vault backup: 2026-01-13 15:32:55

研讨记录/2026.1.11.md

@@ -0,0 +1,20 @@
+研讨流程：
+1.逐渐分配任务，后续边推进工作边提意见
+2.后期对讲义进行优化
+3.确定主题，目的性寻找真题，思考解题策略，总结方法
+4.先有初步的规划，避免效率太低
+5.把相似的题目直接发群里
+
+讲义建议：
+1.提前发
+2.难题不要和例题混在一起，在讲义后专门列一个模块
+3.高数：第五章开始，知识点细化
+4.线代：模块化复习，部分二级结论的汇总与应用。
+5.编写目标：方法集，直接从集合中调用方法解题
+
+线代：
+1.两个线性方程组同解的必要不充分条件是两个方程组的增广矩阵秩相等，充要条件是增广矩阵对应最简行阶梯行矩阵相等
+2.两个矩阵等价，其对应齐次线性方程组不一定同解
+3.期中考T13：多个线性方程组解的相同<----->与r(An)相等与否<------>列向量组的线性组合
+4.线性方程组解的结构<---->维数
+5.正交矩阵<----->施密特正交化法

笔记分享/LaTeX（KaTeX）输入规范.md

@@ -3,4 +3,5 @@
 2. 自然常数或电荷量e、虚数单位i应当为**正体**，需要用mathrm记号包裹，例：$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}+1=0$；然而，当e,i作为变量时，应当用正常的斜体。例：$\sum\limits_{i=1}^{n}a_i$
 3. 微分算子d应当用正体，被微分的表达式用正常的斜体：$\mathrm{d}f(x)=f'(x)\mathrm{d}x$
 4. 极限和求和求积符号用\limits，如$\lim\limits_{x\to0}$和$\sum\limits_{n=0}^{\infty}$
-5. \$\$双美元符号之间不要打回车！除非你有\begin{...}\end{...}\$\$
+5. \$\$双美元符号之间不要打回车！除非你有\begin{...}\end{...}\$\$
+6. 矩阵和向量要加粗，用\boldsymbol{}，比如$\boldsymbol{A},\boldsymbol{x}$。

素材/1.11题目素材.md

@@ -0,0 +1,64 @@
+设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，则
+(A) $\mathrm{rank}\begin{bmatrix}A&AB\end{bmatrix}=\mathrm{rank}A$
+(B) $\mathrm{rank}\begin{bmatrix}A&BA\end{bmatrix}=\mathrm{rank}A$
+(C) $\mathrm{rank}\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}=\max{\{\mathrm{rank}A,\mathrm{rank}B\}}$
+(D) $\mathrm{rank}\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}A^T&B^T\end{bmatrix}$
+
+（[[1.10线代限时练]]）设 $A$ 是 $m\times n$ 实矩阵， $\beta \neq 0$ 是 $m$ 维实列向量，证明：
+	(1) $\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)$ .
+	(2) 线性方程组 $A^\mathrm{T}Ax = A^\mathrm{T}\beta$ 有解.
+
+设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵， $B$ 是 $n\times m$ 矩阵，$E$ 是 $m$ 阶单位矩阵，若 $AB=E$，则
+(A) $\mathrm{rank}A=m,\mathrm{rank}A=m$
+(B) $\mathrm{rank}A=m,\mathrm{rank}A=n$
+(C) $\mathrm{rank}A=n,\mathrm{rank}A=m$
+(D) $\mathrm{rank}A=n,\mathrm{rank}A=n$
+
+已知 $A,B,C,D$ 都是 $4$ 阶非零矩阵，且 $ABCD=O$，如果 $|BC|\ne 0$，记 $\mathrm{rank}A+\mathrm{rank}B+\mathrm{rank}C+\mathrm{rank}A=r$，则 $r$ 的最大值是
+(A) $11$
+(B) $12$
+(C) $13$
+(D) $14$
+
+已知 $A,B,C$ 都是 $n$ 阶非零矩阵，且 $ABC=O$，$E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，记 $\begin{bmatrix}O&A\\BC&E\end{bmatrix}\begin{bmatrix}AB&C\\O&E\end{bmatrix},\begin{bmatrix}E&AB\\AB&O\end{bmatrix}$ 的秩分别是 $r_1,r_2,r_3$，则
+(A) $r_1 \le r_2 \le r_3$
+(B) $r_1 \le r_3 \le r_2$
+(C) $r_3 \le r_1 \le r_2$
+(D) $r_2 \le r_1 \le r_3$
+
+设 $A,B$ 都是 $n$ 阶矩阵，求证：$\mathrm{rank}(AB-E) \le \mathrm{rank}(A-E)+\mathrm{rank}(B-E)$
+
+设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，$1<r<n$，记 $s=\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}E_r&O\\O&O\end{bmatrix}A)$，则
+(A) $s=r$
+(B) $s=\max{\{r,\mathrm{rank}A\}}$
+(C) $s\le\min{\{r,\mathrm{rank}A\}}$
+(D) $s=\mathrm{rank}A$
+
+设 $A=\begin{bmatrix}3&1&2\\2&a&1\\1&-1&2\end{bmatrix}, B\in\mathbb{R}^{3\times 2}$ 是一个列满秩矩阵.
+(1) 证明 $\mathrm{rank}(AB) \ge 1$ ;
+(2) 若 $\mathrm{rank}(AB)=1$，求参数 $a$ 的值，并给出一个使此式成立的矩阵 $B$ ;
+(3) 对于 (2) 给出的参数 $a$ 的值，举例说明存在这样的矩阵 $B$，使 $\mathrm{rank}(AB)=2$ .
+
+设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$A=A_1A_2A_3$，且 $A_i^2=A_i\ (i=1,2,3)$，证：$\mathrm{rank}(E-A)\le 3(n-\mathrm{rank}A)$ .
+
+已知 $A,B$ 均为 $m\times n$ 阶矩阵，$\beta_1,\beta_2$ 为 $m$ 维列向量，则下列选项中正确的有
+(A) 若 $\mathrm{rank}A=m$，则对于任意 $m$ 维列向量 $b$，$Ax=b$ 总有解.
+(B) 若 $A$ 与 $B$ 等价，则齐次方程组 $Ax=0$ 与 $Bx=0$ 同解.
+(C) 矩阵方程 $AX=B$ 有解，但 $BY=A$ 无界的充要条件是$\mathrm{rank}B<\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}$
+(D) 线性方程组 $Ax=\beta_1$ 与 $Ax=\beta_2$ 同时有解当且仅当$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}A&\beta_1&\beta_2\end{bmatrix}$
+
+（[[1231线性代数考试卷]]）已知方程组$\quad\begin{cases}x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0, \\2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0, \\x_1 + x_2 + ax_3 = 0,\end{cases}$与$\text{(II)} \quad\begin{cases}x_1 + bx_2 + cx_3 = 0, \\2x_1 + b^2x_2 + (c+1)x_3 = 0\end{cases}$同解，则
+   (A) $a = 1, b = 0, c = 1$;  
+   (B) $a = 1, b = 1, c = 2$;  
+   (C) $a = 2, b = 0, c = 1$;  
+   (D) $a = 2, b = 1, c = 2$.
+
+（[[1231线性代数考试卷]]）设矩阵$A = \begin{bmatrix}1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3\end{bmatrix},x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix},b = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},$其中常数 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 互不相等，则线性方程组 $Ax = b$ 的解为$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}.$
+
+（[[1231线性代数考试卷]]）设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，满足$\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B,$ 且方程 $XA = B$ 有解。若 $\operatorname{rank} A = k$，则$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\underline{\hspace{3cm}}.$
+
+（[[1231线性代数考试卷]]）设$A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 6\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a & a-1 \\ 2 & -3 & 2 & -2\end{bmatrix}$,向量$\alpha=\begin{bmatrix}0\\2\\3\end{bmatrix},\beta=\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$.
+     (1)证明：方程组 $Ax=\alpha$ 的解均为方程组 $Bx=\beta$ 的解；
+     (2)若方程组 $Ax=\alpha$ 与方程组 $Bx=\beta$ 不同解，求 $a$ 的值.
+     
+ （[[1231线性代数考试卷]]）设矩阵$A=\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\1&t&0&1\end{bmatrix}$，齐次线性方程组 $Ax=0$ 的基础解系中含有两个解向量，求 $Ax=0$ 的通解。

素材/微分中值定理.md

@@ -0,0 +1,218 @@
+
+### 例1
+设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $0 < a < b$，试证存在 $\xi, \eta \in (a, b)$，使得  
+$$
+f'(\xi) = \frac{a + b}{2\eta} f'(\eta).
+$$
+
+**解析**：
+本题结论中含有两个不同的中值 $\xi$ 和 $\eta$，且涉及两个不同的函数形式。可考虑分别对 $f(x)$ 和 $g(x)=x^2$ 在 $[a,b]$ 上应用柯西中值定理：
+由柯西中值定理，存在 $\eta \in (a,b)$，使得
+$$
+\frac{f(b)-f(a)}{b^2-a^2} = \frac{f'(\eta)}{2\eta}
+$$
+整理得
+$$
+\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \frac{a+b}{2\eta} f'(\eta)
+$$
+再对 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$，使得
+$$
+\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(\xi)
+$$
+比较两式即得结论。
+
+---
+
+### 例2
+设函数 $f(x)$ 在 $[0,3]$ 上连续，在 $(0,3)$ 内可导，且 $f(0) + f(1) + f(2) = 3$，$f(3) = 1$，试证必存在 $\xi \in (0, 3)$，使 $f'(\xi) = 0$。
+
+**解析**：
+由介值定理，$f(x)$ 在 $[0,2]$ 上的平均值为 $\frac{f(0)+f(1)+f(2)}{3} = 1$，又 $f(3)=1$，由连续函数介值定理，存在 $c \in [0,2]$，使得 $f(c)=1$，则在 $[c,3]$ 上，$f(c)=f(3)=1$，由罗尔定理存在 $\xi \in (c,3) \subset (0,3)$，使 $f'(\xi)=0$。
+
+---
+
+### 例3
+设 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0) = f(1) = 0$，$f(1/2) = 1$，试证：  
+1. 存在 $\eta \in (1/2, 1)$，使得 $f(\eta) = \eta$；  
+2. 对任意实数 $\lambda$，必存在 $\xi \in (0, \eta)$，使得 $f'(\xi) - \lambda [f(\xi) - \xi] = 1$。
+
+**解析**：
+(1) 令 $g(x)=f(x)-x$，则 $g(1/2)=1-1/2=1/2>0$，$g(1)=0-1=-1<0$，由零点定理，存在 $\eta \in (1/2,1)$，使 $g(\eta)=0$，即 $f(\eta)=\eta$。  
+(2) 令 $h(x)=e^{-\lambda x}[f(x)-x]$，则 $h(0)=0$，$h(\eta)=0$，由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,\eta)$，使 $h'(\xi)=0$，即
+$$
+e^{-\lambda \xi}[f'(\xi)-1] - \lambda e^{-\lambda \xi}[f(\xi)-\xi] = 0
+$$
+整理得 $f'(\xi) - \lambda [f(\xi) - \xi] = 1$。
+
+---
+
+## 5.2 微分中值定理及其应用
+
+### 例1
+设函数 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 内可微，且  
+$$
+f(0) = 0, \quad |f'(x)| \leq 1,
+$$
+证明：在 $(-1,1)$ 内，$|f(x)| < 1$。
+
+**解析**：
+对任意 $x \in (-1,1)$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi$ 介于 $0$ 与 $x$ 之间，使得
+$$
+f(x) - f(0) = f'(\xi)(x-0)
+$$
+即 $f(x) = f'(\xi) x$。由于 $|f'(\xi)| \leq 1$，$|x| < 1$，故 $|f(x)| = |f'(\xi)| \cdot |x| < 1$。
+
+---
+
+### 例2
+设 $a_i \in \mathbb{R} (i = 0,1,2,\cdots,n)$，且满足
+$$
+a_0 + \frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{3} + \cdots + \frac{a_n}{n+1} = 0，
+$$
+证明：方程 $a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n = 0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个实根。
+
+**解析**：
+构造辅助函数
+$$
+F(x) = a_0x + \frac{a_1}{2}x^2 + \frac{a_2}{3}x^3 + \cdots + \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}
+$$
+则 $F(0)=0$，且由条件 $F(1)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使 $F'(\xi)=0$，即
+$$
+a_0 + a_1\xi + a_2\xi^2 + \cdots + a_n\xi^n = 0
+$$
+
+---
+
+### 例3
+设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且
+$$
+f(a) = f(b) = 0，\quad f'_+(a)f'_-(b) > 0，
+$$
+试证明 $f'(x) = 0$ 在 $(a,b)$ 内至少有两个根。
+
+**解析**：
+由导数极限定理及 $f'_+(a)f'_-(b) > 0$，知在 $a$ 右侧和 $b$ 左侧，$f(x)$ 的符号相同，不妨设 $f'_+(a)>0$，$f'_-(b)>0$。则在 $a$ 右侧附近 $f(x)>0$，在 $b$ 左侧附近 $f(x)>0$。由于 $f(a)=f(b)=0$，由极值点的费马定理，$f(x)$ 在 $(a,b)$ 内至少有一个极大值点，该点处导数为零。又因为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $f(a)=f(b)$，由罗尔定理至少存在一点 $c \in (a,b)$ 使 $f'(c)=0$。结合极大值点处的导数零点，可知至少有两个导数为零的点。
+
+---
+
+### 例4
+设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内二阶可导，又若 $f(x)$ 的图形与联结 $A(a, f(a))$，$B(b, f(b))$ 两点的弦交于点 $C(c, f(c))$ ($a \leq c \leq b$)，证明在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f''(\xi) = 0$。
+
+**解析**：
+弦 $AB$ 的方程为
+$$
+y = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)
+$$
+由条件，$f(c) = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(c-a)$。分别对 $f(x)$ 在 $[a,c]$ 和 $[c,b]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi_1 \in (a,c)$，$\xi_2 \in (c,b)$，使得
+$$
+f'(\xi_1) = \frac{f(c)-f(a)}{c-a} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
+$$
+$$
+f'(\xi_2) = \frac{f(b)-f(c)}{b-c} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
+$$
+故 $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)$。再对 $f'(x)$ 在 $[\xi_1,\xi_2]$ 上应用罗尔定理，存在 $\xi \in (\xi_1,\xi_2) \subset (a,b)$，使 $f''(\xi)=0$。
+
+---
+
+### 例5（柯西中值定理例）
+试证至少存在一点 $\xi \in (1, e)$，使 $\sin 1 = \cos \ln \xi$。
+
+**解析**：
+考虑函数 $f(x)=\sin(\ln x)$，$g(x)=\ln x$，在 $[1,e]$ 上应用柯西中值定理：
+存在 $\xi \in (1,e)$，使得
+$$
+\frac{f(e)-f(1)}{g(e)-g(1)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}
+$$
+计算得 $f(e)=\sin 1$，$f(1)=0$，$g(e)=1$，$g(1)=0$，$f'(x)=\frac{\cos(\ln x)}{x}$，$g'(x)=\frac{1}{x}$，代入得
+$$
+\frac{\sin 1 - 0}{1-0} = \frac{\cos(\ln \xi)/\xi}{1/\xi} = \cos(\ln \xi)
+$$
+即 $\sin 1 = \cos(\ln \xi)$。
+
+---
+
+## 练习
+
+### Ex3
+设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导，且 $f'(x) \neq 1$。试证明 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内至多只有一个不动点，即方程 $f(x) = x$ 在 $(a, b)$ 内至多只有一个实根。
+
+**解析**：
+反证法。假设存在两个不动点 $x_1 < x_2$，即 $f(x_1)=x_1$，$f(x_2)=x_2$。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (x_1,x_2)$，使得
+$$
+f'(\xi) = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = \frac{x_2-x_1}{x_2-x_1} = 1
+$$
+与 $f'(x) \neq 1$ 矛盾。故至多只有一个不动点。
+
+---
+
+### Ex4
+设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上具有二阶导数，且满足
+$$
+f(0) = 0, \, f(1) = 1, \, f\left(\frac{1}{2}\right) > \frac{1}{4}
+$$
+证明：  
+1. 至少存在一点 $\xi \in (0, 1)$，使得 $f''(\xi) < 2$；  
+2. 若对一切 $x \in (0, 1)$，有 $f''(x) \neq 2$，则当 $x \in (0, 1)$ 时，恒有 $f(x) > x^2$。
+
+**解析**：
+(1) 考虑函数 $g(x)=f(x)-x^2$，则 $g(0)=0$，$g(1)=0$，$g(1/2)=f(1/2)-1/4>0$。由极值点的费马定理，$g(x)$ 在 $(0,1)$ 内存在极大值点 $\eta$，且 $g'(\eta)=0$，$g''(\eta) \leq 0$。即 $f'(\eta)=2\eta$，$f''(\eta) \leq 2$。若 $f''(\eta) < 2$，则取 $\xi=\eta$ 即可；若 $f''(\eta)=2$，则考虑在 $\eta$ 两侧应用拉格朗日中值定理，可找到另一个点 $\xi$ 使得 $f''(\xi)<2$。  
+(2) 用反证法。假设存在 $x_0 \in (0,1)$ 使 $f(x_0) \leq x_0^2$，结合 $f(0)=0$，$f(1)=1$ 和 $f(1/2)>1/4$，利用连续性及中值定理可推出存在 $\xi$ 使 $f''(\xi)=2$，矛盾。
+
+---
+
+### Ex5
+若 $f(x)$ 可导，试证在其两个零点间一定有 $f(x) + f'(x)$ 的零点。
+
+**解析**：
+设 $a<b$ 为 $f(x)$ 的两个零点，即 $f(a)=f(b)=0$。构造辅助函数 $F(x)=e^x f(x)$，则 $F(a)=F(b)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi \in (a,b)$，使 $F'(\xi)=0$，即
+$$
+e^\xi f(\xi) + e^\xi f'(\xi) = 0
+$$
+因 $e^\xi \neq 0$，故 $f(\xi)+f'(\xi)=0$。
+
+---
+
+### Ex6
+设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，$(0,1)$ 可导，且 $f(1) = 0$，求证存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $nf(\xi) + \xi f'(\xi) = 0$。
+
+**解析**：
+设辅助函数 $\varphi(x) = x^n f(x)$，则 $\varphi(0)=0$，$\varphi(1)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $\varphi'(\xi)=0$，即
+$$
+n\xi^{n-1} f(\xi) + \xi^n f'(\xi) = 0
+$$
+两边除以 $\xi^{n-1}$ ($\xi>0$)，得 $nf(\xi) + \xi f'(\xi) = 0$。
+
+---
+
+### Ex7
+设 $f''(x) < 0$，$f(0) = 0$，证明对任意 $x_1 > 0, x_2 > 0$ 有
+$$
+f(x_1 + x_2) < f(x_1) + f(x_2)
+$$
+
+**解析**：
+不妨设 $0 < x_1 < x_2$。由拉格朗日中值定理：
+$$
+f(x_1+x_2)-f(x_2) = f'(\xi_1)x_1, \quad \xi_1 \in (x_2, x_1+x_2)
+$$
+$$
+f(x_1)-f(0) = f'(\xi_2)x_1, \quad \xi_2 \in (0, x_1)
+$$
+于是
+$$
+f(x_1+x_2)-f(x_2)-f(x_1) = [f'(\xi_1)-f'(\xi_2)]x_1
+$$
+对 $f'(x)$ 在 $[\xi_2,\xi_1]$ 上应用中值定理，存在 $\xi \in (\xi_2,\xi_1)$，使
+$$
+f'(\xi_1)-f'(\xi_2) = f''(\xi)(\xi_1-\xi_2) < 0
+$$
+故 $f(x_1+x_2)-f(x_2)-f(x_1) < 0$，即 $f(x_1+x_2) < f(x_1)+f(x_2)$。
+
+---
+
+## 解题方法总结
+1. **含一个中值的等式或根的存在**：多用罗尔定理，可用原函数法找辅助函数。
+2. **结论涉及含中值的两个不同函数**：可考虑用柯西中值定理。
+3. **结论中含两个或两个以上的中值**：必须多次应用中值定理。
+4. **已知条件中含高阶导数**：多考虑用泰勒公式，有时也可考虑对导数用中值定理。
+5. **结论为不等式**：要注意适当放大或缩小的技巧。

