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笔记分享/LaTeX（KaTeX）特殊输入.md

@@ -27,4 +27,62 @@ $\displaystyle\int_1^5f(x)\text{d}x$
 
 $\displaystyle\int\limits_{L}(x+y)\mathrm{d}s$
 
-下划线输入可以这样 $\underline{\qquad}$.
+下划线输入可以这样 $\underline{\qquad}$.
+
+**颜色文字:**
+<span style="color:red">红色文字</span>
+<span style="color:blue">蓝色文字</span>
+<span style="color:#ff0000">另一种红色</span>
+<span style='color:orange; font-weight:bold'>加粗橘色</span>
+$\color{red} x^2 + \color{blue} y^2 = 1$
+```text
+只要查一下颜色的编号放进去就可以
+<span style="color:red">红色文字</span>
+<span style="color:blue">蓝色文字</span>
+<span style="color:#ff0000">另一种红色</span>
+<span style='color:orange; font-weight:bold'>加粗橘色</span>
+
+数学公式中的颜色文字（虽然大概用不到就是了）
+$\color{red} x^2 + \color{blue} y^2 = 1$
+```
+
+**章节符号** §
+
+**任务表格**：
+- [ ] abc
+- [x] def
+- [?] asdf
+```text
+- [ ] abc
+- [x] def
+- [?] asdf
+```
+
+
+**居中输入**
+<div style="text-align: center;">这段文字将居中显示</div>
+```text
+<div style="text-align: center;">这段文字将居中显示</div>
+```
+
+**放大**
+<div style='font-size:20px'>这段文字将放大</div>
+<span style="font-size: 12px">12px - 小号</span>
+<span style="font-size: 14px">14px - 默认大小</span>
+<span style="font-size: 16px">16px - 稍大</span>
+<span style="font-size: 18px">18px - 大号</span>
+<span style="font-size: 20px">20px - 较大</span>
+<span style="font-size: 24px">24px - 标题大小</span>
+<span style="font-size: 32px">32px - 醒目标题</span>
+```text
+<div style='font-size:20px'>这段文字将放大</div>
+<span style="font-size: 12px">12px - 小号</span>
+<span style="font-size: 14px">14px - 默认大小</span>
+<span style="font-size: 16px">16px - 稍大</span>
+<span style="font-size: 18px">18px - 大号</span>
+<span style="font-size: 20px">20px - 较大</span>
+<span style="font-size: 24px">24px - 标题大小</span>
+<span style="font-size: 32px">32px - 醒目标题</span>
+```
+
+

笔记分享/达布定理.md

@@ -1,4 +1,5 @@
 >[!note] 定理：
 >如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上可导，则其导函数$f'(x)$在$[a,b]$上有介值性质，即若$f(x)$在$[a,b]$上的值域为$[m,M]$,则$\forall \xi\in[m,M]$，总$\exists \eta\in[a,b],$有$\xi=f'(\eta)$.
 
-**证明**：若$m=M$，结论显然成立.若$m<M$,设$f'(x_1)=m,f'(x_2)=M$,不妨设$x_1<x_2$.任取$\xi\in(m,M)$,令$$g(x)=f(x)-\xi x,x\in[a,b].$$于是$g(x)$在$[a,b]$上可导，且$$g'(x_1)=f'(x_1)-\xi<0,g'(x_2)=f'(x_2)-\xi>0.$$由零值定理，$\exists  \eta\in(x_1,x_2) \subset(a,b),g'(\eta)=0\implies f'(\eta)=\xi$，证毕.
+**证明**：若$m=M$，结论显然成立.若$m<M$,设$f'(x_1)=m,f'(x_2)=M$,不妨设$x_1<x_2$.任取$\xi\in(m,M)$,令$$g(x)=f(x)-\xi x,x\in[a,b].$$于是$g(x)$在$[a,b]$上可导，且$$g'(x_1)=f'(x_1)-\xi<0,g'(x_2)=f'(x_2)-\xi>0.$$由零值定理，$\exists  \eta\in(x_1,x_2) \subset(a,b),g'(\eta)=0\implies f'(\eta)=\xi$，证毕.
+

素材/整合素材/高数素材/不定积分.md

@@ -16,7 +16,7 @@
 >[!note]
 >$\displaystyle \int xf'(x)\text dx=\int x\text df(x)=xf(x)-\int f(x)\text dx=xf(x)-\dfrac{\cos x}{x},$ 
 >$\displaystyle f(x)=\left(\dfrac{\cos x}{x}\right)'=\dfrac{-x\sin x-\cos x}{x^2},$
->于是原式 $=$
+>于是原式 $\displaystyle=\dfrac{-x\sin x-\cos x}{x}-\frac{\cos x}{x}=\dfrac{-x\sin x-2\cos x}{x}.$
 
