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微分中值定理与定积分中值定理的综合运用：.md

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+经过对近十年的期末测试题的观察，微分中值定理通常不会单独出题，而是与积分中值定理一起出，本模块旨在通过几道经典的题目，让同学们熟悉微分中值与定积分中值的综合运用。
+首先我们来回顾定积分中值定理：
+>[!note] 定理
+>如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则在积分区间$[a,b]$上至少有一点$\xi$，使
+>$$\int_{a}^{b}f(x) \mathrm{d} x=f(\xi)(b-a)\qquad(a\le\xi\le b)$$
+
+>[!example] 例题1
+>已知函数$f(x)$在$[0,2]$上可导，且$f(0)=0$，$\large{\int}_{1}^{2}f(x)\mathrm{d}x=0$.  证明：至少存在$\xi\in(0,2)$，使得$f'(\xi)=2022f(\xi)$
+
+>[!example] 例题2
+>设函数$f(x)$在闭区间$[0,2]$上可导，且$\large{\int}_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x=0$.证明：至少存在一点$\xi\in(0,2)$，使得$f'(\xi)=\frac{2}{2-\xi}f(\xi)$
+

研讨记录/2026.1.11.md

@@ -0,0 +1,20 @@
+研讨流程：
+1.逐渐分配任务，后续边推进工作边提意见
+2.后期对讲义进行优化
+3.确定主题，目的性寻找真题，思考解题策略，总结方法
+4.先有初步的规划，避免效率太低
+5.把相似的题目直接发群里
+
+讲义建议：
+1.提前发
+2.难题不要和例题混在一起，在讲义后专门列一个模块
+3.高数：第五章开始，知识点细化
+4.线代：模块化复习，部分二级结论的汇总与应用。
+5.编写目标：方法集，直接从集合中调用方法解题
+
+线代：
+1.两个线性方程组同解的必要不充分条件是两个方程组的增广矩阵秩相等，充要条件是增广矩阵对应最简行阶梯行矩阵相等
+2.两个矩阵等价，其对应齐次线性方程组不一定同解
+3.期中考T13：多个线性方程组解的相同<----->与r(An)相等与否<------>列向量组的线性组合
+4.线性方程组解的结构<---->维数
+5.正交矩阵<----->施密特正交化法

笔记分享/LaTeX（KaTeX）输入规范.md

@@ -4,3 +4,4 @@
 3. 微分算子d应当用正体，被微分的表达式用正常的斜体：$\mathrm{d}f(x)=f'(x)\mathrm{d}x$
 4. 极限和求和求积符号用\limits，如$\lim\limits_{x\to0}$和$\sum\limits_{n=0}^{\infty}$
 5. \$\$双美元符号之间不要打回车！除非你有\begin{...}\end{...}\$\$
+6. 矩阵不用加粗，但向量要加粗，用\boldsymbol{}，比如$A,\boldsymbol{x}$。

笔记分享/达布定理.md

@@ -0,0 +1,4 @@
+>[!note] 定理：
+>如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上可导，则其导函数$f'(x)$在$[a,b]$上有介值性质，即若$f(x)$在$[a,b]$上的值域为$[m,M]$,则$\forall \xi\in[m,M]$，总$\exists \eta\in[a,b],$有$\xi=f'(\eta)$.
+
+**证明**：若$m=M$，结论显然成立.若$m<M$,设$f'(x_1)=m,f'(x_2)=M$,不妨设$x_1<x_2$.任取$\xi\in(m,M)$,令$$g(x)=f(x)-\xi x,x\in[a,b].$$于是$g(x)$在$[a,b]$上可导，且$$g'(x_1)=f'(x_1)-\xi<0,g'(x_2)=f'(x_2)-\xi>0.$$由零值定理，$\exists  \eta\in(x_1,x_2) \subset(a,b),g'(\eta)=0\implies f'(\eta)=\xi$，证毕.

