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# Section 1 向量空间与线性空间
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在讲线性空间之前，必须先复习一下向量空间的知识，这是必要的，因为线性空间与向量空间之间有某种“联系”，这种联系叫做“同构”。
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>[!info] 定义1$\qquad$向量空间
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>设$V$是数域$\mathbb{F}$上的$n$维向量构成的非空集合，如果$V$对于向量加法及数乘两种运算封闭，即
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>（1）对任意的$\boldsymbol{\alpha}\in V,\boldsymbol{\beta}\in V$，有$\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}\in V$；
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>（2）对任意的$\boldsymbol{\alpha}\in V,k\in \mathbb{F}$，有$k\boldsymbol{\alpha}\in V$，
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>那么称集合$V$为数域$\mathbb{F}$上的**向量空间**.若$\mathbb{F}$为实（复）数域，则称$V$为**实（复）向量空间**.
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一般地，由向量 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ **生成的向量空间**定义为 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 的一切线性组合所构成的集合，记作 $\mathrm{span}(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n)$，即$$\text{span}(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n)=\{k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_n\boldsymbol{\alpha}_n|k_1,k_2,\cdots,k_n\in\mathbb{R}\}.$$
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>[!info] 定义2$\qquad$子空间
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>设$U,V$都是同一数域上的向量空间，若$U\subseteq V$，则称$U$为$V$的子空间.
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向量空间的**基**和**维数**等概念就不在这里具体定义，不然讲义会变得相当繁琐。但建议大家自己去看一看书上的相关定义，这是必要的。
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这里有一个小结论：
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>[!info] 定理
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>设空间 $V$ 有一个子空间 $W$ ，如果 $W$ 的维数等于 $V$ 的维数，那么 $W=V$.
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>[!note] 证明：
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>设维数等于 $n$ ，则空间 $W$ 中能取出 $n$ 个线性无关的向量作为基。而 $V$ 的维数也是 $n$，所以 $V$ 的基也只有 $n$ 个向量，所以刚刚取出来的那 $n$ 个向量也是$V$ 的基，故 $W=V$.
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>[!warning] 有以下几个点需要注意：
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>1. 零空间$\displaystyle\{\boldsymbol{0}\}$没有基；
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>2. 一般来说，向量空间的基是不唯一的；
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>3. 等价的向量组生成的向量空间是相同的；
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>4. 向量空间的维数与向量的维数是两个不同的概念
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如果向量组 $T:\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 是向量空间$\displaystyle V$的一组基，则对任意$\boldsymbol{\beta}\in V$，有$$\boldsymbol{\beta}=x_1\boldsymbol{\alpha}_1+x_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_n\boldsymbol{\alpha}_n,x_1,x_2,\cdots,x_n\in\mathbb{R},$$若用矩阵乘法的形式，则可以写成$$\boldsymbol{\beta}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\ \boldsymbol{\alpha}_2\ \cdots\ \boldsymbol{\alpha}_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\ \boldsymbol{\alpha}_2\ \cdots\ \boldsymbol{\alpha}_n\end{bmatrix}\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n,$$称 $\boldsymbol{x}$ 为向量 $\boldsymbol{\beta}$ 在基 $T$ 下的坐标.特别地，如果取基$$\mathcal{E}:\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\cdots,\boldsymbol{e}_n,\boldsymbol{e}_i=\begin{bmatrix}\vdots\\1\\\vdots\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^n,\text{其中1在第}i\text{行}，$$则 $\boldsymbol{\beta}$ 在基 $\mathcal{E}$ 下的坐标就是它本身.
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既然基是不唯一的，那么会有一个问题：不同的基之间有什么关系呢？
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我们取向量空间$V$的两组基 $\displaystyle T_1:\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 和 $\displaystyle T_2:\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_n$ .由于 $T_1$ 是一组基，向量组 $T_2$ 中的每个向量肯定可以唯一地用 $T_1$ 来表示，即$$\boldsymbol{\beta}_i=k_{i1}\boldsymbol{\alpha}_1+k_{i2}\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_{in}\boldsymbol{\alpha}_n,k_{ij}\in\mathbb{R},i,j=1,2,\cdots,n.$$故$$\begin{bmatrix}
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\boldsymbol{\beta}_1\ \cdots\ \boldsymbol{\beta}_n
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\end{bmatrix}
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=\begin{bmatrix}
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\boldsymbol{\alpha}_1\ \cdots\ \boldsymbol{\alpha}_n
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\end{bmatrix}
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\begin{bmatrix}
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k_{11} & k_{12} & \cdots & k_{1n}\\
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k_{21} & k_{22} & \cdots & k_{2n}\\
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\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
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k_{n1} & k_{n2} & \cdots & k_{nn}
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\end{bmatrix}
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=\begin{bmatrix}
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\boldsymbol{\alpha}_1\ \cdots\ \boldsymbol{\alpha}_n
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\end{bmatrix}\boldsymbol{K},
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$$称矩阵 $\boldsymbol{K}$ 为基 $T_1$ 到基 $T_2$ 的**过渡矩阵**.由推导过程知过渡矩阵是存在且唯一的，也显然是可逆的（否则向量组 $T_2$ 就会线性相关，与它是一组基矛盾）.同时，我们还要考虑同一个向量$\boldsymbol{\gamma}$在两组不同的基下的坐标之间的关系.
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设向量 $\boldsymbol{\gamma}\in V$，且在基 $T_1$ 下的坐标为 $\boldsymbol{x}$，即$\boldsymbol{\gamma}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\ \cdots\ \boldsymbol{\alpha}_n\end{bmatrix}\boldsymbol{x}\overset{\mathrm{def}}{=}\boldsymbol{Ax}$，若 $\boldsymbol{\gamma}$ 在基 $T_2$ 下的坐标为 $\boldsymbol{y}$ ，则$\boldsymbol{\gamma}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\beta}_1\ \cdots\ \boldsymbol{\beta}_n\end{bmatrix}\boldsymbol{y}\overset{\mathrm{def}}{=}\boldsymbol{By}$，又有$\boldsymbol{B}=\boldsymbol{AK}$，得 $\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{By}=\boldsymbol{AKy},$ 由于同一个向量在同一组基下的坐标是唯一的，故 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Ky}$ 或 $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{K}^{-1}\boldsymbol{x}.$ <span style="color:ff7777;">注意不要搞错矩阵乘的位置！</span>
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既然我们已经学了这么多的知识了，那不妨来做几道题试试吧！
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>[!example] 例题1
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>设$V=\{(x_1,x_2,x_3)^T|x_1+x_2+x_3=0,x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R}\}$，证明$V$是一个向量空间，并求出它的一组基.
