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@ -136,7 +136,7 @@ $$
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>[!example] 例3
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设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上可导，且$f(1) = 2\int_0^{1/2} e^{\frac{x^2}{2}-x} f(x) dx$
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设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上可导，且$f(1) = 2\int_0^{1/2} \text{e}^{\frac{x^2}{2}-x} f(x) dx$
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证明：存在 $\xi \in (0, 1)$ 使得：$f'(\xi) = (1-\xi) f(\xi)$
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**解析**：
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@ -411,7 +411,7 @@ $$
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>[!example] 例2
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设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内二阶可导，又若 $f(x)$ 的图形与联结 $A(a, f(a))$，$B(b, f(b))$ 两点的弦交于点 $C(c, f(c))$ ($a \leq c \leq b$)，证明在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f''(\xi) = 0$。
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**分析：![[微分中值定理图.png]]**
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**分析：![[多次运用 微分中值定理.png]]
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二阶导的零点就是图像的拐点，从图中能直观地看出来，函数图像的凹凸性确实发生了改变。现在的问题就是如何证明。
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首先可以很直观地看到，函数图像应当有两条与直线$AB$平行的切线，由拉格朗日中值定理也可以证明这一点。这样，$f'(x)$就在不同地方取到了相同的函数值，这就想到用罗尔定理，从而可以证明题中结论。
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