vault backup: 2026-01-17 10:12:44

编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md

@@ -118,7 +118,7 @@ $$
 ---
 
 >[!example] 例2  
-设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上三阶可导，且 $f(a) = f'(a) = f(b) = 0$。  
+设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上三阶可导，且 $f(a) = f'(a) = f(b) =f''(b)= 0$。  
 证明：存在 $\xi \in (a, b)$ 使得：$f'''(\xi) + k f''(\xi) = 0$
 
 **解析**：  
@@ -129,9 +129,7 @@ $$
 因此构造辅助函数：
 $$
 H(x) = \text{e}^{kx} f''(x)
-$$
-由条件可推知存在 $\eta_1, \eta_2 \in (a, b)$ 使 $f''(\eta_1) = f''(\eta_2) = 0$，从而 $H(\eta_1)=H(\eta_2)=0$。  
-对 $H(x)$ 应用罗尔定理即得证。
+$$由$f(a)=f(b)=0$及罗尔定理知，存在$c\in(a,b),f'(c)=0$；又$f'(a)=0$，则存在$d\in(a,c),f''(d)=0$；又$f''(b)=0$，知$H(d)=H(b)=0$，得存在$\xi\in(d,b)\subset(a,b),H'(\xi)=0\Rightarrow f'''(\xi)+kf''(\xi)=0$。
 
 ---