素材/特征值与相似.md

@@ -0,0 +1 @@
+$设 E 为 3 阶单位矩阵，\alpha 为一个 3 维单位列向量，则矩阵 E-\alpha\alpha^T 的全部 3 个特征值为\underline{\qquad}。$

素材/用秩的不等式“夹逼”出确切值.md

@@ -0,0 +1,9 @@
+
+>[!information] 做题思路
+>通过矩阵的秩的不等式，最大限度限制所求的表达式的取值范围，或者将其**限制到一个具体的值**.
+>在希望求一个矩阵的秩的确切值时，也可以考虑用不等式关系来“夹逼”，常见的不等式：
+>1. $\mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}-n\le\mathrm{rank}(\boldsymbol{AB})\le\min{\{\mathrm{rank}\boldsymbol{A}, \mathrm{rank}\boldsymbol{B}\}}$
+>2. $\mathrm{rank}(\boldsymbol{A+B})<\mathrm{rank}\boldsymbol A+\mathrm{rank}\boldsymbol B$
+>3. 矩阵加边不会减小秩；
+>
+>特别的，在遇到诸如 $AB=O$ 的情况，务必要想到$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}-n\le\mathrm{rank}(\boldsymbol{AB}) \Rightarrow \mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}\le n$

素材/秩的不等式.md

@@ -0,0 +1,63 @@
+# 一般式
+
+## 1. 和的秩不超过秩的和
+
+设 $A, B$ 为同型矩阵，则  
+$$ \operatorname{rank}(A+B) \leq \operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B $$
+
+## 2. 积的秩不超过任何因子的秩
+
+设 $A_{m \times n}, B_{n \times k}$，则  
+$$ \operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank} A, \operatorname{rank} B\} $$
+
+## 3. 重要不等式
+
+设 $A_{m \times n}, B_{n \times k}$，则  
+$$ \operatorname{rank}(AB) \geq \operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B - n $$ 
+特别地，当 $AB = 0$ 时，有 $\operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B \leq n$。 
+
+# 分块式
+
+设 $A_{n \times n}$， $B_{n \times n}$，则
+
+$$(1)\ \mathrm{rank}  
+
+\begin{bmatrix}
+A \\
+B
+\end{bmatrix} \geq \text{rank } A, \quad \text{rank } 
+\begin{bmatrix}
+A \\
+B
+\end{bmatrix} \geq \text{rank } B
+$$
+
+$$(2)\ \mathrm{rank}  
+\begin{bmatrix}
+A & 0 \\
+0 & B
+\end{bmatrix} = \text{rank } A + \text{rank } B
+$$
+
+$$(3)\ \mathrm{rank}  
+\begin{bmatrix}
+A & E_n \\
+0 & B
+\end{bmatrix} \geq \text{rank } A + \text{rank } B
+$$
+
+$$(4)\ \mathrm{rank}  
+\begin{bmatrix}
+A & 0 \\
+0 & B
+\end{bmatrix} = \text{rank } 
+\begin{bmatrix}
+A & B \\
+0 & B
+\end{bmatrix} = \text{rank } 
+\begin{bmatrix}
+A + B & B \\
+B & B
+\end{bmatrix} \geq \text{rank } (A + B)
+$$
+

素材/线性方程组同解.md

@@ -0,0 +1,30 @@
+## **$Ax=0$与$Bx=0$同解问题**：
+充要条件：$rankA=rankB=rank\begin{bmatrix} A \\ B\end{bmatrix}$.
+$Ax=\alpha$ 与$Bx=\beta$同解问题：
+充要条件：$rank\begin{bmatrix} A & \alpha\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} B &\beta\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} A &\alpha\\ B&\beta\end{bmatrix}$.
+
+如何理解（非严格证明，目的是便于理解）：
+首先，为了简化问题，我们只考虑齐次线性方程组同解问题，对于$Ax=0$与$Bx=0$，
+考虑这两个齐次线性方程组的解空间，分别记为$N(A)$,$N(B)$,这两个集合是完全相同的，
+可以得到$N(A)\subset N(B)$,以及$N(B)\subset N(A)$.
+$N(A)\subset N(B)$可以得到什么呢？
+
+
+说明$Ax=0$的解比较少，$Bx=0$的解比较多，一个方程组解多就说明他的方程限制相对宽松，解少则说明方程要求比较严格。换言之，$Bx=0$的每个方程是由$Ax=0$的方程线性表示的,同理$N(B)\subset N(A)$ 可以得到 $Ax=0$ 的每个方程是由 $Bx=0$ 的方程线性表示的，进而说明这两个系数矩阵的行向量能够互相线性表示，即行向量组等价.用秩的语言表示：$rankA=rankB=rank\begin{bmatrix} A \\ B\end{bmatrix}$.
+
+另一个角度：这两个矩阵化成最简行阶梯型，是相同的，进行化简的时候只用到行变换，故它们的行向量组等价.
+
+需要注意的是,这个条件是充要的.非常的好用.
+非齐次的时候同理.
+
+注意：由此，我们还能得到一些别的结论
+例如：$A$ 和 $B$ 等价（可以通过初等变换得到），并不能得到两方程同解，因为等价的初等变换可能包括初等列变换，而列变换可能改变两方程的解
+
+>[!example] 例1
+>6. 已知方程组$\quad\begin{cases}x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0, \\2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0, \\x_1 + x_2 + ax_3 = 0,\end{cases}$   与$\quad\begin{cases}x_1 + bx_2 + cx_3 = 0, \\2x_1 + b^2x_2 + (c+1)x_3 = 0\end{cases}$同解，则
+   (A) $a = 1, b = 0, c = 1$;  
+   (B) $a = 1, b = 1, c = 2$;  
+   (C) $a = 2, b = 0, c = 1$;  
+   (D) $a = 2, b = 1, c = 2$.
+
+解析：类似于方程 $AX = B$ 有解的充要条件是$\text{rank} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} = \text{rank}A$，由方程 $XA = B$ 有解可知 $\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B=\text{rank}A=k$，由初等变换不改变秩得$$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ O & E \end{bmatrix}=n+k$$

素材/线性方程组的系数矩阵与解关系.md

@@ -0,0 +1,119 @@
+这是一个链接了方程组解空间与方程组系数秩的公式
+>[!note] 解零度化定理：
+>对于齐次方程组 $\boldsymbol{A}_{m \times n}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$，设$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=r$，则
+> $$\dim N(\boldsymbol{A})=n-r$$
+
+
+已知三阶方阵 $A=\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\end{bmatrix}$ 有三个不同的特征值，其中$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，若 $\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$ ，求线性方程组 $Ax=\beta$ 的通解.
+ $\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$
+>分析：在求解非齐次方程组通解的题目中，若是题目给出了特解与齐次方程组的解，那么大概率来说这个齐次方程组的解就可以拓展为齐次方程组通解（根据问题导向，不然写不出来了），那么如何由齐次方程组的解拓展为齐次方程组通解呢，那就要根据题目具体的条件进行分析了，这就要用到我们的解零度化定理来求齐次方程组解空间的维数
+>解析：由 $\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$ 可得 $A$ 的列向量组线性相关， $|A|=0$；又因为 $A$ 的三个特征值各不相同，故 $A$ 有两个不为零的特征值 $\lambda_1,\lambda_2$，且 $A$ 可相似对角化，即 $A=P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P$，$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P)=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}=2$
+>故 $Ax=0$ 的解空间维数是 $1$ （5分）
+>$\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$，所以 $(1,3,4)^\mathrm{T}$ 为特解；（5分）
+>$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，所以$A\begin{bmatrix}2k\\k\\-k\end{bmatrix}=2\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3=0$，所以 $(2,1,-1)^\mathrm{T}$ 为基础解系；（10分）
+>解空间维数是 $1$ ，方程的解 $\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$ 维数是 $1$，该解完备
+
+
+ 设 
+$$
+A = \begin{bmatrix} 
+1 & -1 & 0 & -1 \\ 
+1 & 1 & 0 & 3 \\ 
+2 & 1 & 2 & 6 
+\end{bmatrix}, \quad 
+B = \begin{bmatrix} 
+1 & 0 & 1 & 2 \\ 
+1 & -1 & a & a-1 \\ 
+2 & -3 & 2 & -2 
+\end{bmatrix}, 
+\quad 
+\alpha = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad 
+\beta = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}
+$$
+
+(1) 证明：方程组 $Ax = \alpha$ 的解均为方程组 $Bx = \beta$ 的解；
+
+(2) 若方程组 $Ax = \alpha$ 与方程组 $Bx = \beta$ 不同解，求 $a$ 的值。
+4. (10分) 设 
+$$
+A = \begin{bmatrix} 
+1 & -1 & 0 & -1 \\ 
+1 & 1 & 0 & 3 \\ 
+2 & 1 & 2 & 6 
+\end{bmatrix}, \quad 
+B = \begin{bmatrix} 
+1 & 0 & 1 & 2 \\ 
+1 & -1 & a & a-1 \\ 
+2 & -3 & 2 & -2 
+\end{bmatrix},
+$$
+向量 
+$$
+\alpha = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad 
+\beta = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}.
+$$
+
+(1) 证明：方程组 $Ax = \alpha$ 的解均为方程组 $Bx = \beta$ 的解；
+
+(2) 若方程组 $Ax = \alpha$ 与方程组 $Bx = \beta$ 不同解，求 $a$ 的值。
+
+---
+
+**解：**
+
+(1) 由于
+$$
+\left( \begin{array}{c}
+A \quad \alpha \\
+B \quad \beta 
+\end{array} \right) =
+\left( \begin{array}{ccccc}
+1 & -1 & 0 & -1 & 0 \\
+1 & 1 & 0 & 3 & 2 \\
+2 & 1 & 2 & 6 & 3 \\
+1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\
+1 & -1 & a & a-1 & 0 \\
+2 & -3 & 2 & -2 & -1 
+\end{array} \right)
+$$
+$$
+\rightarrow
+\left( \begin{array}{ccccc}
+1 & -1 & 0 & -1 & 0 \\
+0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\
+0 & 0 & 2 & 2 & 0 \\
+0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
+0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
+0 & 0 & 0 & 0 & 0 
+\end{array} \right),
+$$
+故 
+$$
+R \left( \begin{array}{c}
+A \quad \alpha \\
+B \quad \beta 
+\end{array} \right) = R(A, \alpha),
+$$
+从而方程组 
+$$
+\begin{cases}
+Ax = \alpha, \\
+Bx = \beta
+\end{cases}
+$$
+与 $Ax = \alpha$ 同解，故 $Ax = \alpha$ 的解均为 $Bx = \beta$ 的解。
+
+(2) 分析：不同解，却要可以求出a的具体值，说明这是一个与秩相关的题，而与解相关的秩的问题我们就可以考虑解零度化定理
+由于 $Ax = \alpha$ 的解均为 $Bx = \beta$ 的解，若 $Ax = \alpha$ 与 $Bx = \beta$ 同解，则与题意矛盾，故 $Ax = \alpha$ 的解是 $Bx = \beta$ 解的真子集。于是 $Ax = 0$ 的基础解系中解向量的个数小于 $Bx = 0$ 的基础解系中解向量的个数，即
+$$
+4 - R(A) < 4 - R(B),
+$$
+故 $R(A) > R(B)$。又因 $R(A) = 3$，故 $R(B) < 3$，则
+$$
+\left| \begin{array}{ccc}
+1 & 0 & 1 \\
+1 & -1 & a \\
+2 & -3 & 2 
+\end{array} \right| = 0,
+$$
+解得 $a = 1$。

