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素材/未命名.md

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+设  $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \dots, \boldsymbol{\beta}_m$  均为实数域上的  n  维列向量，其中  m < n ，证明  $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \dots, \boldsymbol{\beta}_m$  线性无关的充要条件为
+$$\begin{vmatrix}
+\boldsymbol{\beta}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_1 & \boldsymbol{\beta}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_2 & \dots & \boldsymbol{\beta}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_m \\
+\boldsymbol{\beta}_2^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_1 & \boldsymbol{\beta}_2^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_2 & \dots & \boldsymbol{\beta}_2^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_m \\
+\vdots & \vdots & & \vdots \\
+\boldsymbol{\beta}_m^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_1 & \boldsymbol{\beta}_m^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_2 & \dots & \boldsymbol{\beta}_m^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_m
+\end{vmatrix}
+\neq 0.$$