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>[!note] **证明：**
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对任意$\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V, k\in\mathbb{R}$，记$(1,1,1)=\boldsymbol{\alpha}$，则有$\boldsymbol\alpha\boldsymbol x=\boldsymbol\alpha\boldsymbol y=0,\boldsymbol\alpha(\boldsymbol x+\boldsymbol y)=0$,故$\boldsymbol x+\boldsymbol y,k\boldsymbol x\in V$，即$V$是向量空间.显然$V$中的所有元素就是方程$x_1+x_2+x_3=0$的所有解，而方程的通解为$$\boldsymbol x=k_1\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}+k_2\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix},k_1,k_2\in\mathbb R,$$故$V$的基为$\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}.$
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>[!example] 例题2
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>已知$\mathbb{R}^2$的两组基$\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2$和$\boldsymbol\varepsilon_1,\boldsymbol\varepsilon_2$.求一个非零向量$\boldsymbol\beta\in\mathbb{R}^2$，使得$\boldsymbol\beta$在两组基下有相同的坐标，其中$\boldsymbol\alpha_1=(2,-1)^T,\boldsymbol\alpha_2=(5,-4)^T;\boldsymbol\varepsilon_1=(1,0)^T,\boldsymbol\varepsilon_2=(0,1)^T.$
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>[!note] **解：**
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>容易得到从后一组基到前一组基的过渡矩阵为$\boldsymbol{C}=\begin{bmatrix}2 & 5\\-1 & -4\end{bmatrix},$设$\boldsymbol\beta$在$\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2$下的坐标为$\boldsymbol y$，则$\boldsymbol y=\boldsymbol C\boldsymbol y\Rightarrow (\boldsymbol C-\boldsymbol E)\boldsymbol y=\boldsymbol 0.$解这个齐次线性方程组得$$\boldsymbol y=k(-5,1)^T,k\in\mathbb{R}.$$
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好了，现在回到我们的主题：线性空间。先下定义：
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>[!info] 定义3 $\qquad$线性空间
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>设 $V$ 为一非空集合，$\mathbb{F}$ 为一数域. 对于 $V$ 中任意两个元素定义了“加法”运算，记为“+”；对于数域 $\mathbb{F}$ 中的元素与 $V$ 中元素定义“数乘”运算，记为"$\cdot$"（算式中常省略不写）. 如果满足对任意 $x,y,z\in V,\lambda,\mu\in\mathbb{F}$，有
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>（1）（封闭性）$V$ 对加法和数乘封闭；
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>（2）（交换律）$x+y=y+x$
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>（3）（加法结合律）$(x+y)+z=x+(y+z)$
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>（4）（零元）存在元素 $0\in V$，使得对任意 $x\in V$ 均有 $0+x=x$
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>（5）（负元）对任意 $x\in V$，存在$y\in V$，使得$x+y=0$
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>（6）（第一分配律）$\lambda(x+y)=\lambda x+\lambda y$
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>（7）（第二分配律）$(\lambda+\mu)x=\lambda x+\mu x$
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>（8）（数乘结合律）$(\lambda\mu)x=\lambda(\mu x)$
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>（9）（数乘单位元）存在 $1\in \mathbb{F}$，使得对任意 $x\in V$，有$1x=x$，
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>则称$V$关于上述运算构成数域 $\mathbb{F}$ 上的**线性空间**，简记为 $(V,\mathbb{F},+,\cdot)$ 是线性空间.
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这个定义看上去很复杂，其实是很自然的，这一系列的性质都是我们熟悉的向量空间所具有的，这里只是给它一般化了而已。这里的“加法”和“数乘”只是代表两种运算，并不一定就是我们平常所说的加法和乘法。
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和向量空间类似，我们也可以定义线性子空间、基、维数和坐标等概念，也可以讨论线性空间中的基变换和坐标变换，但这里就不一一赘述了。我们主要关注线性空间的基。
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设 $(V,\mathbb{F},+,\cdot)$ 为 $n$ 维线性空间，若 $\mathbb{F}\subseteq\mathbb{R}$ ，则对任意 $\boldsymbol{\alpha}\in V$，若它在某一组基下的坐标为 $\boldsymbol{x}$ ，则所有这种坐标组成的集合是一个 $n$ 维的向量空间 $U$ 。而每一个线性空间中的元素对这一组基都有唯一的一个坐标，我们就可以建立起从 $V$ 到 $U$ 的一个双射 $\varphi: U\rightarrow V,\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{\alpha}$。设这组基为$T_1:\boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$，则这个双射 $\varphi$ 就可以写成$$\boldsymbol{\alpha}=\varphi(\boldsymbol{x})=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\ \cdots\ \boldsymbol{\alpha}_n\end{bmatrix}\boldsymbol{x}.$$这样，我们就可以把所有线性空间中的问题通过它的一组基放到一个维数相同的向量空间中去解决。这其实就是**同构**的思想，每一个线性空间都与一个同维的向量空间结构相同，能够保持原来空间中的运算性质。这也是为什么我们要先做一些向量空间的题目。
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>[!example] 线性空间的几个例子
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> $(1)$ 对任意给定的正整数$m,n,\mathbb{R}^{m\times n}=\{\boldsymbol A=[a_{ij}]_{m\times n}|a_{ij}\in\mathbb{R}\}$关于矩阵加法和数乘构成数域$\mathbb{R}$上的线性空间，成为**实矩阵空间**；
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> $(2)$ 对任意给定的正整数$n$，次数不超过$n$ 的关于文字$x$的一切多项式构成的集合$\boldsymbol P_n[x]=\{a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0|a_i\in\mathbb{R},i=0,1,\cdots,n\}$关于多项式加法和数乘构成数域$\mathbb{R}$上的线性空间，称为**多项式空间**。这里$x$可以是实数、复数、方阵，甚至可以是函数、映射，如果能定义出映射之间的乘法（一般可以是复合）和加法运算的话；
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> $(3)$ 设集合$S$为向量空间$V$上所有线性变换的集合。对任意$\sigma,\pi\in S$定义加法和数域$\mathbb{F}$上的数乘分别为：$(\sigma+\pi)(x)=\sigma(x)+\pi(x),(k\sigma)(x)=k\sigma(x)$，则$S$关于上述加法和数乘构成数域$\mathbb{F}$上的线性空间。实际上，由于线性变换与方阵之间有一一对应的关系，我们可以借助矩阵空间来理解$S$这个线性空间。
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上面第三个例子不要求大家掌握，但前两个还是得清楚的，这是书上明确给了的例子。
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>[!example] 例题3
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>设$V$是定义与区间$[a,b]$上取正值的所有函数的集合，我们定义$$f\oplus g=f\times g,\lambda \odot f=f^\lambda\qquad(f,g\in V,\lambda\in\mathbb{R}).$$证明：在上述运算下，$V$是实数域$\mathbb{R}$上的线性空间.
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>[!note] **证明：**
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>加法$\oplus$交换律、结合律显然成立.
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>取常值映射$\text{c}:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^+,x\mapsto 1$，有 $\forall f\in V,(f\oplus\text{c})(x)=f(x)\times\text c(x)=f(x)\times1=f(x),$ 故映射 $\text{c}$ 为零元.
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>对任意$f\in V$，取映射$\displaystyle g\in V:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^+,x\mapsto\frac{1}{f(x)}$，则 $(f\oplus g)(x)=f(x)\times g(x)=1=\text{c}(x)$，故$g$为$f$的负元. 显然负元唯一.
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> 取$\lambda=1$，显然$1\odot f=f^1=f$，故存在数乘单位元.
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$V$显然对上述加法和乘法封闭. 故在上述运算下，$V$是实数域$\mathbb{R}$上的线性空间.