素材/解的问题.md

@@ -0,0 +1,88 @@
+### 原理
+**线性方程组解的判定**
+对非齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=b$,
+1. 无解的充要条件是 $\text{rank}A < \text{rank}[A\ \ b]$；
+2. 有唯一解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b] = n$；
+3. 有无穷多解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b] < n$。
+注:上述定理也说明非齐次线性方程组有解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b]$。
+
+把以上结论应用到齐次线性方程组，可得
+推论 齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=0$ 有非零解（无穷多解）的充要条件是 $\text{rank}A < n$，即系数矩阵的秩小于未知数个数。
+
+**矩阵方程解的判定**
+本质上和线性方程组是一脉相承的，只是形式上更一般化。
+最常见的矩阵方程是 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{B}$，其中$\boldsymbol{A}$是 $m\times n$ 矩阵，$\boldsymbol{B}$ 是 $m\times p$ 矩阵，$\boldsymbol{X}$ 是待求的$n\times p$矩阵。
+1. 有解的充要条件：
+矩阵方程有解的充要条件是系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩等于增广矩阵 $[\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]$的秩，即：
+$$r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}])$$
+这个结论和非齐次线性方程组有解的条件完全一致。
+2. 解的结构：
+- 唯一解：当$r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]) = n$ 时，方程有唯一解。
+- 无穷多解：当 $r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]) < n$ 时，方程有无穷多解。
+ 
+可逆矩阵
+- 当 $\boldsymbol{A}$ 是 n 阶可逆矩阵时，矩阵方程 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{B}$有唯一解:$\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}$
+
+其他形式的矩阵方程
+- 对于 $\boldsymbol{XA} = \boldsymbol{B}$ 形式的方程，可以转置为 $\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{X}^T = \boldsymbol{B}^T$，再套用上述方法，或类似于方程 $AX = B$ 有解的充要条件是$\text{rank} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} = \text{rank}A$，由方程 $XA = B$ 有解可知 $\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} =\text{rank}A$
+- 对于 $\boldsymbol{AXB} = \boldsymbol{C}$ 形式的方程，当 $\boldsymbol{A} 和 \boldsymbol{B}$ 都可逆时，有唯一解 $\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{C}\boldsymbol{B}^{-1}$。
+
+>[!example] **例1**
+>设矩阵
+>$$A = \begin{bmatrix}
+1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\
+1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\
+1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\
+1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3
+\end{bmatrix},
+\quad
+x = \begin{bmatrix}
+x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4
+\end{bmatrix},
+\quad
+b = \begin{bmatrix}
+1 \\ 1 \\ 1 \\ 1
+\end{bmatrix}$$
+其中常数 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 互不相等，则线性方程组 $Ax = b$ 的解为 ______________。
+
+**答**：$(1,0,0,0)^T$。
+
+**解析**：由范德蒙行列式的性质可知 $|A| \neq 0$，从而线性方程组 $Ax = b$ 有唯一解。
+
+又由
+$$
+\begin{bmatrix}
+1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\
+1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\
+1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\
+1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+1 \\
+0 \\
+0 \\
+0
+\end{bmatrix}
+=
+\begin{bmatrix}
+1 \\
+1 \\
+1 \\
+1
+\end{bmatrix}
+$$
+ 可知 $Ax = b$ 的解为
+$$
+\begin{bmatrix}
+1 \\
+0 \\
+0 \\
+0
+\end{bmatrix}
+$$
+
+>[!example] **例2**
+> 设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，满足$\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B,$ 且方程 $XA = B$ 有解。若 $\operatorname{rank} A = k$，则$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\underline{\hspace{3cm}}.$
+
+**解析**：
+类似于方程 $AX = B$ 有解的充要条件是$\text{rank} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} = \text{rank}A$，由方程 $XA = B$ 有解可知 $\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B=\text{rank}A=k$，由初等变换不改变秩得$$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ O & E \end{bmatrix}=n+k$$

编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md

@@ -202,7 +202,7 @@ $$\lim\limits_{n \to \infty}S_{2n+1}=\lim\limits_{n \to \infty}(S_{2n}+a_{2n+1})
 **解析**
     核心方法
     利用数列子列的性质：若数列$\{a_n\}$收敛，则其所有子列必收敛于同一极限；若存在两个子列收敛于不同值，则原数列极限不存在。
-    步骤1：构造第一个子列$\{a_{4k}\}（k\in\mathbb{N_+}$
+    步骤1：构造第一个子列$\{a_{4k}\}（k\in\mathbb{N_+}）$
     当n=4k时，
     $$\sin\frac{4k\pi}{2} = \sin2k\pi = 0$$        因此
     $$a_{4k} = \left(1 + \frac{1}{4k}\right) \cdot 0 = 0$$

编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md

@@ -0,0 +1,7 @@
+---
+tags:
+  - 编写小组
+---
+**内部资料，禁止传播**
+**编委会（不分先后，姓氏首字母顺序）：陈峰华   陈玉阶   程奕铭   韩魏   刘柯妤   卢吉辚   王嘉兴   王轲楠   彭靖翔   郑哲航   钟宇哲   支宝宁
+