 换元加分部
 >[!example] 

素材/整合素材/高数素材/特定结构定积分.md

@@ -0,0 +1,27 @@
+## 函数的奇偶性在定积分上的体现
+如果 $f(x)$ 是奇函数， $g(x)$ 是偶函数，那么：
+$\displaystyle\int_{-a}^a f(x)\mathrm dx=0$，$\displaystyle\int_{-a}^a g(x)\mathrm dx=2\int_0^a g(x)\mathrm dx$
+合理运用上面的特性可以有效化简定积分（一般都是用 $\int_{-a}^a f(x)\mathrm dx=0$ 来简化积分），通常来说，在看到积分上下限互为相反数且被积函数较复杂时，可以试图“剥掉奇函数”来简化，用公式写，就是这样：
+如果 $f(x)$ 是奇函数，$g(x)$ 是其他函数，那么：
+$\displaystyle\int_{-a}^a(f(x)+g(x))\mathrm dx=\int_{-a}^{a}f(x)\mathrm dx+\int_{-a}^{a}g(x)\mathrm dx=\int_{-a}^{a}g(x)\mathrm dx$
+>[!example] 例题
+>计算定积分 $$\int_{-1}^1\frac{1+x\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}\mathrm dx$$
+
+>[!note] 解答
+>不难发现，$\displaystyle\frac{x\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}$ 是奇函数……
+>>[!faq] 这个“不难发现”是怎么发现的？
+>>这个靠主动寻找+奇偶函数的乘法性质，同奇偶相乘得偶函数，反之则为奇函数.
+>>$1+x^2$ 是偶函数，$\displaystyle\mathrm e^\frac{-x^2}{2}$ 是偶函数，$\displaystyle\frac{\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}$ 是偶函数；$x$ 是奇函数，$\displaystyle\frac{x\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}$ 是奇函数
+>
+>因此
+>$$\displaystyle\int_{-1}^1\frac{1+x\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}\mathrm dx=\int_{-1}^1\frac{1}{1+x^2}\mathrm dx=\arctan x|_{-1}^1=2\arctan1=\frac{\pi}{2}$$
+
+## 三角函数的特殊性
+
+$\displaystyle\int_0^\pi xf(\sin x)\mathrm dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x)\mathrm dx,$
+
+$\displaystyle\int_0^{\pi/2}f(\sin x)\text dx=\int_0^{\pi/2}f(\cos x)\text dx.$
+
+## 华莱士公式：
+$$\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nx\mathrm dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^nx\mathrm dx=\begin{cases}\dfrac{\pi}{2}\dfrac{(n-1)!!}{n!!},n=2k,\\\dfrac{(n-1)!!}{n!!},n=2k+1,\end{cases}\qquad k\in\mathbb{N}$$
+其中 $m!!=\begin{cases}m(m-2)\cdots(4)(2),\ m\text{是偶数},\\m(m-2)\cdots(3)(1),\ m\text{是奇数}\end{cases}$ 称为双阶乘.

编写小组/讲义/积分.md

@@ -0,0 +1,4 @@
+---
+Todo: 整合他人素材，完成这个讲义。
+Requires: 先写点自己的理解和做题的感悟，有人提交时就整合，并审稿，特别是例题，需要自己做
+---

试卷库/线性代数期末真题/线代2010秋A.md

@@ -6,9 +6,9 @@
 
 ---
 
-## 一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
+ 一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
 
