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@ -0,0 +1,243 @@
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## 一、选择题，共六道，每题3分，共18分
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1. 设 $A$ 为 $n$ 阶对称矩阵，$B$ 为 $n$ 阶反对称矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是【 】
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(A) $AB - BA$;
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(B) $AB + BA$;
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(C) $BAB$;
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(D) $(AB)^2$.
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2. 设 $e_1, e_2$ 和 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 是线性空间 $\mathbb{R}^2$ 的两组基，并且已知关系式
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$$
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\varepsilon_1 = e_1 + 5e_2,\quad \varepsilon_2 = e_2,
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$$
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则由基 $e_1, e_2$ 到基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 的过渡矩阵是
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$$
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(A) \begin{bmatrix}
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-1 & 0 \\
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5 & -1
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\end{bmatrix} \quad
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(B) \begin{bmatrix}
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0 & -1 \\
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-6 & 0
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\end{bmatrix} \quad
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(C) \begin{bmatrix}
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1 & 0 \\
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-5 & -1
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\end{bmatrix} \quad
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(D) \begin{bmatrix}
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1 & 0 \\
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-5 & 1
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\end{bmatrix}.
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$$
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3. 设向量组
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$$
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\alpha_1 = (0, 0, c_1)^T,\quad
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\alpha_2 = (0, 1, c_2)^T,\quad
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\alpha_3 = (1, -1, c_3)^T,\quad
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\alpha_4 = (-1, 1, c_4)^T,
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$$
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其中 $c_1, c_2, c_3, c_4$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的是【 】
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(A) $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$;
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(B) $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$;
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(C) $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$;
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(D) $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$.
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4. 设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，则【 】
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(A) $\text{rank}[A \ AB] = \text{rank} A$;
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(B) $\text{rank}[A \ BA] = \text{rank} A$;
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(C) $\text{rank}[A \ B] = \max\{\text{rank} A, \text{rank} B\}$;
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(D) $\text{rank}[A \ B] = \text{rank}[A^T \ B^T]$.
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5. 设 $A$ 可逆，将 $A$ 的第一列加上第二列的 2 倍得到 $B$，则 $A^*$ 与 $B^*$ 满足【 】
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(A) 将 $A^*$ 的第一列加上第二列的 2 倍得到 $B^*$;
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(B) 将 $A^*$ 的第一行加上第二行的 2 倍得到 $B^*$;
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(C) 将 $A^*$ 的第二列加上第一列的 $(-2)$ 倍得到 $B^*$;
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(D) 将 $A^*$ 的第二行加上第一行的 $(-2)$ 倍得到 $B^*$.
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6. 已知方程组
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$$
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\text{(I)} \quad
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\begin{cases}
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x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0, \\
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2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0, \\
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x_1 + x_2 + ax_3 = 0,
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\end{cases}
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$$
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与
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$$
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\text{(II)} \quad
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\begin{cases}
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x_1 + bx_2 + cx_3 = 0, \\
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2x_1 + b^2x_2 + (c+1)x_3 = 0
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\end{cases}
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$$
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同解，则【 】
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(A) $a = 1, b = 0, c = 1$;
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(B) $a = 1, b = 1, c = 2$;
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(C) $a = 2, b = 0, c = 1$;
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(D) $a = 2, b = 1, c = 2$.
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## 二、填空题，共六道，每题3分，共18分
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7. 已知向量 $\alpha_1 = (1,0,-1,0)^T$，$\alpha_2 = (1,1,-1,-1)^T$，$\alpha_3 = (-1,0,1,1)^T$，则向量 $\alpha_1 + 2\alpha_2$ 与 $2\alpha_1 + \alpha_3$ 的内积
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$$
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\langle \alpha_1 + 2\alpha_2,\, 2\alpha_1 + \alpha_3 \rangle = \underline{\qquad\qquad}.
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$$
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8. 设2阶矩阵A=$\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix}$，n为正整数，则$A^n=\underline{\quad\quad}$。
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解析：
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步骤1：分析矩阵A的幂次规律
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先计算$A^2$：
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$$A^2 = \begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\times3 + (-1)\times(-9)&3\times(-1) + (-1)\times3\\-9\times3 + 3\times(-9)&-9\times(-1) + 3\times3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}18&-6\\-54&18\end{bmatrix} = 6\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} = 6A$$
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由此递推：
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- $$A^3 = A^2 \cdot A = 6A \cdot A = 6A^2 = 6\times6A = 6^2A$$
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- 归纳可得当$n \geq 1$时，$A^n = 6^{n-1}A$
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步骤2：写出最终表达式
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将A代入得：
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$$A^n = 6^{n-1}\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\times6^{n-1}&-6^{n-1}\\-9\times6^{n-1}&3\times6^{n-1}\end{bmatrix}$$
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答案：$$\boldsymbol{6^{n-1}\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix}}$$
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9. 若向量组
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$$
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\alpha_1 = (1,0,1)^T,\quad \alpha_2 = (0,1,1)^T,\quad \alpha_3 = (1,3,5)^T
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$$
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不能由向量组
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$$
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\beta_1 = (1,1,1)^T,\quad \beta_2 = (1,2,3)^T,\quad \beta_3 = (3,4,a)^T
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$$
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线性表示，则
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$$
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a = \underline{\qquad\qquad}.