素材/1.11题目素材.md

@@ -0,0 +1,64 @@
+设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，则
+(A) $\mathrm{rank}\begin{bmatrix}A&AB\end{bmatrix}=\mathrm{rank}A$
+(B) $\mathrm{rank}\begin{bmatrix}A&BA\end{bmatrix}=\mathrm{rank}A$
+(C) $\mathrm{rank}\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}=\max{\{\mathrm{rank}A,\mathrm{rank}B\}}$
+(D) $\mathrm{rank}\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}A^T&B^T\end{bmatrix}$
+
+（[[1.10线代限时练]]）设 $A$ 是 $m\times n$ 实矩阵， $\beta \neq 0$ 是 $m$ 维实列向量，证明：
+	(1) $\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)$ .
+	(2) 线性方程组 $A^\mathrm{T}Ax = A^\mathrm{T}\beta$ 有解.
+
+设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵， $B$ 是 $n\times m$ 矩阵，$E$ 是 $m$ 阶单位矩阵，若 $AB=E$，则
+(A) $\mathrm{rank}A=m,\mathrm{rank}A=m$
+(B) $\mathrm{rank}A=m,\mathrm{rank}A=n$
+(C) $\mathrm{rank}A=n,\mathrm{rank}A=m$
+(D) $\mathrm{rank}A=n,\mathrm{rank}A=n$
+
+已知 $A,B,C,D$ 都是 $4$ 阶非零矩阵，且 $ABCD=O$，如果 $|BC|\ne 0$，记 $\mathrm{rank}A+\mathrm{rank}B+\mathrm{rank}C+\mathrm{rank}A=r$，则 $r$ 的最大值是
+(A) $11$
+(B) $12$
+(C) $13$
+(D) $14$
+
+已知 $A,B,C$ 都是 $n$ 阶非零矩阵，且 $ABC=O$，$E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，记 $\begin{bmatrix}O&A\\BC&E\end{bmatrix}\begin{bmatrix}AB&C\\O&E\end{bmatrix},\begin{bmatrix}E&AB\\AB&O\end{bmatrix}$ 的秩分别是 $r_1,r_2,r_3$，则
+(A) $r_1 \le r_2 \le r_3$
+(B) $r_1 \le r_3 \le r_2$
+(C) $r_3 \le r_1 \le r_2$
+(D) $r_2 \le r_1 \le r_3$
+
+设 $A,B$ 都是 $n$ 阶矩阵，求证：$\mathrm{rank}(AB-E) \le \mathrm{rank}(A-E)+\mathrm{rank}(B-E)$
+
+设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，$1<r<n$，记 $s=\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}E_r&O\\O&O\end{bmatrix}A)$，则
+(A) $s=r$
+(B) $s=\max{\{r,\mathrm{rank}A\}}$
+(C) $s\le\min{\{r,\mathrm{rank}A\}}$
+(D) $s=\mathrm{rank}A$
+
+设 $A=\begin{bmatrix}3&1&2\\2&a&1\\1&-1&2\end{bmatrix}, B\in\mathbb{R}^{3\times 2}$ 是一个列满秩矩阵.
+(1) 证明 $\mathrm{rank}(AB) \ge 1$ ;
+(2) 若 $\mathrm{rank}(AB)=1$，求参数 $a$ 的值，并给出一个使此式成立的矩阵 $B$ ;
+(3) 对于 (2) 给出的参数 $a$ 的值，举例说明存在这样的矩阵 $B$，使 $\mathrm{rank}(AB)=2$ .
+