编写小组/讲义/线性方程组的解与秩的不等式（解析版）.md

@@ -0,0 +1,325 @@
+---
+tags:
+  - 编写小组
+---
+**内部资料，禁止传播**
+**编委会（不分先后，姓氏首字母顺序）：陈峰华   陈玉阶   程奕铭   韩魏   刘柯妤   卢吉辚   王嘉兴   王轲楠   彭靖翔   郑哲航   钟宇哲   支宝宁
+
+# 单方程组解的问题
+
+### 线性方程组解的判定
+
+对非齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=b$,
+1. 无解的充要条件是 $\text{rank}A < \text{rank}[A\ \ b]$；
+2. 有唯一解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b] = n$；
+3. 有无穷多解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b] < n$。
+注:上述定理也说明非齐次线性方程组有解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b]$。
+
+把以上结论应用到齐次线性方程组，可得
+推论 齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=0$ 有非零解（无穷多解）的充要条件是 $\text{rank}A < n$，即系数矩阵的秩小于未知数个数。
+
+### 矩阵方程解的判定
+
+本质上和线性方程组是一脉相承的，只是形式上更一般化。
+最常见的矩阵方程是 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{B}$，其中$\boldsymbol{A}$是 $m\times n$ 矩阵，$\boldsymbol{B}$ 是 $m\times p$ 矩阵，$\boldsymbol{X}$ 是待求的$n\times p$矩阵。
+1. 有解的充要条件：
+矩阵方程有解的充要条件是系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩等于增广矩阵 $[\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]$的秩，即：
+$$r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}])$$
+这个结论和非齐次线性方程组有解的条件完全一致。
+
+理解上可以将 $B$ 拆分成一列列 $b$ ，从而化归为上面的线性方程组问题
+
+2. 解的结构：
+- 唯一解：当$r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]) = n$ 时，方程有唯一解。
+- 无穷多解：当 $r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]) < n$ 时，方程有无穷多解。
+ 
+可逆矩阵
+- 当 $\boldsymbol{A}$ 是 n 阶可逆矩阵时，矩阵方程 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{B}$有唯一解:$\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}$
+
+其他形式的矩阵方程
+- 对于 $\boldsymbol{XA} = \boldsymbol{B}$ 形式的方程，可以转置为 $\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{X}^T = \boldsymbol{B}^T$，再套用上述方法，或类似于方程 $AX = B$ 有解的充要条件是$\text{rank} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} = \text{rank}A$，由方程 $XA = B$ 有解可知 $\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} =\text{rank}A$
+- 对于 $\boldsymbol{AXB} = \boldsymbol{C}$ 形式的方程，当 $\boldsymbol{A} 和 \boldsymbol{B}$ 都可逆时，有唯一解 $\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{C}\boldsymbol{B}^{-1}$。
+
+>[!example] **例1**
+>设矩阵
+>$$A = \begin{bmatrix}
+1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\
+1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\
+1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\
+1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3
+\end{bmatrix},
+\quad
+x = \begin{bmatrix}
+x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4
+\end{bmatrix},
+\quad
+b = \begin{bmatrix}
+1 \\ 1 \\ 1 \\ 1
+\end{bmatrix}$$
+其中常数 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 互不相等，则线性方程组 $Ax = b$ 的解为 ______________。
+
+**答**：$(1,0,0,0)^T$。
+
+**解析**：由范德蒙行列式的性质可知 $|A| \neq 0$，从而线性方程组 $Ax = b$ 有唯一解。
+
+又由
+$$
+\begin{bmatrix}
+1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\
+1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\
+1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\
+1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+1 \\
+0 \\
+0 \\
+0
+\end{bmatrix}
+=
+\begin{bmatrix}
+1 \\
+1 \\
+1 \\
+1
+\end{bmatrix}
+$$
+ 可知 $Ax = b$ 的解为
+$$
+\begin{bmatrix}
+1 \\
+0 \\
+0 \\
+0
+\end{bmatrix}
+$$
+
+>[!example] **例2**
+> 设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，满足$\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B,$ 且方程 $XA = B$ 有解。若 $\operatorname{rank} A = k$，则$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\underline{\hspace{3cm}}.$
+
+**解析**：
+类似于方程 $AX = B$ 有解的充要条件是$\text{rank} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} = \text{rank}A$，由方程 $XA = B$ 有解可知 $\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B=\text{rank}A=k$，由初等变换不改变秩得$$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ O & E \end{bmatrix}=n+k$$
+# 多方程组的问题（线性方程组同解）
+
+## **$Ax=0$与$Bx=0$同解问题**：
+
+充要条件：$rankA=rankB=rank\begin{bmatrix} A \\ B\end{bmatrix}$.
+$Ax=\alpha$ 与$Bx=\beta$同解问题：
+充要条件：$rank\begin{bmatrix} A & \alpha\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} B &\beta\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} A &\alpha\\ B&\beta\end{bmatrix}$.
+
+如何理解（非严格证明，目的是便于理解）：
+首先，为了简化问题，我们只考虑齐次线性方程组同解问题，对于$Ax=0$与$Bx=0$，
+考虑这两个齐次线性方程组的解空间，分别记为$N(A)$,$N(B)$,这两个集合是完全相同的，
+可以得到$N(A)\subset N(B)$,以及$N(B)\subset N(A)$.
+$N(A)\subset N(B)$可以得到什么呢？
+
+说明$Ax=0$的解比较少，$Bx=0$的解比较多，一个方程组解多就说明他的方程限制相对宽松，解少则说明方程要求比较严格。换言之，$Bx=0$的每个方程是由$Ax=0$的方程线性表示的,同理$N(B)\subset N(A)$ 可以得到 $Ax=0$ 的每个方程是由 $Bx=0$ 的方程线性表示的，进而说明这两个系数矩阵的行向量能够互相线性表示，即行向量组等价.用秩的语言表示：$rankA=rankB=rank\begin{bmatrix} A \\ B\end{bmatrix}$.
+
+另一个角度：这两个矩阵化成最简行阶梯型，是相同的，进行化简的时候只用到行变换，故它们的行向量组等价.
+
+需要注意的是,这个条件是充要的.非常的好用.
+非齐次的时候同理.
+
+注意：由此，我们还能得到一些别的结论
+例如：$A$ 和 $B$ 等价（可以通过初等变换得到），并不能得到两方程同解，因为等价的初等变换可能包括初等列变换，而列变换可能改变两方程的解
+
+>[!example] 例1
+>6. 已知方程组$\quad\begin{cases}x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0, \\2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0, \\x_1 + x_2 + ax_3 = 0,\end{cases}$   与$\quad\begin{cases}x_1 + bx_2 + cx_3 = 0, \\2x_1 + b^2x_2 + (c+1)x_3 = 0\end{cases}$同解，则
+   (A) $a = 1, b = 0, c = 1$;  
+   (B) $a = 1, b = 1, c = 2$;  
+   (C) $a = 2, b = 0, c = 1$;  
+   (D) $a = 2, b = 1, c = 2$.
+
+解析：类似于方程 $AX = B$ 有解的充要条件是$\text{rank} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} = \text{rank}A$，由方程 $XA = B$ 有解可知 $\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B=\text{rank}A=k$，由初等变换不改变秩得$$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ O & E \end{bmatrix}=n+k$$
+# 线性方程组的系数矩阵与解关系
+
+在研究线性方程组的解的性质（例如维数）时，我们通常要与其系数矩阵本身的性质产生联系：
+
+>[!note] 定理1：
+>对于齐次方程组 $\boldsymbol{A}_{m \times n}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$，设$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=r$，则
+> $$\dim N(\boldsymbol{A})=n-r$$
+
+> [!example] 例1 
+> 已知三阶方阵 $A=\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\end{bmatrix}$ 有三个不同的特征值，其中$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，若 $\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$ ，求线性方程组 $Ax=\beta$ 的通解.
+ $\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$
+ 
+>解析：由 $\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$ 可得 $A$ 的列向量组线性相关， $|A|=0$；又因为 $A$ 的三个特征值各不相同，故 $A$ 有两个不为零的特征值 $\lambda_1,\lambda_2$，且 $A$ 可相似对角化，即 $A=P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P$，$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P)=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}=2$
+>故 $Ax=0$ 的解空间维数是 $1$ （5分）
+>$\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$，所以 $(1,3,4)^\mathrm{T}$ 为特解；（5分）
+>$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，所以$A\begin{bmatrix}2k\\k\\-k\end{bmatrix}=2\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3=0$，所以 $(2,1,-1)^\mathrm{T}$ 为基础解系；（10分）
+>解空间维数是 $1$ ，方程的解 $\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$ 维数是 $1$，该解完备
+
+> [!example] 例2
+> 设 $$
+A = \begin{bmatrix} 
+1 & -1 & 0 & -1 \\ 
+1 & 1 & 0 & 3 \\ 
+2 & 1 & 2 & 6 
+\end{bmatrix}, \quad 
+B = \begin{bmatrix} 
+1 & 0 & 1 & 2 \\ 
+1 & -1 & a & a-1 \\ 
+2 & -3 & 2 & -2 
+\end{bmatrix},$$
+向量 $$
+\alpha = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad 
+\beta = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}.$$
+(1) 证明：方程组 $Ax = \alpha$ 的解均为方程组 $Bx = \beta$ 的解；
+(2) 若方程组 $Ax = \alpha$ 与方程组 $Bx = \beta$ 不同解，求 $a$ 的值。
+
+---
+
+**解：**
+
+(1) 由于
+$$
+\left( \begin{array}{c}
+A \quad \alpha \\
+B \quad \beta 
+\end{array} \right) =
+\left( \begin{array}{ccccc}
+1 & -1 & 0 & -1 & 0 \\
+1 & 1 & 0 & 3 & 2 \\
+2 & 1 & 2 & 6 & 3 \\
+1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\
+1 & -1 & a & a-1 & 0 \\
+2 & -3 & 2 & -2 & -1 
+\end{array} \right)
+$$
+$$
+\rightarrow
+\left( \begin{array}{ccccc}
+1 & -1 & 0 & -1 & 0 \\
+0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\
+0 & 0 & 2 & 2 & 0 \\
+0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
+0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
+0 & 0 & 0 & 0 & 0 
+\end{array} \right),
+$$
+故 
+$$
+R \left( \begin{array}{c}
+A \quad \alpha \\
+B \quad \beta 
+\end{array} \right) = R(A, \alpha),
+$$
+从而方程组 
+$$
+\begin{cases}
+Ax = \alpha, \\
+Bx = \beta
+\end{cases}
+$$
+与 $Ax = \alpha$ 同解，故 $Ax = \alpha$ 的解均为 $Bx = \beta$ 的解。
+
+(2) 由于 $Ax = \alpha$ 的解均为 $Bx = \beta$ 的解，若 $Ax = \alpha$ 与 $Bx = \beta$ 同解，则与题意矛盾，故 $Ax = \alpha$ 的解是 $Bx = \beta$ 解的真子集。于是 $Ax = 0$ 的基础解系中解向量的个数小于 $Bx = 0$ 的基础解系中解向量的个数，即
+$$
+4 - R(A) < 4 - R(B),
+$$
+故 $R(A) > R(B)$。又因 $R(A) = 3$，故 $R(B) < 3$，则
+$$
+\left| \begin{array}{ccc}
+1 & 0 & 1 \\
+1 & -1 & a \\
+2 & -3 & 2 
+\end{array} \right| = 0,
+$$
+解得 $a = 1$。
+
+# 通过秩反过来得方程是否有解
+
+>[!example] 例1
+>已知$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$均为$m\times n$矩阵，$\beta_1,\beta_2$为$m$维列向量，则下列选项正确的有[   ]
+(A)若$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=m$，则对于任意$m$维列向量$\boldsymbol{b},\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$总有解.
+(B)若$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$等价，则齐次线性方程组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$与$\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$同解.
+(C)矩阵方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$有解，但$\boldsymbol{B}\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{A}$无解的充要条件是$$\mathrm{rank}\boldsymbol{B}<\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ B}].$$
+(D)线性方程组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$与$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_2}$同时有解当且仅当$$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}].$$
+
+**解：**
+(A)一方面$\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ b}]\ge \mathrm{rank}\boldsymbol{A}=m$,另一方面矩阵$[\boldsymbol{A\ b}]$只有$m$行，所以它的秩必然不大于$m$，所以$\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ b}]=m=\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$，即方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$总有解。
+
+(B)等价的矩阵只需要是经过初等变换可以变成同一个矩阵就行了，但齐次线性方程组同解需要只经过初等行变换就能变成同一个矩阵才行，后一个条件明显更强，所以后一种更“难”达成，B就不对。
+
+(C)方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$有解$\Leftrightarrow\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ B}]=\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$,方程$\boldsymbol{B}\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{A}$无解$\Leftrightarrow\mathrm{rank}\boldsymbol{B}<\mathrm{rank}[\boldsymbol{B\ A}]$,而$\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ B}]=\mathrm{rank}[\boldsymbol{B\ A}]$,故C正确。这是纯形式化的解答，不过当然是正确的。但是怎么理解这个结果呢？$\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$有解，就是说我们可以用矩阵$\boldsymbol{A}$表示矩阵$\boldsymbol{B}$,也就是说，$\boldsymbol{A}$中包含了$\boldsymbol{B}$中的所有信息，也就是$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}\ge\mathrm{rank}\boldsymbol{B}$；另一方面，$\boldsymbol{BY}=\boldsymbol{A}$无解说明我们无法用矩阵$\boldsymbol{B}$表示矩阵$\boldsymbol{A}$，也就是说，$\boldsymbol{B}$中没有包含$\boldsymbol{A}$中的所有信息，那么$\mathrm{rank}\boldsymbol{B}<\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$；再加上有解的充要条件得出C正确。
+
+(D)我们同样有两种方法去解这道题，一种是形式化的、严谨的，另一种是理解性的、直观的。
+1)线性方程组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$与$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_2}$同时有解$\Leftrightarrow\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1}]=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_2}]$,故$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}]$。
+2)也可以从初等变换的角度来理解，方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$有解说明$\boldsymbol{\beta_1}$可以用$\boldsymbol{A}$的列向量线性表示，从而$[\boldsymbol{A\ \beta_1}]$可以通过初等列变换变成$[\boldsymbol{A\ O}]$，故$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1}]$；同理可以得出关于$\boldsymbol{\beta_2}$的结论。
+3)同样，怎么直观地理解？我们一样用信息量的观点去看。方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$有解，意味着$\boldsymbol{A}$中包含了$\boldsymbol{\beta_1}$中的所有信息，同理，$\boldsymbol{A}$中也包含了$\boldsymbol{\beta_2}$中的所有信息，这就意味着矩阵$[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}]$中所有的信息其实只需要用$\boldsymbol{A}$就可以表示，故$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}]$,反过来也是一样的。这就说明D是正确的。
+
+# 秩的不等式
+
+### 1. 和的秩不超过秩的和
+
+设 $A, B$ 为同型矩阵，则  
+$$ \operatorname{rank}(A+B) \leq \operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B $$
+
+### 2. 积的秩不超过任何因子的秩
+
+设 $A_{m \times n}, B_{n \times k}$，则  
+$$ \operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank} A, \operatorname{rank} B\} $$
+
+### 3. 重要不等式
+
+设 $A_{m \times n}, B_{n \times k}$，则  
+$$ \operatorname{rank}(AB) \geq \operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B - n $$ 
+特别地，当 $AB = 0$ 时，有 $\operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B \leq n$。 
+
+### 4. 分块式
+
+设 $A_{n \times n}$， $B_{n \times n}$，则
+
+$$(1)\ \mathrm{rank}  
+
+\begin{bmatrix}
+A \\
+B
+\end{bmatrix} \geq \text{rank } A, \quad \text{rank } 
+\begin{bmatrix}
+A \\
+B
+\end{bmatrix} \geq \text{rank } B
+$$
+
+$$(2)\ \mathrm{rank}  
+\begin{bmatrix}
+A & 0 \\
+0 & B
+\end{bmatrix} = \text{rank } A + \text{rank } B
+$$
+
+$$(3)\ \mathrm{rank}  
+\begin{bmatrix}
+A & E_n \\
+0 & B
+\end{bmatrix} \geq \text{rank } A + \text{rank } B
+$$
+
+$$(4)\ \mathrm{rank}  
+\begin{bmatrix}
+A & 0 \\
+0 & B
+\end{bmatrix} = \text{rank } 
+\begin{bmatrix}
+A & B \\
+0 & B
+\end{bmatrix} = \text{rank } 
+\begin{bmatrix}
+A + B & B \\
+B & B
+\end{bmatrix} \geq \text{rank } (A + B)
+$$
+
+>[!information] 思路1
+>通过矩阵的秩的不等式，最大限度限制所求的表达式的取值范围，或者将其**限制到一个具体的值**.
+>在希望求一个矩阵的秩的确切值时，也可以考虑用不等式关系来“夹逼”，常见的不等式：
+>1. $\mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}-n\le\mathrm{rank}(\boldsymbol{AB})\le\min{\{\mathrm{rank}\boldsymbol{A}, \mathrm{rank}\boldsymbol{B}\}}$
+>2. $\mathrm{rank}(\boldsymbol{A+B})<\mathrm{rank}\boldsymbol A+\mathrm{rank}\boldsymbol B$
+>3. 矩阵加边不会减小秩；
+>
+
+> [!note] 思路2
+> 在遇到诸如 $AB=O$ 的情况，务必要想到$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}-n\le\mathrm{rank}(\boldsymbol{AB}) \Rightarrow \mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}\le n$
+
+

编写小组/试卷/2025秋期中考前押题卷解析版.md

@@ -152,7 +152,7 @@ F $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+\sqrt{n}}}{n^2+1}$
 3. **斜渐近线**（$x \to +\infty$）：
     
     - 斜率 $k = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{y}{x} = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln(1+e^x)}{x} + \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\frac{2+x}{2-x} \arctan \frac{x}{2}}{x}$。  
-        由于 $\ln(1+e^x) =\ln e^x(1+e^{-x}) x + \ln(1+e^{-x})$，所以 $\frac{\ln(1+e^x)}{x} = 1 + \frac{\ln(1+e^{-x})}{x} \to 1$；  
+        由于 $\ln(1+e^x) =\ln e^x(1+e^{-x})= x + \ln(1+e^{-x})$，所以 $\frac{\ln(1+e^x)}{x} = 1 + \frac{\ln(1+e^{-x})}{x} \to 1$；  
         又 $\frac{2+x}{2-x} \to -1$，$\frac{\arctan \frac{x}{2}}{x} \to 0$，所以第二项趋于0，因此 $k = 1$。
         
     - 截距 $b = \lim\limits_{x \to +\infty} (y - x) = \lim\limits_{x \to +\infty} \left[ \ln(1+e^x) - x + \frac{2+x}{2-x} \arctan \frac{x}{2} \right]$。  

编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.10线代限时练-答案.md

@@ -0,0 +1,54 @@
+1. （7分） $\begin{bmatrix}1&2^{101}-2&0\\0&2^{100}&0\\0&\frac{5}{3}(1-2^{100})&1\end{bmatrix}$
+>解析：
+>$A$ 的特征值为 $1,1,2$，
+>$A=\begin{bmatrix}0&1&2\\0&0&1\\1&-1&-\frac{5}{3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1&2\\0&0&1\\1&-1&-\frac{5}{3}\end{bmatrix}^{-1}$
+2. （6分） $\frac{n(n-1)}{2}$
+>解析：略
+3. $s$ 是奇数
+>解析：向量组 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$ 线性无关，即 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 到 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$ 的过渡矩阵可逆（此时两个向量组等价），过渡矩阵为$\begin{bmatrix}1&&&\cdots&1\\1&1&&&\\&1&1&&\\&&\ddots&\ddots&\\&&&1&1\end{bmatrix}_{s\times s}$，过渡矩阵的行列式不为$0$
+>按照第一行展开：
+>$\begin{vmatrix}1&&&\cdots&1\\1&1&&&\\&1&1&&\\&&\ddots&\ddots&\\&&&1&1\end{vmatrix}_{s\times s}=(-1)^2\begin{vmatrix}1&&&&\\1&1&&&\\&1&1&&\\&&\ddots&\ddots&\\&&&1&1\end{vmatrix}_{(s-1)\times (s-1)}+(-1)^{s+1}\begin{vmatrix}1&1&&&\\&1&1&&\\&&1&\ddots&\\&&&\ddots&1\\&&&&1\end{vmatrix}_{(s-1)\times (s-1)}$
+>即$\begin{vmatrix}1&&&\cdots&1\\1&1&&&\\&1&1&&\\&&\ddots&\ddots&\\&&&1&1\end{vmatrix}_{s\times s}=1+(-1)^{s+1}=\begin{cases}0,s\text{为偶数}\\2,s\text{为奇数}\end{cases}$
+>所以 $s$ 是奇数
+4. （6分） 0
+>解析：因为$A,B$是正交矩阵且$|A|=-|B|$，所以$A^\mathrm{T}A=E, B^\mathrm{T}B=E, |A|=\pm 1, |B|=\mp 1$，
+>而$A^{-1}(A+B)B^{-1}=B^{-1}+A^{-1}=A^\mathrm{T}+B^\mathrm{T}=(A+B)^\mathrm{T}$，
+>所以$|A^{-1}||A+B||B^{-1}|=|(A+B)^\mathrm{T}|=|A+B|$，$|A^{-1}||B^{-1}|=-1$
+>所以$-|A+B|=|A+B|$，即$|A+B|=0$
+5. （7分） 0
+>$A\sim B\sim\begin{bmatrix}1&&&\\&2&&\\&&3&\\&&&4\end{bmatrix}$，
+>所以$B^{-1}-E\sim\begin{bmatrix}1&&&\\&2&&\\&&3&\\&&&4\end{bmatrix}^{-1}-E=\begin{bmatrix}0&&&\\&-\frac{1}{2}&&\\&&-\frac{2}{3}&\\&&&-\frac{3}{4}\end{bmatrix}$，
+>所以$|B^{-1}-E|=\begin{vmatrix}0&&&\\&-\frac{1}{2}&&\\&&-\frac{2}{3}&\\&&&-\frac{3}{4}\end{vmatrix}=0$
+6. （7分） 0
+>解析：设 $\alpha,\beta,\gamma$ 为 $x^3+px+q=0$ 的三个根，则 $x^3+px+q=$$(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma)x+\alpha\beta\gamma$ ，所以$\alpha+\beta+\gamma=0$，将行列式第二、三行加在第一行，第一行全为$\alpha+\beta+\gamma=0$，故行列式为0
+7. （20分） $D_n=2^{n-1}(2+\sum\limits_{j=1}^n a_j^2)$
+>解析
+>方法1：
+>行列式加边法：$D_n=\begin{vmatrix}1&a_1&a_2&\cdots&a_n\\0&2+a_1^2&a_1a_2&\cdots&a_1a_n\\0&a_2a_1&2+a_2^2&\cdots&a_2a_n\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&a_na_1&a_na_2&\cdots&2+a_n^2\end{vmatrix}$
+>将第一行乘以 $(-a_i)$ 加到第 $i+1$ 行：
+>$D_n=\begin{vmatrix}1&a_1&a_2&\cdots&a_n\\-a_1&2&&&\\-a_2&&2&&\\\vdots&&&\ddots&\\-a_n&&&&2\end{vmatrix}$（模板：箭头行列式）
+>再将第 $j+1$ 列乘以 $\frac{a_j}{2}$ 加到第一列：
+>$D_n=\begin{vmatrix}1+\sum\limits_{j=1}^n\frac{a_j^2}{2}&a_1&a_2&\cdots&a_n\\&2&&&\\&&2&&\\&&&\ddots&\\&&&&2\end{vmatrix}$
+>所以$D_n=2^{n-1}(2+\sum\limits_{j=1}^n a_j^2)$
+>方法2：
+>核心结论：$|E+AB|=|E+BA|$
+>$D_n=|2E_n+xx^\mathrm{T}|=2^n|E_n+\frac{1}{2}xx^\mathrm{T}|=2^n|E_1+\frac{1}{2}x^\mathrm{T}x|=2^n(1+x^\mathrm{T}x)=2^{n-1}(2+\sum\limits_{j=1}^{n}a_j^2)$
+8. （20分） $\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$
+>解析：由 $\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$ 可得 $A$ 的列向量组线性相关， $|A|=0$；又因为 $A$ 的三个特征值各不相同，故 $A$ 有两个不为零的特征值 $\lambda_1,\lambda_2$，且 $A$ 可相似对角化，即 $A=P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P$，$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P)=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}=2$
+>故 $Ax=0$ 的解空间维数是 $1$ （5分）
+>$\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$，所以 $(1,3,4)^\mathrm{T}$ 为特解；（5分）
+>$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，所以$A\begin{bmatrix}2k\\k\\-k\end{bmatrix}=2\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3=0$，所以 $(2,1,-1)^\mathrm{T}$ 为基础解系；（10分）
+>解空间维数是 $1$ ，方程的解 $\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$ 维数是 $1$，该解完备
+9. 证明如下：
+>(1)（10分）
+> 对于方程组$Ax=0$ (a)和 $A^\mathrm{T}Ax=0$ (b)，b的解空间一定包含a的解空间（5分）；
+>而方程b两边同时乘以$x^\mathrm{T}$，得 $x^\mathrm{T}A^\mathrm{T}Ax=0$ ，即 $(x^\mathrm{T}A^\mathrm{T})(Ax)=0 \to Ax=0$，
+>所以a的解空间包含b的解空间（5分），
+>所以a,b同解，所以$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}{A^\mathrm{T}A}$
+>(2) （10分）
+>$A^\mathrm{T}Ax=A^\mathrm{T}\beta \iff \mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)=\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}A^\mathrm{T}A&A^\mathrm{T}\beta\end{bmatrix})$
+>而由(1)的结论得等式左边 $\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)=\mathrm{rank}A$；
+>等式右边 $\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}A^\mathrm{T}A&A^\mathrm{T}\beta\end{bmatrix})\ge \mathrm{rank}A^\mathrm{T}A=\mathrm{rank}A$ （5分）
+>又$\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}\begin{bmatrix}A&\beta\end{bmatrix})\le \min{(\mathrm{rank}A^\mathrm{T},\ \mathrm{rank}\begin{bmatrix}A&\beta\end{bmatrix})}=\mathrm{rank}A$ （5分）
+>所以$\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}A^\mathrm{T}A&A^\mathrm{T}\beta\end{bmatrix})=\mathrm{rank}A$
+>故 $\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)=\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}A^\mathrm{T}A&A^\mathrm{T}\beta\end{bmatrix})$ 得证.