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$V$ 中的向量之间具有内在联系，例如任意的向量都可以由一组基线性表示，不同基之间也具有基变换的计算公式等。向量之间的联系可以用线性变换来描述，线性变换是线性空间 $V$ 到自身的一种特定映射。
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用一个矩阵左乘一个向量，总能变成另一个向量。例如，用矩阵
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$$
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A= \begin{bmatrix} 1&2&3\\2&4&5 \end{bmatrix}
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$$
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去左乘任意 3 维向量都可以得到一个 2 维向量，该过程可以看作是线性空间 $\mathbb{R}^3$ 到 $\mathbb{R}^2$ 的映射。
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**定义**
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设 $T$ 为线性空间 $U$ 到 $V$ 的映射，若满足：
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1. **可加性**：对任意的 $\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta} \in U$，有 $T(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})=T(\boldsymbol{\alpha})+T(\boldsymbol{\beta})$；
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2. **齐次性**：对任意的 $\boldsymbol{\alpha} \in U$，$k \in \mathbb{R}$，有 $T(k\boldsymbol{\alpha})=kT(\boldsymbol{\alpha})$，
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则称 $T$ 为 $U$ 到 $V$ 的**线性映射**。
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特别地，若 $T$ 是线性空间 $V$ 到 $V$ 的一个线性映射，则称 $T$ 是 $V$ 上的一个**线性变换**。
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> **注**：可加性和齐次性可以合并为 $T(k\boldsymbol{\alpha}+l\boldsymbol{\beta})=kT(\boldsymbol{\alpha})+lT(\boldsymbol{\beta})$，其中 $k,l \in \mathbb{R}$。
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>[!info] **定理**
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>设 $V$ 是线性空间，$T$ 是 $V$ 上的线性变换，则有：
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>1. $T(\boldsymbol{0})=\boldsymbol{0}$；
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>2. $T(-\boldsymbol{\alpha})=-T(\boldsymbol{\alpha})$；
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>3. $T(k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+\dots+k_m\boldsymbol{\alpha}_m)=k_1T(\boldsymbol{\alpha}_1)+k_2T(\boldsymbol{\alpha}_2)+\dots+k_mT(\boldsymbol{\alpha}_m)$；
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>4. 若 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_m$ 是 $V$ 中的线性相关向量组，则 $T(\boldsymbol{\alpha}_1),T(\boldsymbol{\alpha}_2),\dots,T(\boldsymbol{\alpha}_m)$ 也是 $V$ 中的线性相关向量组。
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>[!note] **证明**
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>1. $T(\boldsymbol{0})=T(0\boldsymbol{0})=0T(\boldsymbol{0})=\boldsymbol{0}$。
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>2. 由定义显然成立。
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>3. 由定义显然成立。
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>4. 设存在不全为零的数 $k_1,k_2,\dots,k_m \in \mathbb{F}$，使得
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$$ k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+\dots+k_m\boldsymbol{\alpha}_m=\boldsymbol{0}, $$
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则由（1）得
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$$ T(k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+\dots+k_m\boldsymbol{\alpha}_m)=T(\boldsymbol{0})=\boldsymbol{0}. $$
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再由（3）得
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$$ k_1T(\boldsymbol{\alpha}_1)+k_2T(\boldsymbol{\alpha}_2)+\dots+k_mT(\boldsymbol{\alpha}_m)=\boldsymbol{0}, $$
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因而 $T(\boldsymbol{\alpha}_1),T(\boldsymbol{\alpha}_2),\dots,T(\boldsymbol{\alpha}_m)$ 线性相关。
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例题：
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>[!example] 例题4
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设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间，$\lambda \in \mathbb{F}$ 是给定的数，$\boldsymbol{\gamma} \in V$ 是给定的向量，定义变换 $T$：$\forall \boldsymbol{\alpha} \in V$，$T(\boldsymbol{\alpha})=\lambda \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\gamma}$。
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证明：只有当 $\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{0}$ 时，$T$ 才是 $V$ 上的线性变换。
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>[!note] **解析**：
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>任取 $\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta} \in V$ 和 $k,l \in \mathbb{F}$，当 $\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{0}$ 时，
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>$$T(k\boldsymbol{\alpha}+l\boldsymbol{\beta})=\lambda(k\boldsymbol{\alpha}+l\boldsymbol{\beta})=k\lambda \boldsymbol{\alpha}+l\lambda \boldsymbol{\beta}=kT(\boldsymbol{\alpha})+lT(\boldsymbol{\beta}).$$
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>当 $\boldsymbol{\gamma} \neq \boldsymbol{0}$ 时，$$
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T(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})=\lambda(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})+\boldsymbol{\gamma} \neq T(\boldsymbol{\alpha})+T(\boldsymbol{\beta})=\lambda(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})+2\boldsymbol{\gamma}.$$
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>结论得证。
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>[!example] 例题5
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证明 $P_n[x]=\{a_0+a_1x+\dots+a_nx^n \mid a_i \in \mathbb{R},i=0,1,\dots,n\}$ 上的求导变换 $T=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ 是线性变换。
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>[!note] **解析**：
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任取 $f(x)=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n$，$g(x)=b_0+b_1x+\dots+b_nx^n \in P_n[x]$ 和 $k,l \in \mathbb{R}$，则$$\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[kf(x)+lg(x)]&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[k a_0+l b_0+(k a_1+l b_1)x+\dots+(k a_n+l b_n)x^n\right] \\
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&=(k a_1+l b_1)+2(k a_2+l b_2)x+\dots+n(k a_n+l b_n)x^{n-1} \\
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&=k a_1+2k a_2x+\dots+n k a_nx^{n-1}+l b_1+2l b_2x+\dots+n l b_nx^{n-1} \\
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&=k\left(a_1+2a_2x+\dots+n a_nx^{n-1}\right)+l\left(b_1+2b_2x+\dots+n b_nx^{n-1}\right) \\
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&=k\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)]+l\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[g(x)].
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\end{aligned}$$
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因此 $T=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ 在 $P_n[x]$ 上是线性变换。
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### 线性变换的矩阵表示
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线性空间一般包含无穷多个向量，因此分析每一个向量在线性变换下的像并不可行。而线性空间中的每个向量都可以写成一组基的线性组合，因此可转而研究线性变换在一组基下的表示。
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设 $V$ 是线性空间，$\dim V=n$，$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 是 $V$ 的一组基，$T$ 是 $V$ 上的线性变换，显然 $T(\boldsymbol{\alpha}_j)\;(j=1,2,\dots,n)$ 可由基 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 线性表示，即有
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$$
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T(\boldsymbol{\alpha}_j)=k_{1j}\boldsymbol{\alpha}_1+k_{2j}\boldsymbol{\alpha}_2+\dots+k_{nj}\boldsymbol{\alpha}_n\;(j=1,2,\dots,n).
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$$
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故
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$$
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\left[T(\boldsymbol{\alpha}_1)\;T(\boldsymbol{\alpha}_2)\;\dots\;T(\boldsymbol{\alpha}_n)\right]=\left[\boldsymbol{\alpha}_1\;\boldsymbol{\alpha}_2\;\dots\;\boldsymbol{\alpha}_n\right]
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\begin{bmatrix}
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k_{11}&k_{12}&\dots&k_{1n}\\
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k_{21}&k_{22}&\dots&k_{2n}\\
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\vdots&\vdots&&\vdots\\
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k_{n1}&k_{n2}&\dots&k_{nn}
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\end{bmatrix}.
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$$
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即
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$$
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\left[T(\boldsymbol{\alpha}_1)\;T(\boldsymbol{\alpha}_2)\;\dots\;T(\boldsymbol{\alpha}_n)\right]=\left[\boldsymbol{\alpha}_1\;\boldsymbol{\alpha}_2\;\dots\;\boldsymbol{\alpha}_n\right]A.