+设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$A=A_1A_2A_3$，且 $A_i^2=A_i\ (i=1,2,3)$，证：$\mathrm{rank}(E-A)\le 3(n-\mathrm{rank}A)$ .
+
+已知 $A,B$ 均为 $m\times n$ 阶矩阵，$\beta_1,\beta_2$ 为 $m$ 维列向量，则下列选项中正确的有
+(A) 若 $\mathrm{rank}A=m$，则对于任意 $m$ 维列向量 $b$，$Ax=b$ 总有解.
+(B) 若 $A$ 与 $B$ 等价，则齐次方程组 $Ax=0$ 与 $Bx=0$ 同解.
+(C) 矩阵方程 $AX=B$ 有解，但 $BY=A$ 无界的充要条件是$\mathrm{rank}B<\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}$
+(D) 线性方程组 $Ax=\beta_1$ 与 $Ax=\beta_2$ 同时有解当且仅当$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}A&\beta_1&\beta_2\end{bmatrix}$
+
+（[[1231线性代数考试卷]]）已知方程组$\quad\begin{cases}x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0, \\2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0, \\x_1 + x_2 + ax_3 = 0,\end{cases}$与$\text{(II)} \quad\begin{cases}x_1 + bx_2 + cx_3 = 0, \\2x_1 + b^2x_2 + (c+1)x_3 = 0\end{cases}$同解，则
+   (A) $a = 1, b = 0, c = 1$;  
+   (B) $a = 1, b = 1, c = 2$;  
+   (C) $a = 2, b = 0, c = 1$;  
+   (D) $a = 2, b = 1, c = 2$.
+
+（[[1231线性代数考试卷]]）设矩阵$A = \begin{bmatrix}1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3\end{bmatrix},x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix},b = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},$其中常数 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 互不相等，则线性方程组 $Ax = b$ 的解为$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}.$
+
+（[[1231线性代数考试卷]]）设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，满足$\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B,$ 且方程 $XA = B$ 有解。若 $\operatorname{rank} A = k$，则$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\underline{\hspace{3cm}}.$
+
+（[[1231线性代数考试卷]]）设$A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 6\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a & a-1 \\ 2 & -3 & 2 & -2\end{bmatrix}$,向量$\alpha=\begin{bmatrix}0\\2\\3\end{bmatrix},\beta=\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$.
+     (1)证明：方程组 $Ax=\alpha$ 的解均为方程组 $Bx=\beta$ 的解；
+     (2)若方程组 $Ax=\alpha$ 与方程组 $Bx=\beta$ 不同解，求 $a$ 的值.
+     
+ （[[1231线性代数考试卷]]）设矩阵$A=\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\1&t&0&1\end{bmatrix}$，齐次线性方程组 $Ax=0$ 的基础解系中含有两个解向量，求 $Ax=0$ 的通解。