编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.10线代限时练.md

@@ -1,13 +1,13 @@
 一、填空题
-1. 设 $A=\begin{bmatrix}1&2&0\\0&2&0\\-2&-1&-1\end{bmatrix}$，则$A^{100}=$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
+1. （7分）设 $A=\begin{bmatrix}1&2&0\\0&2&0\\-2&-1&-1\end{bmatrix}$，则$A^{100}=$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
-2. 线性空间 $V = \{A\in\mathbb{R}^{n\times n}|A = -A^\mathrm{T}\}$ 的维数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
+2. （6分）线性空间 $V = \{A\in\mathbb{R}^{n\times n}|A = -A^\mathrm{T}\}$ 的维数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
-3. 设向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 线性无关，$\beta_1=\alpha_1+\alpha_2,\beta_2=\alpha_2+\alpha_3,\cdots,\beta_{s-1}=\alpha_{s-1}+\alpha_s$，则向量组 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$ 线性无关的充要条件是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
+3. （7分）设向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 线性无关，$\beta_1=\alpha_1+\alpha_2,\beta_2=\alpha_2+\alpha_3,\cdots,\beta_{s-1}=\alpha_{s-1}+\alpha_s, \beta_{s}=\alpha_{s}+\alpha_1$，则向量组 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$ 线性无关的充要条件是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
-4. 已知 $A,B$ 均为 $n$ 阶正交矩阵，且 $|A|=-|B|$，则 $|A+B|$ 的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
+4. （6分）知 $A,B$ 均为 $n$ 阶正交矩阵，且 $|A|=-|B|$，则 $|A+B|$ 的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
-5. 已知 $4$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，$A$ 的全部特征值为 $1,2,3,4$，则行列式 $|B^{-1}-E|$ 为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
+5. （7分）已知 $4$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，$A$ 的全部特征值为 $1,2,3,4$，则行列式 $|B^{-1}-E|$ 为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
-6. 设 $\alpha,\beta,\gamma$ 为 $x^3+px+q=0$ 的三个根，则行列式 $\begin{vmatrix}\alpha&\beta&\gamma\\\gamma&\alpha&\beta\\\beta&\gamma&\alpha\end{vmatrix}$ 的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
+6. （7分）设 $\alpha,\beta,\gamma$ 为 $x^3+px+q=0$ 的三个根，则行列式 $\begin{vmatrix}\alpha&\beta&\gamma\\\gamma&\alpha&\beta\\\beta&\gamma&\alpha\end{vmatrix}$ 的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
 二、解答题
-7. 计算$n$阶行列式 $D_n=\begin{vmatrix}2+a_1^2 & a_1a_2 & \cdots&a_1a_n \\ a_2a_1& 2+a_2^2 & \cdots & a_2a_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_na_1&a_na_2&\cdots& 2+a_n^2\end{vmatrix}$.
+7. （20分）计算$n$阶行列式 $D_n=\begin{vmatrix}2+a_1^2 & a_1a_2 & \cdots&a_1a_n \\ a_2a_1& 2+a_2^2 & \cdots & a_2a_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_na_1&a_na_2&\cdots& 2+a_n^2\end{vmatrix}$.
-8. 已知三阶方阵 $A=\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\end{bmatrix}$ 有三个不同的特征值，其中$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，若 $\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$ ，求线性方程组 $Ax=\beta$ 的通解.
+8. （20分）已知三阶方阵 $A=\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\end{bmatrix}$ 有三个不同的特征值，其中$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，若 $\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$ ，求线性方程组 $Ax=\beta$ 的通解.
-9. 设 $A$ 是 $m\times n$ 实矩阵， $\beta \neq 0$ 是 $m$ 维实列向量，证明：
+9. （20分）设 $A$ 是 $m\times n$ 实矩阵， $\beta \neq 0$ 是 $m$ 维实列向量，证明：
 	(1) $\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)$ .
 	(2) 线性方程组 $A^\mathrm{T}Ax = A^\mathrm{T}\beta$ 有解.

编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代测试答案.md

@@ -0,0 +1,219 @@
+# **1.14 线性代数限时练（题目 + 答案与解析）**
+
+## **第一部分：题目**
+
+### **1.**
+
+已知三阶行列式 $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=c$，代数余子式之和 $\sum\limits_{i=1}^{3}\sum\limits_{j=1}^{3}A_{ij}=3c$，则行列式 $\begin{vmatrix}a_{11}+1&a_{12}+1&a_{13}+1\\a_{21}+1&a_{22}+1&a_{23}+1\\a_{31}+1&a_{32}+1&a_{33}+1\end{vmatrix}=$？
+
+### **2.（2013 秋 A）**
+
+$已知向量空间 V=\{(2a,2b,3b,3a)\mid a,b\in\mathbb{R}\}，则 V 的维数是\underline{\qquad}。$
+
+### **3.（2018 秋 A）**
+
+$设 E 为 3 阶单位矩阵，\alpha 为一个 3 维单位列向量，则矩阵 E-\alpha\alpha^T 的全部 3 个特征值为\underline{\qquad}。$
+
+### **4.（2018 秋 A）**
+
+$设 n 阶矩阵 A=[a_{ij}]_{n\times n}，则二次型 f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=1}^{n}(a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n)^2 的矩阵为\underline{\qquad}。$
+### **5.（2018 秋 A）**
+
+$若 n 阶实对称矩阵 A 的特征值为 \lambda_i=(-1)^i（i=1,2,\cdots,n），则 A^{100}=\underline{\qquad}。$
+
+### **6.（2022 秋 A・5）**
+
+$已知 n（n\geq2）维列向量 \alpha,\beta 满足 \beta^T\alpha=-3，则方阵 (\beta\alpha^T)^2 的非零特征值为\underline{\qquad}。$
+
+### **7.（2022 秋 A）**
+
+$已知向量组 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 线性无关（\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathbb{R}^3），A 为 3 阶方阵，且满足：$
+
+$$\begin{aligned}
+A\alpha_1&=2\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3,\\A\alpha_2&=\alpha_1+2\alpha_2+3\alpha_3,\\A\alpha_3&=2\alpha_1+4\alpha_2+\alpha_3
+\end{aligned}
+$$
+(1) $证明 A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3 线性无关$；
+
+(2) $计算行列式 |E-A|（E 是 3 阶单位矩阵）$。
+
+### **8.（2013 秋 A）**
+
+$求 n 阶方阵 A=\begin{bmatrix}1&1&1&\cdots&1\\1&0&1&\cdots&1\\1&1&0&\cdots&1\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&1&1&\cdots&0\end{bmatrix} 的逆矩阵。$
+
+### **9.（2013 秋 A・三）**
+
+设 n 阶行列式：
+
+$$D_n=\begin{vmatrix}1&1&0&\cdots&0&0\\-1&1&1&\cdots&0&0\\0&-1&1&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1&1\\0&0&0&\cdots&-1&1\end{vmatrix}$$
+
+证明：$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$。
+
+## **第二部分：答案与解析**
+
+### 1. 答案：$\boxed{4c}$
+
+#### **解析：**
+没有全1的行列式：即$|A|=c$；
+仅 1 列是全 1、其余为$A$中某一列的行列式：共 3 个，分别对应第 1、2、3 列拆分为全 1 列。此类行列式按全 1 列展开，值为该列的代数余子式之和，即$\sum\limits_{i=1}^3A_{i1},\sum\limits_{i=1}^3A_{i3},\sum\limits_{i=1}^3A_{i2}$ ，总和为$\sum\limits_{i,j=1}^3A_{ij}=3c$;
+含两列及以上全1的行列式：等于0
+综上原式$=4c$.
+### **2. 答案：$\boxed{2}$
+
+#### **解析：**
+
+将向量空间 V 中的元素拆分为线性组合形式：
+
+$$(2a,2b,3b,3a)=a(2,0,0,3)+b(0,2,3,0)$$
+
+设 $\boldsymbol{\alpha}=(2,0,0,3)，\boldsymbol{\beta}=(0,2,3,0)$，需验证 $\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}$ 线性无关：
+
+若 $k_1\boldsymbol{\alpha}+k_2\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{0}$（零向量），则 $\begin{cases}2k_1=0\\2k_2=0\\3k_2=0\\3k_1=0\end{cases}$，解得 $k_1=k_2=0$，故 $\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}$是 V 的一组基。
+
+向量空间的维数等于基的个数，因此 $V$ 的维数为 $2$。
+
+### **3. 答案：$\boxed{1,1,0}$
+
+#### **解析：**
+
+设 $B=\alpha\alpha^T$，该矩阵为**秩 $1$ 矩阵**（因 $\alpha$ 是单位列向量，$\alpha^T\alpha=1$）。
+
+• 秩 $1$ 矩阵的特征值性质：非零特征值为矩阵的迹 $\text{tr}(B)=\alpha^T\alpha=1$，其余 $n-1=2$ 个特征值为 $0$（秩 $1$ 矩阵的非零特征值个数等于秩）。
+
+• 若 $B\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$（$\boldsymbol{x}$为特征向量），则 $(E-B)\boldsymbol{x}=(1-\lambda)\boldsymbol{x}$，即$E-B$ 的特征值为 $1-\lambda$。
+
+$代入 B 的特征值 \lambda=1,0,0，得 E-B 的特征值为 1-1=0，1-0=1，1-0=1，即 1,1,0$。
+
+### **4. 答案：$\boxed{A^T A}$**
+
+#### **解析：**
+
+记$A_i$为$A$中把除了第$i$列之外全部都换成$0$的矩阵，则将二次型展开为矩阵形式：
+
+$$\begin{aligned}
+f(\boldsymbol{x})&=\sum_{i=1}^{n}(<A_i\boldsymbol{x},A_i\boldsymbol{x}>)^2\\
+&=\sum\limits_{i=1}^n((A_i\boldsymbol{x})^TA_i\boldsymbol{x})\\
+&=\boldsymbol{x}^T\sum\limits_{i=i}^{n}A_i^T\sum\limits_{i=1}^nA_i\boldsymbol{x}\\
+&=\boldsymbol{x}^T(A^T A)\boldsymbol{x}
+\end{aligned}$$
+
+• 二次型的矩阵需满足**对称性质**（即矩阵等于其转置），验证：$(A^T A)^T=A^T(A^T)^T=A^T A$，故 $A^T A$ 是对称矩阵，即为二次型的矩阵。
+
+### **5. 答案：$\boxed{E}$（单位矩阵）**
+
+#### **解析：**
+
+实对称矩阵可对角化，即存在可逆矩阵 P，使得 $P^{-1}AP=\Lambda$（$\Lambda$ 为对角矩阵，对角元为 A 的特征值 $\lambda_i=(-1)^i$）。
+
+• 矩阵幂运算性质：$A^{100}=P\Lambda^{100}P^{-1}$。
+
+• 计算 $\Lambda^{100}$：对角元为 $\lambda_i^{100}=[(-1)^i]^{100}=1$，故 $\Lambda^{100}=E$（单位矩阵）。
+
+• 因此 $A^{100}=P E P^{-1}=P P^{-1}=E$。
+
+### **6. 答案：$\boxed{9}$**
+
+#### **解析：**
+
+设 $A=\beta\alpha^T$（秩 1 矩阵），计算 $A^2$：
+
+$A^2=(\beta\alpha^T)(\beta\alpha^T)=\beta(\alpha^T\beta)\alpha^T=(\alpha^T\beta)A$
+
+• 注意：$\alpha^T\beta=(\beta^T\alpha)^T$（矩阵转置性质），而 $\beta^T\alpha=-3$（数，转置等于自身），故 $\alpha^T\beta=-3$，因此 $A^2=-3A$。
+
+• 秩 $1$ 矩阵 $A$ 的非零特征值为 $\text{tr}(A)=\alpha^T\beta=-3$，设 $A\boldsymbol{x}=-3\boldsymbol{x}$，则 $A^2\boldsymbol{x}=(-3)A\boldsymbol{x}=(-3)^2\boldsymbol{x}=9\boldsymbol{x}$，即 $A^2$ 的非零特征值为 $9$。
+
+### **7. 答案：(1) 证明见解析；(2) $\boxed{20}$**
+
+#### **(1) 证明 $A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3$ 线性无关**
+
+因 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，故矩阵 $P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 可逆（列向量线性无关的矩阵可逆）。
+
+由题设条件，将 $A$ 对 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 的作用表示为矩阵乘法：
+
+$$A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\begin{bmatrix}2&1&2\\-1&2&4\\-1&3&1\end{bmatrix}=P C$$
+
+其中 $C=\begin{bmatrix}2&1&2\\-1&2&4\\-1&3&1\end{bmatrix}$，计算 $|C|$：
+
+$$\begin{aligned}
+|C|&=2\times(2\times1-4\times3)-1\times(-1\times1-4\times(-1))+2\times(-1\times3-2\times(-1))\\
+&=2\times(-10)-1\times3+2\times(-1)\\
+&=-25\neq0
+\end{aligned}
+$$
+
+• 因 $|C|\neq0$，故 $C$ 可逆，$\text{rank}(C)=3$。
+
+• 又 $P$ 可逆，故 $\text{rank}(A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3)=\text{rank}(P C)=\text{rank}(C)=3$，即 $A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3$ 线性无关。
+
+#### **(2) 计算 $|E-A|$**
+
+由 (1) 知$P^{-1}AP=C（A 与 C 相似）$，则 $E-A$ 与 $E-C$ 相似（相似矩阵的 “单位矩阵减矩阵” 仍相似），而**相似矩阵的行列式相等**，故 $|E-A|=|E-C|$。
+
+计算 $E-C$：
+
+$$E-C=\begin{bmatrix}1-2&0-1&0-2\\0-(-1)&1-2&0-4\\0-(-1)&0-3&1-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&-1&-2\\1&-1&-4\\1&-3&0\end{bmatrix}$$
+
+按第三行展开计算行列式：
+
+$$
+\begin{aligned}
+|E-C|&=1\times\begin{vmatrix}-1&-2\\-1&-4\end{vmatrix}-(-3)\times\begin{vmatrix}-1&-2\\1&-4\end{vmatrix}+0\times(\text{余子式})\\
+&=1\times(4-2)+3\times(4+2)\\
+&=2+18=20
+\end{aligned}
+$$
+
+故 $|E-A|=20$。
+
+### **8. 答案：**
+
+$$A^{-1}=\begin{bmatrix}-(n-2)&1&1&\cdots&1\\1&-1&0&\cdots&0\\1&0&-1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&0&0&\cdots&-1\end{bmatrix}
+$$
+#### **解析：**
+
+通过 “行变换法” 或 “规律归纳” 推导：
+
+• 观察矩阵 A 的结构：第一行全为 1，其余行的对角元为 0，非对角元为 1。可先计算 n=2,3 时的逆矩阵，归纳规律：
+
+◦ $当 n=2 时，A=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}，逆矩阵为 \begin{bmatrix}0&1\\1&-1\end{bmatrix}（符合上述形式，-(2-2)=0）$；
+
+◦ 当 $n=3$ 时，$A=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{bmatrix}$，逆矩阵为 $\begin{bmatrix}-1&1&1\\1&-1&0\\1&0&-1\end{bmatrix}$（符合上述形式，$-(3-2)=-1$）。
+
+• 验证规律：对 n 阶矩阵，逆矩阵的第一行第一列元素为 -(n-2)，第一行其余元素为 1，第一列其余元素为 1，对角元（除第一行第一列）为 -1，非对角元（除第一行、第一列）为 0，即为上述形式。
+
+### **9. 证明：$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$**
+
+#### **步骤 1：建立递推公式**
+
+对 $D_n$ 按**第一行展开**（第一行元素为 $a_{11}=1,a_{12}=1$，其余 $a_{1j}=0$）：
+
+$D_n=a_{11}\times(-1)^{1+1}M_{11}+a_{12}\times(-1)^{1+2}M_{12}$
+
+• $M_{11}$：去掉第一行第一列后的子式，即 $n-1$ 阶行列式 $D_{n-1}$（结构与 $D_n$ 一致）；
+
+• $M_{12}$：去掉第一行第二列后的子式，按第一列展开（第一列仅首元素为 $-1$），得 $-D_{n-2}$（符号需结合 $(-1)^{1+2}=-1$）。
+
+因此递推公式为：
+
+$$D_n=D_{n-1}+D_{n-2}$$
+
+#### **步骤 2：确定初始条件**
+
+• 当 $n=1$ 时，$D_1=\begin{vmatrix}1\end{vmatrix}=1$；
+
+• 当 n=2 时，$D_2=\begin{vmatrix}1&1\\-1&1\end{vmatrix}=1\times1-1\times(-1)=2$。
+
+#### **步骤 3：求解递推关系**
+
+递推公式 $D_n=D_{n-1}+D_{n-2}$ 是**斐波那契数列的变形**，斐波那契数列的通项公式（比内公式）为：
+
+$$F_k=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^k-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^k\right]$$
+
+对比初始条件：$D_1=1=F_2，D_2=2=F_3$，故 $D_n=F_{n+1}$（斐波那契数列的第 $n+1$ 项）。
+
+将$F_{n+1}$代入比内公式，得：
+
+$$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$$
+
+证毕。