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$$
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>[!info] **定义**
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设 $T$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 是 $V$ 的一组基，若有 $n$ 阶方阵 $A$，使得 $$
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\left[T(\boldsymbol{\alpha}_1)\;T(\boldsymbol{\alpha}_2)\;\dots\;T(\boldsymbol{\alpha}_n)\right]=\left[\boldsymbol{\alpha}_1\;\boldsymbol{\alpha}_2\;\dots\;\boldsymbol{\alpha}_n\right]A,$$
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则称上式为线性变换 $T$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 下的**矩阵表示**，$A$ 称为线性变换 $T$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 下的**矩阵**。
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>$A$ 的第 $j$ 列就是 $T(\boldsymbol{\alpha}_j)$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 下的坐标。
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>[!info] **定理**
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设 $n$ 维线性空间 $V$ 的基 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 到 $\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\dots,\boldsymbol{\beta}_n$ 的过渡矩阵为 $C$，$V$ 中的线性变换 $T$ 在两组基下的矩阵分别为 $A$ 和 $B$，则 $B=C^{-1}AC$。
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>[!note] **证明**
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由 $\left[\boldsymbol{\beta}_1\;\boldsymbol{\beta}_2\;\dots\;\boldsymbol{\beta}_n\right]=\left[\boldsymbol{\alpha}_1\;\boldsymbol{\alpha}_2\;\dots\;\boldsymbol{\alpha}_n\right]C$，且 $$
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\left[T(\boldsymbol{\alpha}_1)\;T(\boldsymbol{\alpha}_2)\;\dots\;T(\boldsymbol{\alpha}_n)\right]=\left[\boldsymbol{\alpha}_1\;\boldsymbol{\alpha}_2\;\dots\;\boldsymbol{\alpha}_n\right]A,$$ $$
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\left[T(\boldsymbol{\beta}_1)\;T(\boldsymbol{\beta}_2)\;\dots\;T(\boldsymbol{\beta}_n)\right]=\left[\boldsymbol{\beta}_1\;\boldsymbol{\beta}_2\;\dots\;\boldsymbol{\beta}_n\right]B.$$
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计算得：$$
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\begin{aligned}
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\left[T(\boldsymbol{\beta}_1)\;T(\boldsymbol{\beta}_2)\;\dots\;T(\boldsymbol{\beta}_n)\right]&=\left[T(\boldsymbol{\alpha}_1)\;T(\boldsymbol{\alpha}_2)\;\dots\;T(\boldsymbol{\alpha}_n)\right]C \\
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&=\left[\boldsymbol{\alpha}_1\;\boldsymbol{\alpha}_2\;\dots\;\boldsymbol{\alpha}_n\right]AC \\
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&=\left[\boldsymbol{\beta}_1\;\boldsymbol{\beta}_2\;\dots\;\boldsymbol{\beta}_n\right]C^{-1}AC.
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\end{aligned} $$
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所以 $B=C^{-1}AC$。（也就是说 $A$ 和 $B$ 是相似的）
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>[!example] 例题6
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线性空间 $P_{n-1}[x]$ 有基 $1,x,x^2,\dots,x^{n-1}$。定义 $P_{n-1}[x]$ 上的线性变换 $T$ 如下：对任意的 $f \in P_{n-1}[x]$， $T(f)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f-f.$
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求 $T$ 在基 $1,x,x^2,\dots,x^{n-1}$ 下的矩阵表示。
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>[!note] **解析**：
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按照定义有 $$
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\begin{aligned}
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&\left[T(1)\;T(x)\;T(x^2)\;\dots\;T(x^{n-1})\right] \\
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&=\left[-1\;1-x\;2x-x^2\;\dots\;(n-1)x^{n-2}-x^{n-1}\right] \\
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&=\left[1\;x\;x^2\;\dots\;x^{n-2}\;x^{n-1}\right]
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\begin{bmatrix}
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-1&1&&&\\
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&-1&2&&\\
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&&-1&\ddots&\\
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&&&\ddots&n-1\\
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&&&&-1
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\end{bmatrix},
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\end{aligned}$$
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所以 $T$ 在基 $1,x,x^2,\dots,x^{n-1}$ 下的矩阵为 $$
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A=
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\begin{bmatrix}
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-1&1&&&\\
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&-1&2&&\\
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&&-1&\ddots&\\
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&&&\ddots&n-1\\
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&&&&-1
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\end{bmatrix}.$$
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>[!example] 例题7
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定义 $\mathbb{R}^3$ 上的线性变换 $T$ 如下： $$
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T\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=
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\begin{bmatrix}x+y\\y-z\\z-x\end{bmatrix}.$$
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设 $\mathbb{R}^3$ 的两组基 $$
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\boldsymbol{e}_1=(1,0,0)^T,\;\boldsymbol{e}_2=(0,1,0)^T,\;\boldsymbol{e}_3=(0,0,1)^T;$$$$
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\boldsymbol{v}_1=(1,-1,1)^T,\;\boldsymbol{v}_2=(2,1,1)^T,\;\boldsymbol{v}_3=(-1,3,1)^T.$$
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分别求 $T$ 在基 $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3$ 和基 $\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3$ 下的矩阵表示。
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>[!note] **解析**：
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设 $T$ 在基 $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3$ 下的矩阵为 $A$，则 $$
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\left[T(\boldsymbol{e}_1)\;T(\boldsymbol{e}_2)\;T(\boldsymbol{e}_3)\right]=\left[\boldsymbol{e}_1\;\boldsymbol{e}_2\;\boldsymbol{e}_3\right]A,$$
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即 $$A=
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\begin{bmatrix}
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1&1&0\\
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0&1&-1\\
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-1&0&1
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\end{bmatrix}.$$
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设 $T$ 在基 $\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3$ 下的矩阵为 $B$，则 $$
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\left[T(\boldsymbol{v}_1)\;T(\boldsymbol{v}_2)\;T(\boldsymbol{v}_3)\right]=\left[\boldsymbol{v}_1\;\boldsymbol{v}_2\;\boldsymbol{v}_3\right]B,$$
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即 $$\begin{bmatrix}0&3&2\\-2&0&2\\0&-1&2\end{bmatrix}=
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\begin{bmatrix}
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1&2&-1\\
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-1&1&3\\
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1&1&1
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\end{bmatrix}B,$$
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所以 $$
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\begin{aligned}
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B&=
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\begin{bmatrix}
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1&2&-1\\
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-1&1&3\\
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1&1&1
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\end{bmatrix}^{-1}
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\begin{bmatrix}
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0&3&2\\
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-2&0&2\\
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0&-1&2
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\end{bmatrix} \\
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&=\frac{1}{8}
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\begin{bmatrix}
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-2&-3&7\\
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4&2&-2\\
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-2&1&3
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|
\end{bmatrix}
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|
\begin{bmatrix}
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0&3&2\\
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-2&0&2\\
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0&-1&2\end{bmatrix}=\frac{1}{8}\begin{bmatrix}
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6&-13&4\\
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-4&14&8\\
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-2&-9&4
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\end{bmatrix}.\end{aligned}$$
