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编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md

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 **内部资料，禁止传播**
 **编委会（不分先后，姓氏首字母顺序）：程奕铭   韩魏   刘柯妤   卢吉辚   王轲楠   支宝宁  郑哲航
 
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 # 子数列及其相关定理
 
 ## 一、子数列的概念与性质
@@ -235,6 +236,81 @@ $$D(x)= \begin{cases}1, & x\text{为有理数时}, \\ 0, & x\text{为无理数
 
 # 考试易错点总结
 
+## Vol. 1:补药漏写dx口牙！
+
+>[!example] 例1
+ >设函数 $y = \ln(1 + \sin^2 x)$，求其微分 $dy$。
+
+**解**：
+对方程 $y = \ln(1 + \sin^2 x)$ 两边关于 $x$ 求导。
+
+$$ y‘ = \frac{1}{1+\sin^2 x} \cdot (2\sin x \cos x) = \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x} $$
+
+根据微分的定义，$dy = y’ dx$，故
+
+$$ dy = \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x} dx $$
+注意：不要漏写 $dx$ ！
+
+## Vol. 3:可去间断点的说明
+
+>[!example] 例2
+ >求曲线 $y = \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 3x + 2}$ 的所有渐近线。
+
+**解**：
+
+函数在分母为零的点无定义。令 $x^2 - 3x + 2 = 0$，解得 $x = 1$ 和 $x = 2$。
+
+**注：必须对这两个点分别进行讨论**。
+
+在 $x = 1$ 处：
+
+$$ \lim_{x \to 1} y = \lim_{x \to 1} \frac{(x+3)(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \lim_{x \to 1} \frac{x+3}{x-2} = -4 $$
+
+极限存在且为有限值，故 $x = 1$ 是**可去间断点**，该点处**没有**铅直渐近线。
+
+在 $x = 2$ 处：
+
+$$ \lim_{x \to 2} y = \lim_{x \to 2} \frac{x+3}{x-2} = \infty $$
+
+故 $x = 2$ 处有一条**铅直渐近线** $x = 2$。
+
+**求水平(&斜)渐近线**：
+
+$$ \lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}} = 1 $$
+
+因此，曲线有一条**水平渐近线** $y = 1$，无**斜渐近线**
+
+**结论**：曲线的渐近线为 $x = 2$ 和 $y = 1$。
+
+## Vol. 4:正项级数的判别法勿滥用
+>[!example] 例3
+ >判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^2}{3^n}$ 的敛散性（绝对收敛、条件收敛或发散）。
+
+**错误做法示范**：观察级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^2}{3^n}$，若直接对其使用比值判别法：
+
+    $$ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 / 3^{n+1}}{n^2 / 3^n} = \frac{1}{3} < 1 $$
+
+
+若由此断言“原级数收敛”，则犯了**滥用判别法**的错误。因为比值判别法（及比较、根值判别法）仅
+
+在判定**正项级数**时，其结论（收敛）才直接适用于原级数本身。
+
+**正确解法**：
+
+这是一个**任意项级数**（具体为交错级数）。
+
+ 判断其敛散性，应先考察其是否**绝对收敛**。即，考虑由各项绝对值构成的**正项级数**：
+
+$$ \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^{n} n^2}{3^n} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{3^n} $$
+
+对上述**正项级数**使用比值判别法（此时使用是完全正确的）：
+
+$$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{3} < 1 $$
+
+故该正项级数收敛。
+
+根据定义，若一个级数的绝对值级数收敛，则该级数**绝对收敛**。绝对收敛的级数必然收敛。
+
 ## Vol. 5:误用p级数
 **机械地套用p级数结论，而忽视了其应用前提：指数 `p` 必须是与 `n` 无关的常数。**
 
@@ -385,20 +461,13 @@ $\forall \delta>0, \exists x \in \mathring{U}(x_0,\delta)$有 $|f(x)|>M$，称$f
 
 
 
- >[!example] 例1
- >设函数 $y = \ln(1 + \sin^2 x)$，求其微分 $dy$。
-
-**解**：
-对方程 $y = \ln(1 + \sin^2 x)$ 两边关于 $x$ 求导。
-
-$$ y’ = \frac{1}{1+\sin^2 x} \cdot (2\sin x \cos x) = \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x} $$
 
-根据微分的定义，$dy = y’ dx$，故
-
-$$ dy = \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x} dx $$
-注意：不要漏写 $dx$ ！
+ 
 
 
+<<<<<<< HEAD
+ 
+=======
 
  >[!example] 例2
  >求曲线 $y = \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 3x + 2}$ 的所有渐近线。
@@ -458,3 +527,4 @@ $$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{3} < 1 $$
 
 根据定义，若一个级数的绝对值级数收敛，则该级数**绝对收敛**。绝对收敛的级数必然收敛。
 
+>>>>>>> origin/develop