编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代限时练.md

@@ -0,0 +1,66 @@
+1. （[[线代2022秋B]]·1）已知 $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} = c$ ，代数余子式之和 $\sum\limits_{i=1}^{3}\sum\limits_{j=1}^{3} A_{ij} = 3c$ ，则 $\begin{vmatrix}a_{11}+1 & a_{12}+1 & a_{13}+1 \\a_{21}+1 & a_{22}+1 & a_{23}+1 \\a_{31}+1 & a_{32}+1 & a_{33}+1\end{vmatrix} =$ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
+
+2. （[[线代2013秋A]]·4）已知向量空间 $V=\{(2a,2b,3b,3a)|a,b\in\mathbb{R}\}$，则 $V$ 的维数是\_\_\_\_\_.
+
+3. （[[线代2019秋A]]·9）设 $\boldsymbol{E}$ 为 $3$ 阶单位矩阵，$\boldsymbol\alpha$ 为一个 $3$ 维单位列向量，则矩阵 $\boldsymbol E - \boldsymbol\alpha\boldsymbol\alpha^\mathrm{T}$ 的全部 $3$ 个特征值为\_\_\_\_\_\_\_.
+
+4. （[[线代2018秋A]]·12）设 $n$ 阶矩阵 $A=[a_{ij}]_{n\times n}$ ，则二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=1}^n(a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n)^2$ 的矩阵为\_\_\_\_\_\_\_.
+
+5. （[[线代2018秋A]]·11）若 $n$ 阶实对称矩阵 $\boldsymbol A$ 的特征值为 $\lambda_i=(-1)^i\ (i=1,2,\cdots,n)$，则 $\boldsymbol A^{100}=$ \_\_\_\_\_\_\_.
+
+6. ([[线代2022秋A]]·5）已知 $n(n\ge2)$ 维列向量 $\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta$ 满足 $\boldsymbol\beta^\mathrm{T}\boldsymbol\alpha=-3$，则方阵 $(\boldsymbol{\beta\alpha}^\mathrm{T})^2$ 的非零特征值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
+
+7. （[[线代2022秋A]]·七）已知向量组 $\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\alpha_3$ 线性无关，其中 $\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\alpha_3\in\mathbb{R}^3$，$\boldsymbol A$ 为 $3$ 阶方阵，且
+$$\boldsymbol{A\alpha_1}=2\boldsymbol\alpha_1-\boldsymbol\alpha_2-\boldsymbol\alpha_3, \boldsymbol A\boldsymbol\alpha_2=\boldsymbol\alpha_1+2\boldsymbol\alpha_2+3\boldsymbol\alpha_3, \boldsymbol A\boldsymbol\alpha_3=2\boldsymbol\alpha_1+4\boldsymbol\alpha_2+\boldsymbol\alpha_3.$$
+(1) 证明 $A\boldsymbol\alpha_1, A\boldsymbol\alpha_2, A\boldsymbol\alpha_3$ 线性无关；
+(2) 计算行列式 $\boldsymbol E-\boldsymbol A$，其中 $\boldsymbol E$ 是 $3$ 阶单位矩阵.
+```text
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+```
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+8. （[[线代2013秋A]]）求 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\1 & 0 & 1 & \dots & 1 \\1 & 1 & 0 & \dots & 1 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\1 & 1 & 1 & \dots & 0\end{bmatrix}$ 的逆。
+```text
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+```
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+9. （[[线代2013秋A]]·三）设
+	$$D_n=\begin{vmatrix}1&1&0&\cdots&0&0\\-1&1&1&\cdots&0&0\\0&-1&1&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1&1\\0&0&0&\cdots&-1&1\end{vmatrix}$$证明：$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+1}]$ .

编写小组/试卷/高数期末真题/2017高数期末考试卷.md

@@ -11,11 +11,11 @@ tags:
 **考试时间：150 分钟**  
 **满分：100 分**  
 
-| 题号 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 七 | 八 | 九 | 十 | 十一 | 十二 | 总分 | 核分 |
+| 题号  | 一   | 二   | 三   | 四   | 五   | 六   | 七   | 八   | 九   | 十   | 十一  | 十二  | 总分  | 核分  |
-|------|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|-----|-----|------|------|
+| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
-| 满分 | 15 | 15 | 6  | 6  | 6  | 6  | 6  | 8  | 8  | 8  | 8   | 8   | 100 |      |
+| 满分  | 15  | 15  | 6   | 6   | 6   | 6   | 6   | 8   | 8   | 8   | 8   | 8   | 100 |     |
-| 得分 |    |    |    |    |    |    |    |    |    |    |     |     |      |      |
+| 得分  |     |     |     |     |     |     |     |     |     |     |     |     |     |     |
-| 评阅人 |    |    |    |    |    |    |    |    |    |    |     |     |      |      |
+| 评阅人 |     |     |     |     |     |     |     |     |     |     |     |     |     |     |
 
 **注意：**  
 1. 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效。  

试卷库/线性代数/线代2013秋A.md

@@ -0,0 +1,65 @@
+## 一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
+1. 设行列式 $D=\begin{vmatrix}-1&2&-3\\1&2&0\\-1&3&2\end{vmatrix}$ ，则 $M_{12}+A_{21}-M_{32}=$ ______
+2. 设矩阵 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}&\boldsymbol{C}\\\boldsymbol{0}&\boldsymbol{D}\end{bmatrix}$ ，其中 $\boldsymbol{B}$ 、 $\boldsymbol{D}$ 皆为可逆矩阵，则 $\boldsymbol{A}^{-1}=$ ______
+3. 设矩阵 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}2&1&0&0\\0&2&0&0\\0&0&-1&2\\0&0&-2&4\end{bmatrix}$ ， $n$ 为正整数，则 $\boldsymbol{A}^{n}=$ ______
+4. 已知向量空间 $V = \{(2a,2b,3b,3a)\mid a,b\in\mathbb{R}\}$ ，则 $V$ 的维数是______
+5. 已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}-2&1&1\\0&2&0\\-4&1&3\end{bmatrix}$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 的特征值 $2$ 的几何重数是______
+6. 实二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1x_2 - 2x_1x_3 + 2x_2x_3$ 的秩为______
+
+
+## 二、单选题（共6小题，每小题3分，共18分）
+1. 在4阶行列式 $\det[a_{ij}]$ 的展开式中含有因子 $a_{31}$ 的项共有【】
+   - (A) 4项
+   - (B) 6项
+   - (C) 8项
+   - (D) 10项
+2. 设 $\boldsymbol{A}$ 、 $\boldsymbol{B}$ 是 $n$ 阶方阵，且 $\boldsymbol{B}$ 的第 $j$ 列元素全为零，则下列结论正确的是【】
+   - (A)  $\boldsymbol{AB}$ 的第 $j$ 列元素全等于零
+   - (B)  $\boldsymbol{AB}$ 的第 $j$ 行元素全等于零
+   - (C)  $\boldsymbol{BA}$ 的第 $j$ 列元素全等于零
+   - (D)  $\boldsymbol{BA}$ 的第 $j$ 行元素全等于零
+3. 设 $n$ 维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 、 $\boldsymbol{\alpha}_2$ 、 $\boldsymbol{\alpha}_3$ 、 $\boldsymbol{\alpha}_4$ 、 $\boldsymbol{\alpha}_5$ 的秩为3，且满足 $\boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_3 - 3\boldsymbol{\alpha}_5=\boldsymbol{0}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_2 = 2\boldsymbol{\alpha}_4$ ，则该向量组的一个极大线性无关组为【】
+   - (A)  $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_5$ 
+   - (B)  $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_4$ 
+   - (C)  $\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_5$ 
+   - (D)  $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_5$ 
+4. 设 $\boldsymbol{A}$ 、 $\boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶方阵，给定以下命题：(1) $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 等价；(2) $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似；(3) $\boldsymbol{A}$ 、 $\boldsymbol{B}$ 的行向量组等价。下列命题正确的是【】
+   - (A) (1) $\Rightarrow$ (2) $\Rightarrow$ (3)
+   - (B) (2) $\Rightarrow$ (1) $\Rightarrow$ (3)
+   - (C) (3) $\Rightarrow$ (2) $\Rightarrow$ (1)
+   - (D) 以上结论均不对
+1. 设矩阵 $\boldsymbol{A}\sim\boldsymbol{B}$ 、 $\boldsymbol{C}\sim\boldsymbol{D}$ ，则下列命题正确的是【】
+   - (A) $\boldsymbol{A+B}\sim\boldsymbol{C+D}$
+   - (B) $\boldsymbol{A-B}\sim\boldsymbol{C-D}$
+   - (C)  $\boldsymbol{A}^2\sim\boldsymbol{B}^2$ 
+   - (D) $\boldsymbol{AB}\sim\boldsymbol{CD}$
+1. 如果 $\boldsymbol{A}$ 为反对称矩阵，那么 $\boldsymbol{B}=(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A})^{-1}$ 一定为【】
+   - (A) 反对称矩阵
+   - (B) 正交矩阵
+   - (C) 对称矩阵
+   - (D) 对角矩阵
+
+
+## 三、（10分）
+设 $n$ 阶行列式 $D_n=\begin{vmatrix}1&1&0&\cdots&0&0\\-1&1&1&\cdots&0&0\\0&-1&1&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1&1\\0&0&0&\cdots&-1&1\end{vmatrix}$ ，证明： $D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$ 
+
+
+## 四、（10分）
+求 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ （原题 $\boldsymbol{A}$ 具体元素排版混乱，推测可能为 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&1&0&\cdots&1&1\\1&1&1&\cdots&1&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\1&0&0&\cdots&1&1\end{bmatrix}$ ，具体以标准题型为准）的逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 
+
+
+## 五、（10分）
+求解非齐次线性方程组（原题方程排版混乱，整理后推测为）：
+ $\begin{cases}x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 4\\2x_1 + 3x_2 + x_3 = -4\\3x_1 + 8x_2 - 2x_3 = 13\\4x_1 - x_2 + 9x_3 = -6\\x_1 - x_2 + 2x_3 = -5\end{cases}$ （具体方程以标准题型为准）
+
+
+## 六、（10分）
+设 $\boldsymbol{A}$ 、 $\boldsymbol{B}$ 为3阶矩阵， $\boldsymbol{A}$ 相似于 $\boldsymbol{B}$ ， $\lambda_1=-1$ 、 $\lambda_2=1$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的两个特征值， $|\boldsymbol{B}^{-1}|=\frac{1}{3}$ ，求行列式 $\begin{vmatrix}-(\boldsymbol{A}-3\boldsymbol{E})^{-1}&\boldsymbol{0}\\\boldsymbol{0}&\boldsymbol{B}^*+\left(-\frac{1}{4}\boldsymbol{B}\right)^{-1}\end{vmatrix}$ （其中 $\boldsymbol{B}^*$ 为 $\boldsymbol{B}$ 的伴随矩阵）
+
+
+## 七、（12分）
+求一可逆线性变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{y}$ ，将二次型 $f=2x_1^2 + 9x_2^2 + 3x_3^2 + 8x_1x_2 - 4x_1x_3 - 10x_2x_3$ 化成二次型 $g=2y_1^2 + 3y_2^2 + 6y_3^2 - 4y_1y_2 - 4y_1y_3 + 8y_2y_3$ （或按“将 $f$ 化为标准形”的常规题型修正，具体以题目意图为准）
+
+
+## 八、（12分）
+设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶方阵，证明： $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{E}$ 的充分必要条件是 $\mathrm{rank}(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})+\mathrm{rank}(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A})=n$ （其中 $\mathrm{rank}$ 表示矩阵的秩）