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>[!summary] 习题
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>1. 集合 $V=\{\omega=(a_2x^2+a_1x+a_0)e^x \mid a_2,a_1,a_0 \in \mathbb{R}\}$ 对于函数的线性运算构成 3 维线性空间，定义变换 $T(f(x))=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)$，求 $T$ 在基 $x^2e^x, xe^x, e^x$ 下的矩阵。
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>2. 二阶实对称矩阵的全体 $$
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V=\left\{A=\begin{bmatrix}x_1&x_2\\x_2&x_3\end{bmatrix}\;\bigg|\;x_1,x_2,x_3 \in \mathbb{R}\right\}$$
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对于矩阵的线性运算构成 3 维线性空间。在 $V$ 中取一组基 $$
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A_1=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix},\;
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A_2=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix},\;
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A_3=\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}.$$
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在 $V$ 中定义变换 $$
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T(A)=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}A\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix},$$
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求 $T$ 在基 $A_1,A_2,A_3$ 下的矩阵。
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>3. 已知 $\mathbb{R}^3$ 中线性变换 $T$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 下的矩阵为 $$
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A = \begin{bmatrix} 1&2&-1\\ -1&1&3\\ 1&1&1 \end{bmatrix},$$
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求 $T$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_1$ 下的矩阵。
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>4. 已知 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1,1)^T,\;\boldsymbol{\alpha}_2=(1,1,0)^T,\;\boldsymbol{\alpha}_3=(1,0,0)^T$ 为 $\mathbb{R}^3$ 的一组基，$T$ 为 $\mathbb{R}^3$ 上的线性变换，且 $$
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T(\boldsymbol{\alpha}_1)=(1,2,3)^T,\; T(\boldsymbol{\alpha}_2)=(0,1,2)^T,\; T(\boldsymbol{\alpha}_3)=(0,0,1)^T,$$
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求 $T$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1 , \boldsymbol{\alpha}_2 , \boldsymbol{\alpha}_3$ 下的矩阵。
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>[!note] 习题解答
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>1. 取基向量 $e_1 = x^2 e^x$, $e_2 = x e^x$, $e_3 = e^x$。计算导函数：
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> - $T(e_1) = \frac{d}{dx}(x^2 e^x) = (x^2 + 2x)e^x = 1 \cdot e_1 + 2 \cdot e_2 + 0 \cdot e_3$,
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> - $T(e_2) = \frac{d}{dx}(x e^x) = (x+1)e^x = 0 \cdot e_1 + 1 \cdot e_2 + 1 \cdot e_3$,
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> - $T(e_3) = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x = 0 \cdot e_1 + 0 \cdot e_2 + 1 \cdot e_3$。
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> 故 $T$ 在基下的矩阵为 $\begin{bmatrix}1&0&0\\2&1&0\\0&1&1\end{bmatrix}.$
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>2. 验证 $T$ 是 $V$ 到 $V$ 的线性变换：对任意 $A=\begin{bmatrix}x_1&x_2\\x_2&x_3\end{bmatrix}\in V$， $$
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T(A)=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}A\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}
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= \begin{bmatrix}x_1 & x_1+x_2 \\ x_1+x_2 & x_1+2x_2+x_3\end{bmatrix} \in V.$$
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>计算基的像：
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> - $T(A_1)=\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}=1\cdot A_1+1\cdot A_2+1\cdot A_3$，
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> - $T(A_2)=\begin{bmatrix}0&1\\1&2\end{bmatrix}=0\cdot A_1+1\cdot A_2+2\cdot A_3$，
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> - $T(A_3)=\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}=0\cdot A_1+0\cdot A_2+1\cdot A_3$。
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>故 $T$ 在基下的矩阵为 ${\begin{bmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&2&1\end{bmatrix}}.$
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>3. 设旧基 $\mathcal{B}=(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3)$，新基 $\mathcal{C}=(\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_1)$。过渡矩阵 $$P = \begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix},\quad P^{-1}=P.$$
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$T$ 在基 $\mathcal{C}$ 下的矩阵 $B = P^{-1}AP = PAP$。计算：$$AP = \begin{bmatrix}1&2&-1\\-1&1&3\\1&1&1\end{bmatrix}
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\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}
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= \begin{bmatrix}-1&2&1\\3&1&-1\\1&1&1\end{bmatrix},$$ $$B = P(AP) = \begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}
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\begin{bmatrix}-1&2&1\\3&1&-1\\1&1&1\end{bmatrix}
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= \begin{bmatrix}1&1&1\\3&1&-1\\-1&2&1\end{bmatrix}.$$
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故所求矩阵为 ${\begin{bmatrix}1&1&1\\3&1&-1\\-1&2&1\end{bmatrix}}.$
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>4. 记基矩阵 $P = [\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3] = \begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}$， 像矩阵 $B = [T(\boldsymbol{\alpha}_1),T(\boldsymbol{\alpha}_2),T(\boldsymbol{\alpha}_3)] = \begin{bmatrix}1&0&0\\2&1&0\\3&2&1\end{bmatrix}$。 设 $T$ 在基下的矩阵为 $A$，则 $B = PA$，故 $A = P^{-1}B$。计算 $$P^{-1} = \begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&-1\\1&-1&0\end{bmatrix},$$$$
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A = P^{-1}B = \begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&-1\\1&-1&0\end{bmatrix}
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\begin{bmatrix}1&0&0\\2&1&0\\3&2&1\end{bmatrix}
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= \begin{bmatrix}3&2&1\\-1&-1&-1\\-1&-1&0\end{bmatrix}.$$
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验证：$T(\boldsymbol{\alpha}_1) = P \cdot (3,-1,-1)^T = (1,2,3)^T$，正确。
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故所求矩阵为 ${\begin{bmatrix}3&2&1\\-1&-1&-1\\-1&-1&0\end{bmatrix}}.$
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# Section 2 相似矩阵与对角化
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#### 特征值
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>[!info] 基本定义
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>1. 设 $n$ 阶方阵 $A = [a_{ij}] \in \mathbb{C}^{n \times n}$，若存在数 $\lambda$ 和非零向量 $\xi$ 使得$A\xi = \lambda \xi$，
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>则称 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的一个**特征值**，$\xi$ 是矩阵 $A$ 对应于 $\lambda$ 的一个**特征向量**。
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>2. 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\lambda$ 是一个变量，则矩阵 $\lambda E - A$ 称为 $A$ 的**特征矩阵**，其行列式 $f_A(\lambda) = |\lambda E - A|$ 称为 $A$ 的**特征多项式**，方程 $|\lambda E - A| = 0$ 称为 $A$ 的**特征方程**。
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>[!info] 求特征值的基本方式：
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>1. 构造特征多项式：$f(\lambda) = |\lambda E - A|$（$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵），本质是将 $A\xi = \lambda\xi$ 变形为 $(\lambda E - A)\xi = 0$，由于 $\xi \neq 0$，齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式为 0，即 $|\lambda E - A| = 0$.
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>2. 求解特征方程：$|\lambda E - A| = 0$，得到的根即为 $A$ 的特征值，此时根的重数为**代数重数**.
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>3. 求对应特征向量：对每个特征值 $\lambda_i$，解齐次方程组 $(\lambda_i E - A)x = 0$，其非零解即为对应 $\lambda_i$ 的特征向量，所有非零解构成该特征值的特征子空间；该子空间的维数为**几何重数**.
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特征值，顾名思义，就是体现了这个矩阵的“特征”. 这一点在矩阵的相似表现的尤为明显.
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>[!info] 特征值最基本的性质：
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>1. 特征值之和等于矩阵的迹（主对角线元素之和），即 $\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ii}$；
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>2. 特征值之积等于矩阵的行列式，即$\prod\limits_{i=1}^{n}\lambda_i=|A|$.
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>3. 对于有理函数 $f(x)$ ，矩阵 $f(A)$ 的特征值为 $f(\lambda)$ ，对应的特征向量不变. 相应的，如果 $A\sim B$，则 $f(A) \sim f(B)$.
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>4. 相似矩阵特征值相等.
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#### 相似矩阵的定义与性质
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数域 $K$ 上两个 $n$ 阶矩阵$A,B$ 相似的定义为: 存在数域$K$ 上的可逆矩阵$P$ 使得$B = P^{-1}AP$. 记为
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$A \sim B$.
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>[!info] 相似矩阵的性质：
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>1. 相似是一种等价关系, 即满足反身性, 对称性, 传递性.
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>2. $A,B$ 相似, 可以得到 $A,B$ 秩相同, 但是不要求$A,B$ 都可逆, 更不要求$A,B$ 对称.
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>3. 对于任意的有理式 $f(x)$， 都有$f(A) \sim f(B)$. 并且, 如果 $B = P^{-1}AP$, 则$f(B) = P^{-1}f(A)P$. 对于 $A^*$，可视作 $|A|A^{-1}$，是有理式中的一个 $-1$ 次方项目.