素材/微分中值定理.md

@@ -0,0 +1,202 @@
+
+>[!example] 例1
+设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $0 < a < b$，试证存在 $\xi, \eta \in (a, b)$，使得  $$f'(\xi) = \frac{a + b}{2\eta} f'(\eta).$$
+
+**解析**：
+本题结论中含有两个不同的中值 $\xi$ 和 $\eta$，且涉及两个不同的函数形式。可考虑分别对 $f(x)$ 和 $g(x)=x^2$ 在 $[a,b]$ 上应用柯西中值定理：
+由柯西中值定理，存在 $\eta \in (a,b)$，使得
+$$
+\frac{f(b)-f(a)}{b^2-a^2} = \frac{f'(\eta)}{2\eta}
+$$
+整理得
+$$
+\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \frac{a+b}{2\eta} f'(\eta)
+$$
+再对 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$，使得
+$$
+\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(\xi)
+$$
+比较两式即得结论。
+
+---
+
+>[!example] 例2
+设函数 $f(x)$ 在 $[0,3]$ 上连续，在 $(0,3)$ 内可导，且 $f(0) + f(1) + f(2) = 3$，$f(3) = 1$，试证必存在 $\xi \in (0, 3)$，使 $f'(\xi) = 0$。
+
+**解析**：
+由介值定理，$f(x)$ 在 $[0,2]$ 上的平均值为 $\frac{f(0)+f(1)+f(2)}{3} = 1$，又 $f(3)=1$，由连续函数介值定理，存在 $c \in [0,2]$，使得 $f(c)=1$，则在 $[c,3]$ 上，$f(c)=f(3)=1$，由罗尔定理存在 $\xi \in (c,3) \subset (0,3)$，使 $f'(\xi)=0$。
+
+---
+
+>[!example] 例3
+设 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0) = f(1) = 0$，$f(1/2) = 1$，试证：  
+(1)存在 $\eta \in (1/2, 1)$，使得 $f(\eta) = \eta$；  
+(2)对任意实数 $\lambda$，必存在 $\xi \in (0, \eta)$，使得 $f'(\xi) - \lambda [f(\xi) - \xi] = 1$。
+
+**解析**：
+(1) 令 $g(x)=f(x)-x$，则 $g(1/2)=1-1/2=1/2>0$，$g(1)=0-1=-1<0$，由零点定理，存在 $\eta \in (1/2,1)$，使 $g(\eta)=0$，即 $f(\eta)=\eta$。  
+(2) 令 $h(x)=e^{-\lambda x}[f(x)-x]$，则 $h(0)=0$，$h(\eta)=0$，由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,\eta)$，使 $h'(\xi)=0$，即
+$$
+e^{-\lambda \xi}[f'(\xi)-1] - \lambda e^{-\lambda \xi}[f(\xi)-\xi] = 0
+$$
+整理得 $f'(\xi) - \lambda [f(\xi) - \xi] = 1$。
+
+---
+
+## 5.2 微分中值定理及其应用
+
+>[!example] 例1
+设函数 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 内可微，且  
+$$f(0) = 0, \quad |f'(x)| \leq 1,$$证明：在 $(-1,1)$ 内，$|f(x)| < 1$。
+
+**解析**：
+对任意 $x \in (-1,1)$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi$ 介于 $0$ 与 $x$ 之间，使得
+$$
+f(x) - f(0) = f'(\xi)(x-0)
+$$
+即 $f(x) = f'(\xi) x$。由于 $|f'(\xi)| \leq 1$，$|x| < 1$，故 $|f(x)| = |f'(\xi)| \cdot |x| < 1$。
+
+---
+
+>[!example] 例2
+设 $a_i \in \mathbb{R} (i = 0,1,2,\cdots,n)$，且满足
+$$a_0 + \frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{3} + \cdots + \frac{a_n}{n+1} = 0，$$证明：方程 $a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n = 0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个实根。
+
+**解析**：
+构造辅助函数
+$$