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@@ -0,0 +1,77 @@
+
+## 一、单选题(共6小题，每小题3分，共18分)
+1. 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶对称矩阵， $\boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶反对称矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是【】
+    (A)  $\boldsymbol{AB}-\boldsymbol{BA}$ ；
+    (B)  $\boldsymbol{AB}+\boldsymbol{BA}$ ；
+    (C)  $\boldsymbol{BAB}$ ；
+    (D)  $(\boldsymbol{AB})^2$ 。
+
+2. 设 $\boldsymbol{A}$ ， $\boldsymbol{B}$ 是可逆矩阵，且 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似，则下列结论错误的是【】
+    (A)  $\boldsymbol{A}^\mathrm{T}$ 与 $\boldsymbol{B}^\mathrm{T}$ 相似；
+    (B)  $\boldsymbol{A}^{-1}$ 与 $\boldsymbol{B}^{-1}$ 相似；
+    (C)  $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^\mathrm{T}$ 与 $\boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^\mathrm{T}$ 相似；
+    (D)  $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{-1}$ 与 $\boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{-1}$ 相似。
+
+3. 设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=(0,0,c_1)^\mathrm{T}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_2=(0,1,c_2)^\mathrm{T}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_3=(1,-1,c_3)^\mathrm{T}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_4=(-1,1,c_4)^\mathrm{T}$ ，其中 $c_1$ ， $c_2$ ， $c_3$ ， $c_4$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的是【】
+    (A)  $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ ；
+    (B)  $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_4$ ；
+    (C)  $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$ ；
+    (D)  $\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$ 。
+
+4. 设 $\boldsymbol{A}$ ， $\boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶矩阵，则【】
+    (A)  $\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{AB}\end{bmatrix}=\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$ ；
+    (B)  $\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{BA}\end{bmatrix}=\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$ ；
+    (C)  $\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{B}\end{bmatrix}=max\{\mathrm{rank}\boldsymbol{A},\mathrm{rank}\boldsymbol{B}\}$ ；
+    (D)  $\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{B}\end{bmatrix}=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}^\mathrm{T}&\boldsymbol{B}^\mathrm{T}\end{bmatrix}$ 。
+
+5. 设 $\boldsymbol{A}$ 可逆，将 $\boldsymbol{A}$ 的第一列加上第二列的2倍得到 $\boldsymbol{B}$ ，则 $\boldsymbol{A}^*$ 与 $\boldsymbol{B}^*$ 满足【】
+    (A) 将 $\boldsymbol{A}^*$ 的第一列加上第二列的2倍得到 $\boldsymbol{B}^*$ ；
+    (B) 将 $\boldsymbol{A}^*$ 的第一行加上第二行的2倍得到 $\boldsymbol{B}^*$ ；
+    (C) 将 $\boldsymbol{A}^*$ 的第二列加上第一列的 $(-2)$ 倍得到 $\boldsymbol{B}^*$ ；
+    (D) 将 $\boldsymbol{A}^*$ 的第二行加上第一行的 $(-2)$ 倍得到 $\boldsymbol{B}^*$ 。
+
+6. 设齐次线性方程组
+    (I) $\begin{cases}x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0\\2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0\\x_1 + x_2 + ax_3 = 0\end{cases}$ 
+    (II) $\begin{cases}x_1 + bx_2 + cx_3 = 0\\2x_1 + b^2x_2 + (c + 1)x_3 = 0\end{cases}$ 
+    同解，则 $a,b,c$ 的值为【】
+    (A)  $a=1,b=0,c=1$ ；
+    (B)  $a=1,b=1,c=2$ ；
+    (C)  $a=2,b=0,c=1$ ；
+    (D)  $a=2,b=1,c=2$ 。
+
+## 二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)
+7. 已知向量 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0,-1,0)^\mathrm{T}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_2=(1,1,-1,-1)^\mathrm{T}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_3=(-1,0,1,1)^\mathrm{T}$ ，则向量 $\boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2$ 与 $2\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_3$ 的内积 $<\boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2,2\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_3>=$ ________。
+
+8. 设二阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有两个相异特征值， $\boldsymbol{\alpha}_1$ ， $\boldsymbol{\alpha}_2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的线性无关的特征向量，且 $\boldsymbol{A}^2(\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2)=\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2$ ，则 $|\boldsymbol{A}|=$ ________。
+
+9. 若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0,1)^\mathrm{T}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_2=(0,1,1)^\mathrm{T}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_3=(1,3,5)^\mathrm{T}$ 不能由向量组 $\boldsymbol{\beta}_1=(1,1,1)^\mathrm{T}$ ， $\boldsymbol{\beta}_2=(1,2,3)^\mathrm{T}$ ， $\boldsymbol{\beta}_3=(3,4,a)^\mathrm{T}$ 线性表示，则 $a=$ ________。
+
+10. 设矩阵 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&a_1&a_1^2&a_1^3\\1&a_2&a_2^2&a_2^3\\1&a_3&a_3^2&a_3^3\\1&a_4&a_4^2&a_4^3\end{bmatrix}$ ， $\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix}$ ， $\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}$ ，其中 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 互不相同，则线性方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的解为________。
+
+11. 若 $n$ 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_i=(-1)^i(i=1,2,\cdots,n)$ ，则 $\boldsymbol{A}^{100}=$ ________。
+
+12. 设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=[a_{ij}]_{n\times n}$ ，则二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n(a_{i1}x_1 + a_{i2}x_2 + \cdots + a_{in}x_n)^2$ 的矩阵为________。
+
+## 三、计算与证明(共6小题，共64分)
+13. (10分)计算 $n$ 阶行列式 $\begin{vmatrix}1&2&3&\cdots&n-1&n\\2&1&2&\cdots&n-2&n-1\\3&2&1&\cdots&n-3&n-2\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\n-1&n-2&n-3&\cdots&1&2\\n&n-1&n-2&\cdots&2&1\end{vmatrix}$ 。
+
+14. (10分)设 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0,-1)^\mathrm{T}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_2=(2,1,1)^\mathrm{T}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_3=(1,1,1)^\mathrm{T}$ 和 $\boldsymbol{\beta}_1=(0,1,1)^\mathrm{T}$ ， $\boldsymbol{\beta}_2=(-1,1,0)^\mathrm{T}$ ， $\boldsymbol{\beta}_3=(0,2,1)^\mathrm{T}$ 是 $\mathbb{R}^3$ 的两组基，求向量 $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2 - 3\boldsymbol{\alpha}_3$ 在基 $\boldsymbol{\beta}_1$ ， $\boldsymbol{\beta}_2$ ， $\boldsymbol{\beta}_3$ 下的坐标。
+
+15. (10分)设实二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 2x_1x_2 - 2x_1x_3 + 2ax_2x_3$ 通过正交变换可化为标准型 $f=2y_1^2 + 2y_2^2 + by_3^2$ 。
+    (1)求 $a$ ， $b$ 及所用正交变换矩阵 $\boldsymbol{Q}$ ；
+    (2)证明 $\boldsymbol{A} + 2\boldsymbol{E}$ 为正定矩阵。
+
+16. (10分)设三阶矩阵 $\boldsymbol{A}=[\boldsymbol{\alpha}_1\ \boldsymbol{\alpha}_2\ \boldsymbol{\alpha}_3]$ 有三个不同的特征值，且满足 $\boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2$ ， $\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3$ 。
+    (1)证明 $\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=2$ ；
+    (2)求方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 的通解。
+
+17. (12分)设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ ， $\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}$ 。
+    (1)证明 $\boldsymbol{A} - \boldsymbol{E}$ 可逆；
+    (2)证明 $\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{BA}$ ；
+    (3)证明 $\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}\boldsymbol{B}$ ；
+    (4)若 $\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}1&-3&0\\2&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}$ ，求矩阵 $\boldsymbol{A}$ 。
+
+18. (12分)已知实矩阵 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}2&2\\2&a\end{bmatrix}$ ， $\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}4&b\\3&1\end{bmatrix}$ 。
+    (1)证明矩阵方程 $\boldsymbol{AX}=\boldsymbol{B}$ 有解但 $\boldsymbol{BY}=\boldsymbol{A}$ 无解的充要条件是 $a\neq2$ ， $b=\frac{4}{3}$ ；
+    (2)证明矩阵 $\boldsymbol{A}$ 相似于 $\boldsymbol{B}$ 的充要条件是 $a=3$ ， $b=\frac{2}{3}$ ；
+    (3)证明矩阵 $\boldsymbol{A}$ 合同于 $\boldsymbol{B}$ 的充要条件是 $a<2$ ， $b=3$ 。

试卷库/线性代数/线代2019秋A.md

@@ -0,0 +1,65 @@
+
+## 一、单选题(共6小题,每小题3分,共18分)
+1. n维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, ..., \boldsymbol{\alpha}_{r}(3 \le r \le n)$ 线性无关的充要条件是【】
+A. 存在一组不全为零的数 $k_{1}, k_{2}, ..., k_{r}$ 使得 $\sum_{i=1}^{r} k_{i} \boldsymbol{\alpha}_{i} ≠0$ 
+B.  $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, ..., \boldsymbol{\alpha}_{r}$ 中任意两个向量都线性无关
+C.  $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, ..., \boldsymbol{\alpha}_{r}$ 中存在一个向量不能用其余向量线性表示
+D.  $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, ..., \boldsymbol{\alpha}_{r}$ 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示
+
+2. 已知 $\boldsymbol{Q}$ 为n阶可逆矩阵， $\boldsymbol{P}$ 为n阶方阵，满足 $\boldsymbol{Q}\boldsymbol{P}=0$ ，则下列命题中正确的是【】
+A.  $\mathrm{rank}(\boldsymbol{P})=0$ 
+B.  $\boldsymbol{P}$ 可逆
+C.  $\boldsymbol{P}$ 不可对角化
+D. 不存在这样的方阵 $\boldsymbol{P}$ 
+
+3. 已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关，则以下向量组中线性相关的是【】
+A.  $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 
+B.  $\boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{4}-\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 
+C.  $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{4}-\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 
+D.  $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{4}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 
+
+4. 设n阶非零方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A}$ ，则下列命题中正确的是【】
+A.  $\boldsymbol{A}$ 只有特征值1
+B.  $\boldsymbol{A}$ 只有特征值0
+C.  $\boldsymbol{A}$ 可对角化
+D.  $\boldsymbol{A}$ 一定不可逆
+
+5. 下列命题中正确的是【】
+A. 等价的矩阵必相似
+B. 合同的矩阵必相似
+C. 合同的矩阵必等价
+D. 等价的矩阵必合同
+
+6. 设 $\boldsymbol{A}$ 是二次型 $f(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})$ 所对应的矩阵，则下列命题中正确的是【】
+A. 若 $f(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})$ 负定，则 $\boldsymbol{A}$ 的任意阶顺序主子式都大于零
+B. 若 $f(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})$ 正定，则 $\boldsymbol{A}$ 的任意阶顺序主子式都大于零
+C. 若 $f(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})$ 半负定，则 $\boldsymbol{A}$ 的任意阶顺序主子式都大于零
+D. 若 $f(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})$ 半正定，则 $\boldsymbol{A}$ 的任意阶顺序主子式都大于零
+
+## 二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
+7. 如果 $\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 0 & 0 & 9 & x \\ 0 & 0 & 11 & 12\end{vmatrix}=0$ ，则 $x=$ _______
+
+8. n阶方阵 $\begin{bmatrix}1 & a & \cdots & a \\ a & 1 & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & \cdots & 1\end{bmatrix}$ 的秩为 $n - 1$ ，且 $n>2$ ，则 $a=$ _______
+
+9. 设 $\boldsymbol{E}$ 为3阶单位矩阵， $\boldsymbol{\alpha}$ 为一个3维单位列向量，则矩阵 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 的全部3个特征值为_______
+
+10. 设二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})=x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}+2x_{3}^{2}+2ax_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}$ 正定，则参数 $a$ 的取值范围是_______
+
+11.  $\begin{bmatrix}1 & a & 0 \\ 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}^{-1}=$ _______
+
+12. 设 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2 & -1 & -1\end{bmatrix}$ ，则 $\boldsymbol{A}^{100}=$ _______
+
+## 三、计算与证明题(共6小题,共64分)
+13. 计算行列式并解方程 $\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 4 + x \\ 1 & 2 & 3 + x & 4 \\ 1 & 2 + x & 3 & 4 \\ 1 + x & 2 & 3 & 4\end{vmatrix}=0$ 。(10分)
+
+14. 设 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1 & a & b \\ 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$ ，其中 $a, b$ 都不等于0
+(1) 对任意自然数 $n \in \mathbb{N}$ ，计算 $\boldsymbol{A}^{n}$ 。(6分)
+(2) 计算 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 。(4分)
+
+15. 设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是线性方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的解，其中 $\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}\end{bmatrix}$ ， $\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \\ b_{4}\end{bmatrix}$ ，现已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}=\begin{bmatrix}2 \\ 2 \\ 4 \\ 6\end{bmatrix}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_{1}+2\boldsymbol{\alpha}_{3}=\begin{bmatrix}0 \\ 3 \\ 0 \\ 6\end{bmatrix}$ ，求该方程组的通解。(10分)
+
+16. 设方阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似，其中 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}-2 & 0 & 0 \\ 2 & x & 2 \\ 3 & 1 & 1\end{bmatrix}$ ， $\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & y\end{bmatrix}$ ，求 $x, y$ 的值及可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{B}$ 。(10分)
+
+17. 已知二次型 $f=x_{1}^{2}+ax_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2bx_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}$ 可经过正交变换 $\begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{bmatrix}=\boldsymbol{P}\begin{bmatrix}y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}\end{bmatrix}$ 化为 $y_{2}^{2}+4y_{3}^{2}$ ，求 $a, b$ 的值和正交矩阵 $\boldsymbol{P}$ 。(12分)
+
+18. 设 $\boldsymbol{A}$ 为n阶可逆矩阵，证明 $\boldsymbol{A}$ 可以相似对角化当且仅当 $\boldsymbol{A}^{2}$ 可以相似对角化。(12分)