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>4. $A_1 \sim B_1,\;A_2 \sim B_2$, 不一定有$A_1+A_2 \sim B_1+B_2$. 只有当$P^{-1}A_1P = B_1$ 且$P^{-1}A_2P = B_2$ 时(相同的过渡矩阵$P$), 才有 $P^{-1}(A_1+A_2)P = B_1+B_2$， 即$A_1+A_2 \sim B_1+B_2$, 这是很苛刻的条件. 你将会在**例题4**中看到.
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>5. 如果$A_1 \sim A_2$, 且$B_1 \sim B_2$, 则显然有$\begin{pmatrix}A_1 & O \\O & B_1\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}A_2 & O \\O & B_2\end{pmatrix}.$
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> 原因是若$P^{-1}A_1P = A_2,\;Q^{-1}B_1Q = B_2$, 则$\begin{pmatrix}P & O \\O & Q\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}A_1 & O \\O & B_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}P & O \\O & Q\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A_2 & O \\O & B_2\end{pmatrix}.$
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>[!todo] 判断相似关系的步骤（一般是选择题）
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>1. 判断特征值是否相等(先看迹，行列式，排除不了就算特征值)
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>2. 根据 $\mathrm{rank}(A-kE)=\mathrm{rank}(B-kE)$ ,带几个好算的 $k$ 进去，看看秩是否相等，因为 $A-kE\sim B-kE$，有 $P^{-1}(A-kE)P= B-kE$，注意到 $P$ 可逆，故$\mathrm{rank}(A-kE)=\mathrm{rank}(B-kE)$.
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>3. 如果特征值和行列式均相等，接着算重数，判断是否可对角化，根据相似的传递性得出结论. 注意：当代数重数，几何重数，特征值均相同时，两个矩阵不一定相似，例如：$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$与$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$几何重数，代数重数，特征值均相等，然而却不相似.
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#### 对角化
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将一个方阵通过可逆变换变为对角矩阵（$A=P^{-1}\Lambda P$）的过程就是相似对角化，相似对角化最根本的应用就是求方阵的有理式（ $\ f(A)=P^{-1}f(\Lambda)P$ ），这在科学计算中起到了很大的简化作用.
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$A$ 能对角化的充要条件是 $A$ 有 $n$ 个**线性无关的特征向量**，这要求 $A$ 的所有特征值的几何重数和代数重数相等，且 $A$ 的所有特征值的重数和为 $n$ .
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对角化的步骤：
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1. 确定特征值 $\lambda_i$，并对每个特征值确定特征向量 $\boldsymbol\xi_i$ （在此时判断能否对角化）；
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2. 按照顺序，依次将特征向量与特征值写入变换矩阵和对角矩阵：
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$$P=\begin{bmatrix}\boldsymbol\xi_1&\boldsymbol\xi_2&\cdots&\boldsymbol\xi_n\end{bmatrix},
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\Lambda=\begin{bmatrix}\lambda_1&&&\\&\lambda_2&&\\&&\ddots&\\&&&\lambda_n\end{bmatrix},A=P^{-1}\Lambda P$$
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实对称矩阵是一类特殊的矩阵：实对称矩阵就是天选之子，本身就能相似对角化，因为他有 $n$ 个实特征向量，并且，实对称矩阵还可以正交相似对角化，即相似变化矩阵可以是正交矩阵（这个性质非常重要！）
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实对称矩阵正交相似对角化的步骤：
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1. 确定特征值 $\lambda_i$，并对每个特征值确定特征向量 $\boldsymbol\xi_i$ （在此时判断能否对角化）；
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2. <span style="color:ffaa33;font-weight: bold;">对特征向量作施密特正交化；（不同特征值的特征向量天然正交）</span>
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3. 按照顺序，依次将特征向量与特征值写入变换矩阵和对角矩阵.
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若 $A$ 与某个对角矩阵 $B$ 相似，我们可以根据 $B$ 的性质来反推 $A$ 的性质（秩，行列式，特征值），一般地，求抽象矩阵的行列式，需要想到根据特征值的乘积得出.
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## 常见题型
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特征值常见的小题就是针对其性质进行设问.
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>[!example] 例题8
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>设$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}-1 & 2 & 2 \\ 2&-1&-2\\2&-2&-1\end{bmatrix}$,$\boldsymbol E$是3阶单位矩阵，则矩阵$\boldsymbol{E}+2\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^2$全部特征值之和是____
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>[!note] 解析
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>易知$\boldsymbol A$的特征值为$\lambda =1,1,-5$,令$\boldsymbol B=\boldsymbol{E}+2\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^2,$
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>$\boldsymbol\xi$ 为矩阵$A$的一个特征向量，$\boldsymbol B\boldsymbol\xi=(1+2\lambda-\lambda^2)\boldsymbol\xi$，
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>则有$\boldsymbol B$ 的特征值 $\lambda'=(1+2\lambda-\lambda^2)=2,2,-34$，则答案为$2+2-34=-30$
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##### 1. 针对“迹”设问
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>[!hint] 提示
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>秩为$1$的矩阵$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$的特征值有如下特征：
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>（1）$0$为其特征值，且几何重数均为$n-1$，若$A$能相似对角化，则$0$的代数重数也为$n-1$；
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>>证明：因为$r(A)=1<n$,所以$|A|=0$，故$0$是$A$的一个特征值。考虑齐次线性方程组$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$.由于$r(A)=1$，$\mathrm{dim}N(A)=n-1$，所以特征值$0$的几何重数为$n-1$。若矩阵$A$能相似对角化，则代数重数与几何重数相等，也为$n-1$。若$A$不能相似对角化，则$0$的代数重数为$n$。
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>（2）它的另一个特征值为 $\mathrm{tr}(A)$.
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>>这个特征可以由“特征值之和等于矩阵的迹”得出.
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>
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>秩为 $1$ 的矩阵 $A$ 可以拆成 $A=\boldsymbol\alpha\boldsymbol\beta^\mathrm{T}$，$\boldsymbol\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n),\boldsymbol\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$
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>此时 $A$ 的迹为 $\displaystyle\prod\limits_{i=1}^na_ib_i=\boldsymbol\beta\boldsymbol\alpha^\mathrm{T}$
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>[!example] （[[线代2019秋A|2019]]）例题9
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设 $E$ 为 $3$ 阶单位矩阵，$\alpha$ 为一个 $3$ 维单位列向量，则矩阵 $E-\alpha\alpha^\text{T}$ 的全部 $3$ 个特征值为\_\_\_\_\_\_
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>[!note] 解析
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>设 $B=\alpha\alpha^T$，该矩阵为**秩 $1$ 矩阵**（因 $\alpha$ 是单位列向量，$\alpha^T\alpha=1$）.
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>秩 $1$ 矩阵的特征值性质：非零特征值为矩阵的迹 $\text{tr}(B)=\alpha^T\alpha=1$，其余 $n-1=2$ 个特征值为 $0$（秩 $1$ 矩阵的非零特征值个数等于秩）.
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>若 $B\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$（$\boldsymbol{x}$为特征向量），则 $(E-B)\boldsymbol{x}=(1-\lambda)\boldsymbol{x}$，即$E-B$ 的特征值为 $1-\lambda$.
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>代入 $B$ 的特征值 $\lambda=1,0,0$，得 $E-B$ 的特征值为 $1-1=0$，$1-0=1$，$1-0=1$，即 $1,1,0$. （最后这里也包含了接下来会用到的针对“有理函数”设问）
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>[!example] 例题10
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>已知 $n(n\geq2)$维列向量 $\alpha,\beta$ 满足 $\beta^T\alpha=-3$，则方阵 $(\beta\alpha^T)^2$ 的非零特征值为$\underline{\qquad}$.