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$$
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10. 设矩阵
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$$
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A = \begin{bmatrix}
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1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\
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1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\
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1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\
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1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3
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\end{bmatrix},\quad
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x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix},\quad
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b = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},
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$$
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其中常数 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 互不相等，则线性方程组 $Ax = b$ 的解为
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$$
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\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}.
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$$
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11. 若 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 的特征值为
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$$
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\lambda_i = (-1)^i \quad (i=1,2,\dots,n),
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$$
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则
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$$
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A^{100} = \underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}.
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$$
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12. 设 $n$ 阶矩阵 $A = [a_{ij}]_{n \times n}$，则二次型
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$f(x_1, x_2, \dots, x_n) = \sum_{i=1}^n (a_{i1}x_1 + a_{i2}x_2 + \cdots + a_{in}x_n)^2$
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的矩阵为
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$$
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\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}.
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$$
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13. （10 分）计算 下面两个$n$ 阶行列式
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$$
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D_n = \begin{vmatrix}
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1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\
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2 & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \\
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3 & 2 & 1 & \cdots & n-3 & n-2 \\
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\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
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n-1 & n-2 & n-3 & \cdots & 1 & 2 \\
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n & n-1 & n-2 & \cdots & 2 & 1
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\end{vmatrix}.
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$$
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$$
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\begin{vmatrix}
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1+x_1 & 1+x_1^2 & \cdots & 1+x_1^n \\
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1+x_2 & 1+x_2^2 & \cdots & 1+x_2^n \\
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\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
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1+x_n & 1+x_n^2 & \cdots & 1+x_n^n
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\end{vmatrix}
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$$
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14. （10 分）设
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$$
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\alpha_1 = (1,0,-1)^T,\quad \alpha_2 = (2,1,1)^T,\quad \alpha_3 = (1,1,1)^T
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$$
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和
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$$
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\beta_1 = (0,1,1)^T,\quad \beta_2 = (-1,1,0)^T,\quad \beta_3 = (0,2,1)^T
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$$
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是 $\mathbb{R}^3$ 的两组基，求向量
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$$
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u = \alpha_1 + 2\alpha_2 - 3\alpha_3
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$$
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在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标。
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15. （12 分）设 $n$ 阶方阵 $A, B$ 满足 $AB = A + B$。
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（1）证明 $A - E$ 可逆；
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（2）证明 $AB = BA$；
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（3）证明 $\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(B)$；
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（4）若矩阵
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$$
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B = \begin{bmatrix}
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1 & -3 & 0 \\
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2 & 1 & 0 \\
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0 & 0 & 2
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\end{bmatrix},
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$$
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求矩阵 $A$。
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16. 设矩阵$A=\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\1&t&0&1\end{bmatrix}$，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中含有两个解向量，求Ax=0的通解。
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解析：
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因为n=4，$n-\text{rank}A=2$，所以$\text{rank}A=2$。
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对A施行初等行变换，得
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$$A=\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\1&t&0&1\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\0&t-2&-1&-1\end{bmatrix}$$
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$$\to\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\0&0&-(1-t)^2&-(1-t)^2\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1&0&1-2t&2-2t\\0&1&t&t\\0&0&-(1-t)^2&-(1-t)^2\end{bmatrix}$$
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要使$\text{rank}A=2$，则必有t=1。
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此时，与Ax=0同解的方程组为$\begin{cases}x_1=x_3\\x_2=-x_3-x_4\end{cases}$，得基础解系为
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$$\boldsymbol{\xi}_1=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\\0\end{bmatrix},\ \boldsymbol{\xi}_2=\begin{bmatrix}0\\-1\\0\\1\end{bmatrix}$$
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方程组的通解为$$\boldsymbol{x}=k_1\boldsymbol{\xi}_1+k_2\boldsymbol{\xi}_2，（k_1,k_2为任意常数）$$
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