol{\alpha}_1 与 \boldsymbol{\alpha}_2$ 也正交，模长为1。
+>$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$必须与 $\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$都正交，且$\boldsymbol{\alpha}_1 与 \boldsymbol{\alpha}_2$ 也正交，模长为 $1$。
 >设 $\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T$，正交条件等价于方程组：
 >$$\begin{cases}
 \langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{\alpha}_3\rangle = x_1 - 2x_2 + 2x_4 = 0\\
@@ -122,7 +115,7 @@ $$\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2
 \end{cases}$$
 >解上述齐次方程组,得到两个线性无关的解：
 >$$\boldsymbol{\xi}_1=(2,1,4,0)^T,\quad
-\boldsymbol{\xi}_2=(0,1,0,1)^T$$
+\boldsymbol{\xi}_2=(0,1,-1,1)^T$$
 >正交化
 >$$\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\xi}_1 = (2,1,4,0)^T$$
 >$$\boldsymbol{\beta}_2 = \boldsymbol{\xi}_2 - \frac{\langle\boldsymbol{\xi}_2,\boldsymbol{\beta}_1\rangle}{\langle\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_1\rangle}\boldsymbol{\beta}_1

编写小组/试卷/积佬卷.md

@@ -21,42 +21,39 @@
 (D)$2f(a)$
 
 2. 设$y = f(x)$为区间$[0,1]$上单调增加的连续函数，且$f(0) = 0$，$f(1) = 2$，$x = g(y)$为  
-$y = f(x)$的反函数。若$\int_{0}^{1} f(x) \, dx = \frac{1}{3}$，则$\int_{0}^{2} g(y) \, dy$的值为（    ）。  
+$y = f(x)$的反函数。若$\displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \, dx = \frac{1}{3}$，则$\displaystyle\int_{0}^{2} g(y) \, dy$的值为（    ）。  
 
 (A)$\frac{1}{3}$
 (B)$\frac{2}{3}$
 (C)$\frac{4}{3}$
 (D)$\frac{5}{3}$
 
-3. 已知函数$f(x), g(x)$在$(-\infty, +\infty)$内可导，且$f'(x) > 0, g'(x) < 0$，则（ ）。
+3. 已知函数$\displaystyle f(x), g(x)$在$\displaystyle(-\infty, +\infty)$内可导，且$f'(x) > 0, g'(x) < 0$，则（ ）。
 
-(A)$$\int_0^1 f(x) dx > \int_1^2 f(x) dx$$
+(A)$\displaystyle\int_0^1 f(x) \text{d}x > \int_1^2 f(x) \text{d}x$
 
-(B)$$\int_0^1 |f(x)| dx > \int_1^2 |f(x)| dx$$
+(B)$\displaystyle\int_0^1 |f(x)| dx > \int_1^2 |f(x)| dx$
 
-(C)$$\int_0^1 f(x)g(x) dx > \int_1^2 f(x)g(x) dx$$
+(C)$\displaystyle\int_0^1 f(x)g(x) dx > \int_1^2 f(x)g(x) dx$
 
-(D)$$\int_0^1 f[g(x)] dx > \int_1^2 f[g(x)] dx$$
+(D)$\displaystyle\int_0^1 f[g(x)] dx > \int_1^2 f[g(x)] dx$
 
 ---
 
 ## 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
 
-4. 不定积分$$\int \frac{1}{x(1+2\ln x)} \, dx =$$
+4. 不定积分$\displaystyle\int \frac{1}{x(1+2\ln x)} \, dx =\underline{\qquad}$
 
-5. 定积分$$\int_{-1}^{1} \frac{x\left(\cos x + x\right)}{1+x^2} \, dx$$的值为
+5. 定积分$\displaystyle\int_{-1}^{1} \frac{x\left(\cos x + x\right)}{1+x^2} \, dx$的值为$\underline{\qquad}.$
 
-6. 已知$$\int f(x) \, dx = \arctan x + C$$则$f'(x) =$
+6. 已知$\displaystyle\int f(x) \, dx = \arctan x + C$则 $f'(x) =\underline{\qquad}.$
 
 ---
 
 ## 三、解答题（共8小题，共54分）
-7. （6分）计算极限  
-$$
-    \lim_{x\to 0}\frac{x\int_{0}^{x}\sqrt{1 + t^{4}}\mathrm{d}t}{x - \ln(1 + x)}.
-$$
+7. （6分）计算极限 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x\int_{0}^{x}\sqrt{1 + t^{4}}\mathrm{d}t}{x - \ln(1 + x)}.$
 
-8. （6分）计算不定积分  
+8. （6分）计算不定积分
 $$
     \int \frac{2 - \sqrt{2x + 1}}{2 + \sqrt{2x + 1}}\mathrm{d}x
 $$