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高数下/五一复习/DAY5.md

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+- **2022年 单选题3**  
+  微分方程 $y'' + y = x^{2}+1+\sin x$ 的特解形式可设为（ ）  
+  (A) $y^{*} = ax^{2}+bx+c + x(A\sin x + B\cos x)$  
+  (B) $y^{*} = x(ax^{2}+bx+c + A\sin x + B\cos x)$  
+  (C) $y^{*} = ax^{2}+bx+c + A\sin x + B\cos x$  
+  (D) $y^{*} = ax^{2}+bx+c + A\sin x$  
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+- **2023年 单选题3**  
+  微分方程 $y'' + 4y = x\cos 2x$ 的特解形式为（ ）  
+  (A) $x[(ax+b)\cos 2x + (cx+d)\sin 2x]$  
+  (B) $(ax+b)\cos 2x + (cx+d)\sin 2x$  
+  (C) $x(ax\cos 2x + bx\sin 2x)$  
+  (D) $x(ax+b)\cos 2x$  
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+- **2021年 单选题3**  
+  设 $a,b$ 为待定常数，微分方程 $y'' - y = e^{x}+1$ 的一个特解应具有的形式为（ ）  
+  (A) $ae^{x}+b$ (B) $axe^{x}+b$ (C) $ae^{x}+bx$ (D) $axe^{x}+bx$  
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+- **2025年 单选题3**  
+  已知 $y_{1}=3$，$y_{2}=3+x^{2}$，$y_{3}=3+x^{2}+e^{x}$ 都是方程 $y''-p(x)y'+q(x)y=f(x)$ 的解，则通解为（ ）  
+  (A) $y = C_{1}e^{x} - C_{2}x^{2} + 3$  
+  (B) $y = C_{1}e^{x} + C_{2}x + 3$  
+  (C) $y = C_{1}e^{x} + C_{2}x^{2} - 3$  
+  (D) $y = C_{1}e^{x} + C_{2}x^{2} + 3$  
+
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+- **2024年 单选题2**  
+  若曲线 $y=y(x)$ 上任一点的次切线均等于4，则该曲线应满足的微分方程为（ ）  
+  (A) $y' = \frac{1}{4}y$ (B) $y' = \pm\frac{1}{4}y$ (C) $y' = \pm\frac{1}{4}y^{2}$ (D) $y' = \frac{1}{4}y^{2}$  
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+- **2025年 填空题8**  
+  微分方程 $y' = \dfrac{y}{x} - \left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}$ 的通解为 \_\_\_\_\_\_  
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+ 
+- **2021年 填空题7**  
+  微分方程 $y' = \dfrac{1}{e^{y}+x}$ 的通解为 \_\_\_\_\_\_  
+
+
+- **2023年 填空题7**  
+  设 $f(x)$ 满足方程 $f(x) = x^{2} - \displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t$，则 $f(x)$ 表达式为 \_\_\_\_\_\_  
+
 
 - **2023年 解答题12**  
   求微分方程 $xy\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = x^{2}+y^{2}$ 满足条件 $y(e)=2e$ 的特解，其中 $x>0,y>0$。  
@@ -20,7 +65,8 @@
 
 
 ```
-  
+
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 - **2024年 解答题11**
   求微分方程 $y' = \sin^{2}(x-y+1)$ 的通解。  
 
@@ -42,15 +88,6 @@
 
 ```
  
-- **2025年 填空题8**  
-  微分方程 $y' = \dfrac{y}{x} - \left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}$ 的通解为 \_\_\_\_\_\_  
-
- 
-
-- **2021年 填空题7**  
-  微分方程 $y' = \dfrac{1}{e^{y}+x}$ 的通解为 \_\_\_\_\_\_  
-
-
 
 - **2023年 解答题19(1)**（一阶线性）  
   设函数 $f \in C[0,1]$，当 $x\in[0,1]$ 时 $f(x)\geq0$，并满足 $xf'(x) = f(x) + \dfrac{3a}{2}x^{2}$（$a$ 为常数），又曲线 $y=f(x)$ 与直线 $x=1$ 及 $x$ 轴所围图形面积为2。  
@@ -119,38 +156,6 @@
 ```
   
 
-### 二阶常系数线性微分方程
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-- **2022年 单选题3**  
-  微分方程 $y'' + y = x^{2}+1+\sin x$ 的特解形式可设为（ ）  
-  (A) $y^{*} = ax^{2}+bx+c + x(A\sin x + B\cos x)$  
-  (B) $y^{*} = x(ax^{2}+bx+c + A\sin x + B\cos x)$  
-  (C) $y^{*} = ax^{2}+bx+c + A\sin x + B\cos x$  
-  (D) $y^{*} = ax^{2}+bx+c + A\sin x$  
-
-  
-- **2023年 单选题3**  
-  微分方程 $y'' + 4y = x\cos 2x$ 的特解形式为（ ）  
-  (A) $x[(ax+b)\cos 2x + (cx+d)\sin 2x]$  
-  (B) $(ax+b)\cos 2x + (cx+d)\sin 2x$  
-  (C) $x(ax\cos 2x + bx\sin 2x)$  
-  (D) $x(ax+b)\cos 2x$  
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-- **2021年 单选题3**  
-  设 $a,b$ 为待定常数，微分方程 $y'' - y = e^{x}+1$ 的一个特解应具有的形式为（ ）  
-  (A) $ae^{x}+b$ (B) $axe^{x}+b$ (C) $ae^{x}+bx$ (D) $axe^{x}+bx$  
-
-
-- **2025年 单选题3**  
-  已知 $y_{1}=3$，$y_{2}=3+x^{2}$，$y_{3}=3+x^{2}+e^{x}$ 都是方程 $y''-p(x)y'+q(x)y=f(x)$ 的解，则通解为（ ）  
-  (A) $y = C_{1}e^{x} - C_{2}x^{2} + 3$  
-  (B) $y = C_{1}e^{x} + C_{2}x + 3$  
-  (C) $y = C_{1}e^{x} + C_{2}x^{2} - 3$  
-  (D) $y = C_{1}e^{x} + C_{2}x^{2} + 3$  
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 - **2023年 解答题17**  
   求微分方程 $y'' - 6y' + 9y = e^{3x}$ 的通解。  
 ```text
@@ -238,17 +243,6 @@
 ```
   
 
-- **2024年 单选题2**  
-  若曲线 $y=y(x)$ 上任一点的次切线均等于4，则该曲线应满足的微分方程为（ ）  
-  (A) $y' = \frac{1}{4}y$ (B) $y' = \pm\frac{1}{4}y$ (C) $y' = \pm\frac{1}{4}y^{2}$ (D) $y' = \frac{1}{4}y^{2}$  
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-- **2023年 填空题7**  
-  设 $f(x)$ 满足方程 $f(x) = x^{2} - \displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t$，则 $f(x)$ 表达式为 \_\_\_\_\_\_  
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 - **2024年 解答题18**  
   已知 $f(x)$ 连续，且满足 $f(x) = \sin x - \displaystyle\int_{0}^{x}(x-t)f(t)\mathrm{d}t$，求 $f(x)$。  
 ```text
@@ -268,7 +262,8 @@
 
 
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 - **2022年 证明题18(2)**  
   设 $y=y(x)$ 的反函数满足 $\dfrac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}y^{2}} + (y+2xe^{x})\left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\right)^{3} = 0$。  
   (2) 求满足初始条件 $y(0)=0,\ y'(0)=\frac{3}{2}$ 的解。