+F(x) = a_0x + \frac{a_1}{2}x^2 + \frac{a_2}{3}x^3 + \cdots + \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}
+$$
+则 $F(0)=0$，且由条件 $F(1)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使 $F'(\xi)=0$，即
+$$
+a_0 + a_1\xi + a_2\xi^2 + \cdots + a_n\xi^n = 0
+$$
+
+---
+
+>[!example] 例3
+设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且
+$$f(a) = f(b) = 0，\quad f'_+(a)f'_-(b) > 0，$$
+试证明 $f'(x) = 0$ 在 $(a,b)$ 内至少有两个根。
+
+**解析**：
+由导数极限定理及 $f'_+(a)f'_-(b) > 0$，知在 $a$ 右侧和 $b$ 左侧，$f(x)$ 的符号相同，不妨设 $f'_+(a)>0$，$f'_-(b)>0$。则在 $a$ 右侧附近 $f(x)>0$，在 $b$ 左侧附近 $f(x)>0$。由于 $f(a)=f(b)=0$，由极值点的费马定理，$f(x)$ 在 $(a,b)$ 内至少有一个极大值点，该点处导数为零。又因为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $f(a)=f(b)$，由罗尔定理至少存在一点 $c \in (a,b)$ 使 $f'(c)=0$。结合极大值点处的导数零点，可知至少有两个导数为零的点。
+
+---
+
+>[!example] 例4
+设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内二阶可导，又若 $f(x)$ 的图形与联结 $A(a, f(a))$，$B(b, f(b))$ 两点的弦交于点 $C(c, f(c))$ ($a \leq c \leq b$)，证明在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f''(\xi) = 0$。
+
+**解析**：
+弦 $AB$ 的方程为
+$$
+y = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)
+$$
+由条件，$f(c) = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(c-a)$。分别对 $f(x)$ 在 $[a,c]$ 和 $[c,b]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi_1 \in (a,c)$，$\xi_2 \in (c,b)$，使得
+$$
+f'(\xi_1) = \frac{f(c)-f(a)}{c-a} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
+$$
+$$
+f'(\xi_2) = \frac{f(b)-f(c)}{b-c} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
+$$
+故 $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)$。再对 $f'(x)$ 在 $[\xi_1,\xi_2]$ 上应用罗尔定理，存在 $\xi \in (\xi_1,\xi_2) \subset (a,b)$，使 $f''(\xi)=0$。
+
+---
+
+>[!example] 例5（柯西中值定理例）
+试证至少存在一点 $\xi \in (1, e)$，使 $\sin 1 = \cos \ln \xi$。
+
+**解析**：
+考虑函数 $f(x)=\sin(\ln x)$，$g(x)=\ln x$，在 $[1,e]$ 上应用柯西中值定理：
+存在 $\xi \in (1,e)$，使得
+$$
+\frac{f(e)-f(1)}{g(e)-g(1)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}
+$$
+计算得 $f(e)=\sin 1$，$f(1)=0$，$g(e)=1$，$g(1)=0$，$f'(x)=\frac{\cos(\ln x)}{x}$，$g'(x)=\frac{1}{x}$，代入得
+$$
+\frac{\sin 1 - 0}{1-0} = \frac{\cos(\ln \xi)/\xi}{1/\xi} = \cos(\ln \xi)
+$$
+即 $\sin 1 = \cos(\ln \xi)$。
+
+---
+
+## 练习
+
+>[!example] Ex1
+设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导，且 $f'(x) \neq 1$。试证明 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内至多只有一个不动点，即方程 $f(x) = x$ 在 $(a, b)$ 内至多只有一个实根。
+
+**解析**：
+反证法。假设存在两个不动点 $x_1 < x_2$，即 $f(x_1)=x_1$，$f(x_2)=x_2$。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (x_1,x_2)$，使得