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>[!note] 解析
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>设 $A=\beta\alpha^T$（秩 1 矩阵），计算 $A^2$：
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>$A^2=(\beta\alpha^T)(\beta\alpha^T)=\beta(\alpha^T\beta)\alpha^T=(\alpha^T\beta)A$
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>注意：$\alpha^T\beta=(\beta^T\alpha)^T$（矩阵转置性质），而 $\beta^T\alpha=-3$（数，转置等于自身），故 $\alpha^T\beta=-3$，因此 $A^2=-3A$。
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>由上面的性质，我们知道$A$的特征值只有可能是$0$或$-3$，又$A$不可能只有$0$一种特征值，故$A$的非零特征值只能为$-3$，从而$A^2$的非零特征值为$9$.
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>[!example] 例题11
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>设 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \dots, \boldsymbol{\beta}_m$ 均为实数域上的 n 维列向量，其中 m < n ，证明 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \dots, \boldsymbol{\beta}_m$ 线性无关的充要条件$$\begin{vmatrix}
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\boldsymbol{\beta}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_1 & \boldsymbol{\beta}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_2 & \dots & \boldsymbol{\beta}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_m \\
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\boldsymbol{\beta}_2^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_1 & \boldsymbol{\beta}_2^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_2 & \dots & \boldsymbol{\beta}_2^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_m \\
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\vdots & \vdots & & \vdots \\
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\boldsymbol{\beta}_m^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_1 & \boldsymbol{\beta}_m^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_2 & \dots & \boldsymbol{\beta}_m^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_m
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\end{vmatrix}
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\neq 0.$$
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>[!note] **证明：**
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设矩阵$B=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\beta}_1\ \boldsymbol{\beta}_2\cdots\ \boldsymbol{\beta}_m\end{bmatrix}$，则$$B^TB=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\beta}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_1 & \boldsymbol{\beta}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_2 & \dots & \boldsymbol{\beta}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_m \\
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\boldsymbol{\beta}_2^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_1 & \boldsymbol{\beta}_2^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_2 & \dots & \boldsymbol{\beta}_2^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_m \\
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\vdots & \vdots & & \vdots \\
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\boldsymbol{\beta}_m^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_1 & \boldsymbol{\beta}_m^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_2 & \dots & \boldsymbol{\beta}_m^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_m\end{bmatrix}.$$考虑线性方程组$B^TB\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$和$B\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$.下证这两个线性方程组同解.
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（i）若$B\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}$，则$B^TB\boldsymbol{y}=B^T\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}$，故$N(B)\subseteq N(B^TB)$；
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（ii）若$B^TB\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}$，两边左乘$\boldsymbol{y}^T$得$\boldsymbol y^TB^TB\boldsymbol y=(B\boldsymbol y)^TB\boldsymbol y=<B\boldsymbol y,B \boldsymbol y>=0$，故$B\boldsymbol y=\boldsymbol0$，从而$N(B^TB)\subseteq N(B)$.
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综上，$N(B^TB)=N(B)$，即线性方程组$B^TB\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$和$B\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$同解.
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而$|B^TB|\neq0\Leftrightarrow$方程$B^TB\boldsymbol x=\boldsymbol 0$有唯一零解$\Leftrightarrow B\boldsymbol x=\boldsymbol 0$有唯一零解$\Leftrightarrow \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \dots, \boldsymbol{\beta}_m$ 线性无关.证毕.
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##### 2. 针对“有理函数”设问
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>[!example] 例题12
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>已知 $4$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，$A$ 的全部特征值为 $1,2,3,4$，则行列式 $|B^{-1}-E|$ 为$\underline{\qquad}$.
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>[!note] 解析
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>“对于有理函数 $f(x)$ ，矩阵 $f(A)$ 的特征值为 $f(\lambda)$ ，对应的特征向量不变. ”
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>根据这一条性质，我们求得矩阵 $B^{-1}-E$ 的所有特征值，进而求得行列式.
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>$f(x)=\frac{1}{x}-1$，则 $B^{-1}-E$ 的特征值为 $0,-\frac12, -\frac23,-\frac34$，相乘结果为 $0$，故答案为 $0$.
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>[!example] 例题13
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>设 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}-1 & 2 & 2 \\ 2&-1&-2\\2&-2&-1\end{bmatrix}$,$\boldsymbol E$ 是3阶单位矩阵，则矩阵 $\boldsymbol{E}+2\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^2$ 全部特征值之和是____
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>[!note] 解析
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>易知 $\boldsymbol A$ 的特征值为 $\lambda =1,1,-5$ ，令 $f(x)=-x^2+2x+1$，
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>$f(\boldsymbol A)$ 的特征值 $\lambda'=f(\lambda)=(1+2\lambda-\lambda^2)=2,2,-34$，则答案为 $2+2-34=-30$
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>[!example] （[[线代2022秋A|2022]]）例题14
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已知 $n$ 阶方阵$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$相似，$\boldsymbol{C}$与$\boldsymbol{D}$相似，则下列命题中正确的是【】
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A. $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{C}$与$\boldsymbol{B}+\boldsymbol{D}$相似.
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B. $\boldsymbol{AC}$与$\boldsymbol{BD}$相似.
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C. $\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{E}$与$\boldsymbol{B}^2+\boldsymbol{E}$相似.
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D. $\boldsymbol{A}^\text{T}+\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}^\text{T}+\boldsymbol{B}$相似.
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>[!note] 解析
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>C选项是一个典型的 $f(A)\sim f(B)\ ,f(x)=x^2+1$ 结构，如果熟悉性质可以秒选
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>[!warning] 注意！
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>转置不能作为有理式的一部分！
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##### 3. 针对“本质”设问
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相似大题在设问时，往往回归“特征值”“相似”的本源，用特征多项式求解特征值，并应用特征值的性质； 小题偶有考察相关基本性质的题.
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>[!example] 例题15
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>$n$ 阶方阵 $\boldsymbol A$ 有 $n$ 个不同的特征值是 $\boldsymbol A$ 与对角阵相似的 $\qquad\qquad\qquad$【$\qquad$】
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>A.充分必要条件$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$B.充分不必要条件
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>C.必要不充分条件$\qquad\qquad\qquad\qquad\quad$D.既不充分也不必要条件
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>[!note] 解析
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>设 $A$ 是一个 $n\times n$ 的方阵：
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>1. 若 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值，则每个特征值至少有一个对应的特征向量；
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>2. 不同特征值对应的特征向量一定是线性无关的；
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>3. 所以当 $A$ 有 $n$ 个不同特征值时，$A$ 一定有 $n$ 个线性无关的特征向量；
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>4. 根据矩阵可对角化的充要条件，$A$ 可以与对角阵相似；
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>另一方面，
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>5. 如果 $A$ 可以与对角阵相似，即 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量；
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>6. 这些特征向量可能来自重复的特征值；
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>举例来说，矩阵 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}-2 & 1 & 1 \\ 0&2&0\\4&1&3\end{bmatrix}$ 相似于对角阵 $\boldsymbol{D}=\begin{bmatrix}-1 & 0 & 0 \\ 0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}$
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>它只有两个不同的特征值 $−1$ 和 $2$，但仍能对角化；
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所以，“有 $n$ 个不同特征值”不是必要条件。
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综上，$n$ 阶方阵 $A$ 有 $n$ 个不同特征值是其可对角化的**充分不必要条件**。
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>[!example] （[[线代2023秋A|2023]]）例题16
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>设矩阵 $A=\begin{bmatrix}3&1&2\\0&a&0\\2&b&3\end{bmatrix}$ 仅有两个相异特征值，且 $A$ 相似于对角矩阵，求 $a,b$， 并求可逆矩阵 $P$，使得$P^{-1}AP$ 为对角矩阵．
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>[!note] 解析
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>通过定义，求特征值：$\lambda E-A=\begin{bmatrix}\lambda-3&-1&-2\\0&\lambda-a&0\\-2&-b&\lambda-3\end{bmatrix}$,
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> $|\lambda E-A|=0 \Rightarrow (\lambda-a)(\lambda-5)(\lambda-1)=0$
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> $A$ 仅有两个相异特征值，说明 $a=5$ 或 $a=1$.
