A 素材/整合素材/高数素材/特定结构定积分.md

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+## 函数的奇偶性在定积分上的体现
+如果 $f(x)$ 是奇函数， $g(x)$ 是偶函数，那么：
+$\int_{-a}^a f(x)\mathrm dx=0$，$\int_{-a}^a g(x)\mathrm dx=2\int_0^a g(x)\mathrm dx$
+合理运用上面的特性可以有效化简定积分（一般都是用 $\int_{-a}^a f(x)\mathrm dx=0$ 来简化积分），通常来说，在看到积分上下限互为相反数且被积函数较复杂时，可以试图“剥掉奇函数”来简化，用公式写，就是这样：
+如果 $f(x)$ 是奇函数，$g(x)$ 是其他函数，那么：
+$\int_{-a}^a(f(x)+g(x))\mathrm dx=\int_{-a}^{a}f(x)\mathrm dx+\int_{-a}^{a}g(x)\mathrm dx=\int_{-a}^{a}g(x)\mathrm dx$
+>[!example] 例题
+>计算定积分 $$\int_{-1}^1\frac{1+x\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}\mathrm dx$$
+
+>[!note] 解答
+>不难发现，$\frac{x\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}$ 是奇函数……
+>>[!faq] 这个“不难发现”是怎么发现的？
+>>这个靠主动寻找+奇偶函数的乘法性质，同奇偶相乘得偶函数，反之则为奇函数.
+>>$1+x^2$ 是偶函数，$\mathrm e^\frac{-x^2}{2}$ 是偶函数，$\frac{\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}$ 是偶函数；$x$ 是奇函数，$\frac{x\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}$ 是奇函数
+>
+>因此
+>$$\int_{-1}^1\frac{1+x\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}\mathrm dx=\int_{-1}^1\frac{1}{1+x^2}\mathrm dx=\left[\arctan x\right]_{-1}^1=2\arctan1=\frac{\pi}{2}$$
+
+## 三角函数的特殊性与华莱士公式
+
+$\int_0^\pi xf(\sin x)\mathrm dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x)\mathrm dx$
+
+华莱士公式：
+$$\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nx\mathrm dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^nx\mathrm dx=\begin{cases}\dfrac{\pi}{2}\dfrac{(n-1)!!}{n!!},n=2k\\\dfrac{(n-1)!!}{n!!},n=2k+1\end{cases},k\in\mathbb{N}$$