+$$
+f'(\xi) = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = \frac{x_2-x_1}{x_2-x_1} = 1
+$$
+与 $f'(x) \neq 1$ 矛盾。故至多只有一个不动点。
+
+---
+
+>[!example] Ex2
+设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上具有二阶导数，且满足
+$$f(0) = 0, \, f(1) = 1, \, f\left(\frac{1}{2}\right) > \frac{1}{4}$$证明：  
+(1)至少存在一点 $\xi \in (0, 1)$，使得 $f''(\xi) < 2$；  
+(2)若对一切 $x \in (0, 1)$，有 $f''(x) \neq 2$，则当 $x \in (0, 1)$ 时，恒有 $f(x) > x^2$。
+
+**解析**：
+(1) 考虑函数 $g(x)=f(x)-x^2$，则 $g(0)=0$，$g(1)=0$，$g(1/2)=f(1/2)-1/4>0$。由极值点的费马定理及罗尔定理，$g(x)$ 在 $(0,1)$ 内存在极大值点 $\eta$，且 $g'(\eta)=0$，$g''(\eta) \leq 0$。即 $f'(\eta)=2\eta$，$f''(\eta) \leq 2$。若 $f''(\eta) < 2$，则取 $\xi=\eta$ 即可；若 $f''(\eta)=2$，则考虑在 $\eta$ 两侧应用拉格朗日中值定理，可找到另一个点 $\xi$ 使得 $f''(\xi)<2$。  
+(2) 用反证法。假设存在 $x_0 \in (0,1)$ 使 $f(x_0) \leq x_0^2$，结合 $f(0)=0$，$f(1)=1$ 和 $f(1/2)>1/4$，利用连续性及中值定理可推出存在 $\xi$ 使 $f''(\xi)=2$，矛盾。
+
+---
+
+>[!example] Ex3
+若 $f(x)$ 可导，试证在其两个零点间一定有 $f(x) + f'(x)$ 的零点。
+
+**解析**：
+设 $a<b$ 为 $f(x)$ 的两个零点，即 $f(a)=f(b)=0$。构造辅助函数 $F(x)=e^x f(x)$，则 $F(a)=F(b)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi \in (a,b)$，使 $F'(\xi)=0$，即
+$$
+e^\xi f(\xi) + e^\xi f'(\xi) = 0
+$$
+因 $e^\xi \neq 0$，故 $f(\xi)+f'(\xi)=0$。
+
+---
+
+>[!example] Ex4
+设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，$(0,1)$ 可导，且 $f(1) = 0$，求证存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $nf(\xi) + \xi f'(\xi) = 0$。
+
+**解析**：
+设辅助函数 $\varphi(x) = x^n f(x)$，则 $\varphi(0)=0$，$\varphi(1)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $\varphi'(\xi)=0$，即
+$$
+n\xi^{n-1} f(\xi) + \xi^n f'(\xi) = 0
+$$
+两边除以 $\xi^{n-1}$ ($\xi>0$)，得 $nf(\xi) + \xi f'(\xi) = 0$。
+
+---
+
+>[!example] Ex5
+设 $f''(x) < 0$，$f(0) = 0$，证明对任意 $x_1 > 0, x_2 > 0$ 有
+$$f(x_1 + x_2) < f(x_1) + f(x_2)$$
+
+**解析**：
+不妨设 $0 < x_1 < x_2$。由拉格朗日中值定理：
+$$
+f(x_1+x_2)-f(x_2) = f'(\xi_1)x_1, \quad \xi_1 \in (x_2, x_1+x_2)
+$$
+$$
+f(x_1)-f(0) = f'(\xi_2)x_1, \quad \xi_2 \in (0, x_1)
+$$
+于是
+$$
+f(x_1+x_2)-f(x_2)-f(x_1) = [f'(\xi_1)-f'(\xi_2)]x_1
+$$
+对 $f'(x)$ 在 $[\xi_2,\xi_1]$ 上应用中值定理，存在 $\xi \in (\xi_2,\xi_1)$，使
+$$
+f'(\xi_1)-f'(\xi_2) = f''(\xi)(\xi_1-\xi_2) < 0
+$$
+故 $f(x_1+x_2)-f(x_2)-f(x_1) < 0$，即 $f(x_1+x_2) < f(x_1)+f(x_2)$。
+
+---
+
+## 解题方法总结
+1. **含一个中值的等式或根的存在**：多用罗尔定理，可用原函数法找辅助函数。
+2. **结论涉及含中值的两个不同函数**：可考虑用柯西中值定理。
+3. **结论中含两个或两个以上的中值**：必须多次应用中值定理。
+4. **已知条件中含高阶导数**：多考虑用泰勒公式，有时也可考虑对导数用中值定理。
+5. **结论为不等式**：要注意适当放大或缩小的技巧。