-1. 设$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$是欧氏空间的标准正交基，则向量$2\alpha_{1} - \alpha_{2} + 3\alpha_{3}$的长度为 __________。
+1. 设$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$是欧氏空间的标准正交基，则向量$2\alpha_{1} - \alpha_{2} + 3\alpha_{3}$的长度为 $\underline{\qquad}$。
 2. 设矩阵  
 $$
    A = \left[ \begin{array}{ccc}
@@ -18,19 +18,16 @@ $$
    \frac{2}{3} & \frac{-1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{3\sqrt{2}}
    \end{array} \right]
 $$
-   为正交矩阵，则$ab =$__________。
-3. 若实二次型  
-$$
-   f(x_{1},x_{2},x_{3}) = x_{1}^{2} + 2\lambda x_{1}x_{2} - 2x_{1}x_{3} + 4x_{2}^{2} + 4x_{2}x_{3} + 4x_{3}^{2}
-$$
-   为正定二次型，则$\lambda$的取值范围为 __________。
-4. 已知$\alpha_{1},\alpha_{2}$是非齐次线性方程组$A_{2\times 3}x = b$的两个线性无关的解，且$\mathrm{rank}A = 2$。若$\alpha = k\alpha_{1} + l\alpha_{2}$是方程组$Ax = b$的通解，则常数$k,l$须满足关系式 __________。
-5. 设$A$为$n$阶实对称矩阵，且$A^{2} + 2A - 3E = 0$，$\lambda = 1$是$A$的一重特征值，则行列式$|A + 2E| =$__________。
-6. 设$A$为$n$阶可逆矩阵，且每一行元素之和都等于常数$a\neq 0$，则$A$的逆矩阵的每一行元素之和为 __________。
+   为正交矩阵，则$ab =$$\underline{\qquad}$。
+3. 若实二次型  $f(x_{1},x_{2},x_{3}) = x_{1}^{2} + 2\lambda x_{1}x_{2} - 2x_{1}x_{3} + 4x_{2}^{2} + 4x_{2}x_{3} + 4x_{3}^{2}$
+   为正定二次型，则$\lambda$的取值范围为 $\underline{\qquad}$。
+4. 已知$\alpha_{1},\alpha_{2}$是非齐次线性方程组$A_{2\times 3}x = b$的两个线性无关的解，且$\mathrm{rank}A = 2$。若$\alpha = k\alpha_{1} + l\alpha_{2}$是方程组$Ax = b$的通解，则常数$k,l$须满足关系式 $\underline{\qquad}$。
+5. 设$A$为$n$阶实对称矩阵，且$A^{2} + 2A - 3E = 0$，$\lambda = 1$是$A$的一重特征值，则行列式$|A + 2E| =$$\underline{\qquad}$。
+6. 设$A$为$n$阶可逆矩阵，且每一行元素之和都等于常数$a\neq 0$，则$A$的逆矩阵的每一行元素之和为$\underline{\qquad}$。
 
 ---
 
-## 二、单选题（共6小题，每小题3分，共18分）
+ 二、单选题（共6小题，每小题3分，共18分）
 
 1. 设$A$为$n$阶可逆矩阵，$A$的第二行乘以2为矩阵$B$，则（ ）。
    - (A)$A^{-1}$的第二行乘以2为$B^{-1}$
@@ -74,7 +71,7 @@ $$
 
 ---
 
-## 三、（10分）计算$n$阶行列式
+三、（10分）计算$n$阶行列式
 
 $$
 D_n = \begin{vmatrix}
@@ -89,7 +86,7 @@ $$
 
 ---
 
-## 四、（10分）设3阶方阵$A,B$满足方程$A^{2}B - A - B = E$，试求矩阵$B$，其中  
+四、（10分）设3阶方阵$A,B$满足方程$A^{2}B - A - B = E$，试求矩阵$B$，其中  
 $$
 A = \begin{bmatrix}
 1 & 0 & 1 \\
@@ -100,7 +97,7 @@ $$
 
 ---
 
-## 五、（10分）判定向量组
+五、（10分）判定向量组
 
 $$
 \alpha_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix},\ 
@@ -113,7 +110,7 @@ $$
 
 ---
 
-## 六、（10分）设线性方程组为
+六、（10分）设线性方程组为
 
 $$
 \left\{
@@ -129,7 +126,7 @@ $$
 
 ---
 
-## 七、（12分）已知实二次型
+七、（12分）已知实二次型
 
 $$
 f(x_{1},x_{2},x_{3}) = 2x_{1}x_{2} + 2x_{2}x_{3} + 2x_{3}x_{1},
@@ -139,7 +136,7 @@ $$
 
 ---
 
-## 八、（12分）设$A$是$m \times n$实矩阵，$\beta \neq 0$是$m$维实列向量，证明：
+八、（12分）设$A$是$m \times n$实矩阵，$\beta \neq 0$是$m$维实列向量，证明：
 
 (1)$\mathrm{rank}A = \mathrm{rank}(A^{\mathrm{T}}A)$；  
 (2) 线性方程组$A^{\mathrm{T}}Ax = A^{\mathrm{T}}\beta$有解。

试卷库/线性代数期末真题/线代2011秋A.md

@@ -32,7 +32,7 @@ $$
 
 4. 设$A = [a_{ij}]_{3\times 3}$是正交矩阵，且$b = (1,0,0)^T$，$a_{11} = 1$，则$Ax = b$有一个解是$\underline{\qquad}$。
 
-5. 设$n$阶实对称矩阵$A$的特征值为$\dfrac{1}{n}, \dfrac{2}{n}, \dots , 1$，则当$\lambda\underline{\qquad}$时，$A - \lambda E$为正定矩阵。
+5. 设$n$阶实对称矩阵$A$的特征值为$\dfrac{1}{n}, \dfrac{2}{n}, \dots , 1$，则当$\lambda\underline{\qquad}$时，$A - \lambda E$为正定矩阵$\underline{\qquad}$。
 
 6. 线性空间$V = \{ A \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid A \text{ 为反对称矩阵} \}$的维数为$\underline{\qquad}$。