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> 如果 $a=5$：特征值 $5$ 的代数重数为 $2$；因为 $A$ 能相似对角化，所以相应的几何重数也为 $2$.
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> $(5E-A)\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，即$\begin{bmatrix}2&-1&-2\\0&0&0\\-2&-b&2\end{bmatrix}\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，由 $\text{rank}(5E-A)=1$ 得 $b=-1$；对应的特征向量为$(1,2,0)^\mathrm{T},(1,0,1)^\mathrm{T}$；
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> 而 $(E-A)\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，即$\begin{bmatrix}-2&-1&-2\\0&4&0\\-2&b&-2\end{bmatrix}\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，对应的特征向量是 $(-1,0,1)^\mathrm{T}$；
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> 因此，$P=\begin{bmatrix}1&1&-1\\2&0&0\\0&1&1\end{bmatrix}$.
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> 如果 $a=1$：特征值 $1$ 的代数重数为 $2$；因为 $A$ 能相似对角化，所以相应的几何重数也为 $2$.
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> $(E-A)\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，即$\begin{bmatrix}-2&-1&-2\\0&0&0\\-2&-b&-2\end{bmatrix}\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，由 $\text{rank}(E-A)=1$ 得 $b=1$，对应的特征向量为$(1,-2,0)^\mathrm{T},(1,0,-1)^\mathrm{T}$；
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> 而 $(5E-A)\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，即$\begin{bmatrix}-2&-1&-2\\0&4&0\\-2&b&-2\end{bmatrix}\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，对应的特征向量是 $(1,0,1)^\mathrm{T}$；
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> 因此，$P=\begin{bmatrix}1&1&1\\-2&0&0\\0&-1&1\end{bmatrix}$.
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>[!example] 例题17
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>设 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^2 - 3A + 2E = O$ ，证明 $A$ 可相似对角化。
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>[!note] 解析
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>$(A - 2E)(A - E) = 0$，容易得出 $A$ 的特征值只能是 $1$ 或者 $2$ 。
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>$\therefore \text{rank}(A - 2E) + \text{rank}(A - E) \leq n$
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>$\text{rank}((A - E) - (A - 2E)) = n \leq \text{rank}(A - E)$
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>$\therefore \text{rank}(A - 2E) + \text{rank}(A - E) = n$
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>$\therefore \text{dim}N(A-2E)+\text{dim}N( A - E) = n$
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>即特征值 $2$ 和特征值 $1$ 的几何重数之和为 $n$（或者一个不是特征值而另一个几何重数是 $n$），而代数重数不小于几何重数，所以两个特征值的几何重数与代数重数只能相等，否则两个特征值的代数重数之和就会大于 $n$ ，这是不可能的。于是 $A$ 可相似对角化。
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# Trivia
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### 证明方阵可交换
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#### **通用解题框架**：$AB = kA + lB$ 型等式证明 $AB=BA$
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**步骤1**：等式变形，构造因式分解
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把给定的等式 $AB = kA + lB$ 整理成可以因式分解的形式。
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移项：$AB - kA - lB = O$
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凑因子：在等式两边加上 $klE$，凑出 $(A - lE)(B - kE)$
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$(A - lE)(B - kE) = klE$
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这样就把等式转化为两个矩阵的乘积等于一个常数矩阵的形式。
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**步骤 2**：证明矩阵可逆
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上一步得到的右边 $klE$ 是纯量矩阵，说明：
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$(A - lE)$ 和 $\frac{(B - kE)}{kl}$ 互为逆矩阵，即 $(A-lE)$ 和 $(B-kE)$ 可交换，则 $(A - lE)(B - kE) = (B - kE)(A - lE)$
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**步骤 3**：展开等式，推导 $AB=BA$
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把步骤2得到的可交换等式 $(A - lE)(B - kE) = (B - kE)(A - lE)$展开：
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$AB - kA - lB + klE = BA - lB - kA + klE$
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两边消去相同项$-kA - lB + klE$ ，直接得到：
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$AB = BA$
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>[!example] 例题18
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>设 $A, B$ 是 3 阶矩阵，$AB = 2A - B$，如果 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 是 $A$ 的 3 个不同特征值。证明：
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(1) $AB = BA$；
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(2) 存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP$ 与 $P^{-1}BP$ 均为对角矩阵。
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>[!note] **证明：**
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>(1)
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> $\because AB = 2A - B$
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> $\therefore (A + E)(B - 2E) = -2E$
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> $\therefore ( B - 2E)(A + E) = (A + E)(B - 2E)$
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> $\therefore AB = BA$
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>(2)
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> 设 $P^{-1}AP = \Lambda_1$，$\Lambda_1$ 为对角矩阵
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> 则 $P^{-1}ABP = P^{-1}BAP$
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> $\therefore P^{-1}APP^{-1}BP = P^{-1}BPP^{-1}AP$
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> 设 $P^{-1}BP = \Lambda_2$
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> $\therefore \Lambda_1\Lambda_2 = \Lambda_2\Lambda_1$
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> 与对角矩阵可交换的矩阵必为对角矩阵
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> 证毕
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>[!example] 例题19
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设 $n$ 阶方阵 $A, B$ 满足 $AB = A + B$。
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（1）证明 $A - E$ 可逆；
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（2）证明 $AB = BA$；
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（3）证明 $\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(B)$；
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（4）若矩阵$$B = \begin{bmatrix}
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1 & -3 & 0 \\
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2 & 1 & 0 \\
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0 & 0 & 2
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\end{bmatrix}$$ 求矩阵 $A$。
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>[!note] 【解】
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**(1)**
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由 $AB = A + B$ 得 $(A - E)(B - E) = E$，因此 $A - E$ 可逆。
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**(2)**
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由 $(A - E)(B - E) = E$ 得 $(B - E)(A - E) = E$，因此 $AB = BA$。
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**(3)**
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由 $AB = A + B$ 得 $A = (A - E)B$，而 $A - E$ 可逆，故 $\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(B).$
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**(4)**
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由 $AB = A + B$ 得 $A(B - E) = B$，而 $B - E$ 可逆，故 $A = B(B - E)^{-1}.$
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已知$B = \begin{bmatrix}1 & -3 & 0 \\2 & 1 & 0 \\0 & 0 & 2\end{bmatrix},$
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则$B - E = \begin{bmatrix}0 & -3 & 0 \\2 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1\end{bmatrix}.$
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求逆得$(B - E)^{-1} = \begin{bmatrix}0 & \frac12 & 0 \\[2pt]-\frac13 & 0 & 0 \\[2pt]0 & 0 & 1\end{bmatrix}.$
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于是$A = B(B - E)^{-1} = \begin{bmatrix}1 & -3 & 0 \\2 & 1 & 0 \\0 & 0 & 2\end{bmatrix}
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\begin{bmatrix}0 & \frac12 & 0 \\[2pt]-\frac13 & 0 & 0 \\[2pt]0 & 0 & 1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 & \frac12 & 0 \\[2pt]-\frac13 & 1 & 0 \\[2pt]0 & 0 & 2\end{bmatrix}.$
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