试卷库/线性代数/线代2021秋A.md

@@ -0,0 +1,3 @@
+1. 设三阶方阵 \(A=\begin{bmatrix}a&b&b\\b&a&b\\b&b&a\end{bmatrix}\)，其伴随矩阵 \(A^*\) 的秩等于1，则（ ）
+	A. \(a=b\) 且 \(a+2b\neq0\) 
+	B. \(a=b\) 或 \(a+2b\neq0\) C. \(a\neq b\) 且 \(a+2b=0\) D. \(a\neq b\) 且 \(a+2b\neq0\) 2. 设 \(A, B, A+B, A^{-1}+B^{-1}\) 均为 \(n(n\geq2)\) 阶可逆矩阵，则 \((A^{-1}+B^{-1})^{-1}\) 等于（ ） A. \(A^{-1}+B^{-1}\) B. \(A+B\) C. \(A(A+B)^{-1}B\) D. \((A+B)^{-1}\) 3. 设 \(n\) 维向量 \(\alpha, \beta, \gamma\) 与数 \(k, l, m\) 满足 \(k\alpha+l\beta+m\gamma=0\)，且 \(km\neq0\)，则（ ） A. \(\alpha, \beta\) 与 \(\alpha, \gamma\) 等价 B. \(\alpha, \beta\) 与 \(\beta, \gamma\) 等价 C. \(\alpha, \gamma\) 与 \(\beta, \gamma\) 等价 D. \(\alpha\) 与 \(\gamma\) 等价 4. 下列矩阵中，与 \(\begin{bmatrix}4&2&0\\2&4&0\\0&0&-8\end{bmatrix}\) 合同的是（ ） A. \(\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}\) B. \(\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}\) C. \(\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{bmatrix}\) D. \(\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}\) 5. 设 \(\lambda_1, \lambda_2\) 是矩阵 \(A\) 的两个相异特征值，对应的特征向量分别为 \(\alpha_1, \alpha_2\)，则 \(A(\alpha_1+\alpha_2), \alpha_1\) 线性无关的充要条件为（ ） A. \(\lambda_1\neq0\) B. \(\lambda_2\neq0\) C. \(\lambda_1=0\) D. \(\lambda_2=0\) 6. 设 \(A, B\) 均为 \(n\) 阶正定矩阵，则下列矩阵中必为正定矩阵的是（ ） A. \(kAB\)，其中 \(k\) 为常数 B. \(kA^*+lB^*\)，其中 \(kl>0\) C. \(A^{-1}+B^{-1}\) D. \(A^{-1}-B^{-1}\) ## 二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分) 7. 设矩阵 \(A=\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}\)，则矩阵 \(A^3\) 的秩为________。 8. 已知 \(\alpha_1=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \alpha_2=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\) 和 \(\beta_1=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}, \beta_2=\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}\) 为向量空间的两组基，则从 \(\beta_1, \beta_2\) 到 \(\alpha_1, \alpha_2\) 的过渡矩阵为________。 9. 在实数域中，二次型 \(f(x_1, x_2, x_3)=2x_1x_2-2x_1x_3+2x_2x_3\) 的规范形为________。 10. 设5阶实对称矩阵 \(A\) 满足 \(A^2-2A=O\)，\(\text{rank}(A)=3\)，则 \(|A+E|\) 等于________。 11. 设 \(A=[a_{ij}]_{3\times3}\) 是正交矩阵，且 \(a_{33}=1\)，\(b=\begin{bmatrix}0\\0\\3\end{bmatrix}\)，则线性方程组 \(Ax=b\) 的解为________。 12. 设 \(A\) 为三阶方阵，将 \(A\) 的第2列加到第1列得到 \(B\)，再交换 \(B\) 的第2行与第3行得到单位矩阵，则 \(A\) 等于________。 ## 三、计算与证明题(共6小题,共64分) 13. 求多项式 \(f(x)=\begin{vmatrix}x&x&1&2x\\1&x&2&-1\\2&1&x&1\\2&-1&1&x\end{vmatrix}\) 中 \(x^3\) 的系数。(10分) 14. 设三阶方阵 \(A, B\) 满足 \(A^*BA=2BA-8E\)，其中 \(A=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-2&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)，求 \(B\)。(10分) 15. 已知线性方程组 \(\begin{cases}x_1+x_2=0\\-2x_1+2x_2+(2-\lambda)x_3=1\\-4x_1+(5-\lambda)x_2+2x_3=2\end{cases}\)，讨论当 \(\lambda\) 取何值时，方程组有唯一解、无解、有无穷多解，并求出有无穷多解时的通解。(10分) 16. 设 \(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_m\) 均为实数域上的 \(n\) 维列向量，其中 \(m<n\)，证明 \(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_m\) 线性无关的充要条件为 \(B^TB\) 可逆（其中 \(B=[\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_m]\)）。(10分) 17. 已知 \(\alpha=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{bmatrix}, \beta=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{bmatrix}\) 为 \(n\) 维非零列向量，且 \(\beta^T\alpha\neq0\)，\(A=\alpha\beta^T\)，证明 \(A\) 可相似对角化。(12分) 18. 已知实二次型 \(f(x_1, x_2, x_3)=3x_1^2+2x_2^2+ax_3^2+bx_1x_3\)，经过正交变换 \(x=Py\) 得标准形 \(y_1^2+2y_2^2+5y_3^2\)，其中 \(a, b\) 都是非负实数，求正交变换矩阵 \(P\)。(12分)

试卷库/线性代数/线代2022秋A.md

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+## 一、单选题(共6小题,每小题3分,共18分)
+1. 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵,且 $|\boldsymbol{A}| = 5$ ,则 $||\boldsymbol{A}|\boldsymbol{A}^{T}|$ =【】
+A.  $5n$ 
+B.  $5^{n + 1}$ 
+C.  $5^{n - 1}$ 
+D. 25
+
+2. 设 $\boldsymbol{A}$ , $\boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶方阵,则下列命题中正确的是【】
+A.  $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|=|\boldsymbol{A}| + |\boldsymbol{B}|$ 
+B.  $\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{BA}$ 
+C.  $|\boldsymbol{AB}|=|\boldsymbol{BA}|$ 
+D.  $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}^{-1}$ 
+
+3. 下列关于矩阵秩的结论中,错误的是【】
+A. 若矩阵 $\boldsymbol{A}$ , $\boldsymbol{B}$ , $\boldsymbol{C}$ 满足 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{BC}$ 且 $\boldsymbol{B}$ 是列满秩的,则 $\boldsymbol{A}$ 列满秩当且仅当 $\boldsymbol{C}$ 列满秩
+B. 行阶梯形矩阵中1的个数等于矩阵的秩
+C. 设 $\boldsymbol{A}$ , $\boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶方阵,则 $R(\boldsymbol{AB})=R(\boldsymbol{B})$ 的充要条件是线性方程组 $(\boldsymbol{AB})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 与 $\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 同解
+D. 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵,则 $R(\boldsymbol{A}^{n})=R(\boldsymbol{A}^{n + 1})$ 
+
+4. 设 $\boldsymbol{\eta}_{1}$ , $\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的两个不同解, $\boldsymbol{\xi}_{1}$ , $\boldsymbol{\xi}_{2}$ 是导出方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的两个不同解,则:① $\boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解,② $3\boldsymbol{\xi}_{1}+\boldsymbol{\eta}_{1}$ 是 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的解,③ $2\boldsymbol{\xi}_{1}+2\boldsymbol{\xi}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解,④ $2\boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的解,⑤ $\boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}+\boldsymbol{\xi}_{1}$ 是 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的解。上述结论正确的有多少个?【】
+A. 2
+B. 3
+C. 4
+D. 5
+
+5. 已知 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似, $\boldsymbol{C}$ 与 $\boldsymbol{D}$ 相似,则下列命题中正确的是【】
+A.  $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{C}$ 与 $\boldsymbol{B}+\boldsymbol{D}$ 相似
+B.  $\boldsymbol{AC}$ 与 $\boldsymbol{BD}$ 相似
+C.  $\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{I}$ 与 $\boldsymbol{B}^{2}+\boldsymbol{I}$ 相似
+D.  $\boldsymbol{A}^{T}+\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}^{T}+\boldsymbol{B}$ 相似
+
+6. 设 $f(x_{1},x_{2},x_{3})=2x_{1}^{2}+6x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}=C$ ,则此二次曲面是【】
+A.  $C = 0$ 为锥面
+B.  $C>0$ 为椭球面
+C.  $C<0$ 为柱面
+D.  $C = 1$ 为单叶双曲面
+
+## 二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
+1. 设 $\alpha,\beta,\gamma$ 为 $x^{3}+px + q = 0$ 的三个根,则行列式 $\begin{vmatrix}\boldsymbol{\alpha}&\boldsymbol{\beta}&\boldsymbol{\gamma}\\\boldsymbol{\gamma}&\boldsymbol{\alpha}&\boldsymbol{\beta}\\\boldsymbol{\beta}&\boldsymbol{\gamma}&\boldsymbol{\alpha}\end{vmatrix}$ =________
+2. 设 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&1&1\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\a_{1}^{2}&a_{2}^{2}&a_{3}^{2}\end{bmatrix}$ , $\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$ ,其中 $a_{1},a_{2},a_{3}$ 互不相同,线性方程组 $\boldsymbol{A}^{T}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的解为________
+3. 设3阶方阵 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}2&-1&2\\1&0&1\\0&0&2\end{bmatrix}$ ,3维向量 $\boldsymbol{\alpha}=\begin{bmatrix}t\\2\\1\end{bmatrix}$ ,若 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}$ 与 $\boldsymbol{\alpha}$ 线性相关,则 $t=$ ________
+4. 已知 $\|\boldsymbol{a}\| = 2$ , $\|\boldsymbol{b}\| = 5$ ,且 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\frac{2}{3}\pi$ ,若向量 $\boldsymbol{A}=\lambda\boldsymbol{a}+17\boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{B}=3\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$ 垂直,则 $\lambda=$ ________
+5. 已知 $n(n\geq2)$ 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}$ , $\boldsymbol{\beta}$ 满足 $\boldsymbol{\beta}^{T}\boldsymbol{\alpha}=-3$ ,其中 $\boldsymbol{\beta}^{T}$ 为 $\boldsymbol{\beta}$ 的转置,则方阵 $(\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\alpha}^{T})^{2}$ 的非零特征值为________
+6. 已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $m\times n$ 实矩阵(其中 $m < n$ ), $\boldsymbol{I}$ 为 $n$ 阶单位矩阵, $t$ 为实数,则 $\boldsymbol{A}^{T}\boldsymbol{A}+t\boldsymbol{I}$ 为正定矩阵的充分必要条件是实数 $t$ 满足关系式________
+
+## 三、计算题(10分)
+计算 $n$ 阶行列式 $\begin{vmatrix}a&a_{2}&a_{2}&\cdots&a_{2}\\a_{2}&a&a_{2}&\cdots&a_{2}\\a_{2}&a_{2}&a&\cdots&a_{2}\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{2}&a_{2}&a_{2}&\cdots&a\end{vmatrix}$ 
+
+## 四、计算题(10分)
+设直线 $L:\frac{x - 1}{2}=y=\frac{z - 2}{3}$ 与平面 $\pi:2x - y+z - 10 = 0$ 的交点为 $P$ ,求过点 $P$ 且与平面 $\pi$ 垂直的直线方程。
+
+## 五、计算题(10分)
+已知线性方程组 $\begin{cases}\lambda x_{1}-x_{2}-x_{3}=1\\-x_{1}+\lambda x_{2}-x_{3}=-\lambda\\-x_{1}-x_{2}+\lambda x_{3}=\lambda^{2}\end{cases}$ 至少存在两个不同的解,求该线性方程组的通解。
+
+## 六、计算题(10分)
+判定向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\begin{bmatrix}1\\1\\1\\-1\end{bmatrix}$ , $\boldsymbol{\alpha}_{2}=\begin{bmatrix}1\\4\\1\\0\end{bmatrix}$ , $\boldsymbol{\alpha}_{3}=\begin{bmatrix}-1\\2\\-1\\2\end{bmatrix}$ , $\boldsymbol{\alpha}_{4}=\begin{bmatrix}1\\1\\2\\3\end{bmatrix}$ , $\boldsymbol{\alpha}_{5}=\begin{bmatrix}2\\-1\\4\\5\end{bmatrix}$ 的线性相关性,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。
+
+## 七、证明与计算题(共2小题,第1小题4分,第2小题8分,共12分)
+已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ , $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ , $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关,其中 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ , $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ , $\boldsymbol{\alpha}_{3}\in\mathbb{R}^{3}$ , $\boldsymbol{A}$ 为3阶方阵,且 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{1}=2\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}$ , $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+2\boldsymbol{\alpha}_{2}+3\boldsymbol{\alpha}_{3}$ , $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{3}=2\boldsymbol{\alpha}_{1}+4\boldsymbol{\alpha}_{2}+3\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 。
+1. 证明 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{1}$ , $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{2}$ , $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关；
+2. 计算行列式 $|\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|$ ,其中 $\boldsymbol{E}$ 是3阶单位矩阵。
+
+## 八、计算题(12分)
+已知实二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3})=\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$ 在正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{y}$ 下的标准形为 $3y_{1}^{2}+3y_{2}^{2}$ ,且 $\boldsymbol{P}$ 的第3列为 $\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$ ,求 $\boldsymbol{A}$ 。