素材/微分中值定理的不等式问题.md

@@ -0,0 +1,134 @@
+
+## 微分中值定理证明不等式的要点归纳
+
+### 1. **识别不等式结构**
+   - 若不等式形如 $f(b) - f(a)$ 与 $b-a$ 的关系，或含有函数值差与自变量差之商，可考虑**拉格朗日中值定理**。
+   
+
+### 2. **选择合适定理与辅助函数**
+   - **拉格朗日定理**：常用于"单函数"差值型不等式，构造 $f(x)$ 使 $f'(\xi)$ 出现在不等式中。
+   - **柯西定理**：适用于"双函数"比值型不等式，构造 $f(x), g(x)$ 使 $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ 出现。
+   - **辅助函数构造**：常借助常见函数如 $\ln x, e^x, x^n, \arctan x, \sin x, \cos x$ 等，通过求导形式匹配目标。
+
+### 3. **利用导数单调性估计中值**
+   - 应用中值定理得到含 $\xi$ 的表达式后，可以通过函数极值的求法求出其最大最小值进行比较
+
+
+## 例一
+设 $e < a < b < e^2$，证明：
+$$
+\ln^2 b - \ln^2 a > \frac{4}{e^2}(b-a).
+$$
+
+**证明**：  
+考虑函数 $f(x) = \ln^2 x$，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$，使得
+$$
+\frac{\ln^2 b - \ln^2 a}{b-a} = f'(\xi) = \frac{2\ln \xi}{\xi}.
+$$
+令 $g(x) = \dfrac{2\ln x}{x}$，求导得
+$$
+g'(x) = \frac{2(1-\ln x)}{x^2}.
+$$
+当 $x > e$ 时，$\ln x > 1$，故 $g'(x) < 0$，即 $g(x)$ 在 $(e, +\infty)$ 上单调递减。  
+由于 $e < a < \xi < b < e^2$，所以
+$$
+g(\xi) > g(e^2) = \frac{2\ln e^2}{e^2} = \frac{4}{e^2}.
+$$
+因此
+$$
+\frac{\ln^2 b - \ln^2 a}{b-a} > \frac{4}{e^2},
+$$
+即
+$$
+\ln^2 b - \ln^2 a > \frac{4}{e^2}(b-a).
+$$
+证毕。
+## 例2
+设 $a > e$，$0 < x < y < \dfrac{\pi}{2}$，证明：
+$$
+a^y - a^x > (\cos x - \cos y) \cdot a^x \ln a.
+$$
+
+**证明**：  
+令 $f(t) = a^t$，则 $f(t)$ 在 $[x, y]$ 上连续，在 $(x, y)$ 内可导。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (x, y)$，使得
+$$
+\frac{a^y - a^x}{\cos x - \cos y}  = \frac{a^\xi \ln a}{\sin \xi }
+$$
+ $$\frac{a^\xi \ln a}{\sin \xi }>a^\xi \ln a>a^x \ln a$$
+ 证毕
+## 例3
+证明：当 $x>0$ 时，
+$$
+\frac{\arctan x}{\ln(1+x)} \leq \frac{1+\sqrt{2}}{2}.
+$$
+
+**证明**：  
+考虑函数 $f(t) = \arctan t$ 与 $g(t) = \ln(1+t)$，两者在 $[0, x]$ 上连续，在 $(0, x)$ 内可导，且 $g'(t) = \frac{1}{1+t} \neq 0$。由柯西中值定理，存在 $\xi \in (0, x)$，使得
+$$
+\frac{\arctan x}{\ln(1+x)} = \frac{f(x) - f(0)}{g(x) - g(0)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{1/(1+\xi^2)}{1/(1+\xi)} = \frac{1+\xi}{1+\xi^2}.
+$$
+令 $\phi(\xi) = \dfrac{1+\xi}{1+\xi^2}$，则
+$$
+\phi'(\xi) = \frac{(1+\xi^2) - (1+\xi) \cdot 2\xi}{(1+\xi^2)^2} = \frac{1 - 2\xi - \xi^2}{(1+\xi^2)^2} = \frac{2 - (1+\xi)^2}{(1+\xi^2)^2}.
+$$
+令 $\phi'(\xi) = 0$，得 $(1+\xi)^2 = 2$，因 $\xi > 0$，故 $\xi = \sqrt{2} - 1$。  
+当 $0 < \xi < \sqrt{2} - 1$ 时，$\phi'(\xi) > 0$；当 $\xi > \sqrt{2} - 1$ 时，$\phi'(\xi) < 0$。  
+因此 $\phi(\xi)$ 在 $\xi = \sqrt{2} - 1$ 处取得最大值：
+$$
+\phi(\sqrt{2} - 1) = \frac{1 + (\sqrt{2} - 1)}{1 + (\sqrt{2} - 1)^2} = \frac{\sqrt{2}}{1 + (3 - 2\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{2}}{4 - 2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2(2 - \sqrt{2})}.
+$$
+化简：
+$$
+\frac{\sqrt{2}}{2(2 - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}(2 + \sqrt{2})}{4} = \frac{2\sqrt{2} + 2}{4} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}.
+$$
+于是对任意 $\xi > 0$，有 $\phi(\xi) \leq \dfrac{1+\sqrt{2}}{2}$，从而
+$$
+\frac{\arctan x}{\ln(1+x)} \leq \frac{1+\sqrt{2}}{2}, \quad x > 0.
+$$
+等号在 $\xi = \sqrt{2} - 1$ 时成立，即存在 $x > 0$ 使等号成立。证毕。
+
+## 例3
+  
+(1) 证明：存在 $\theta \in (0, 1)$ 使得 $\ln(1+x) - \ln\left(1+\frac{x}{2}\right) = \frac{x}{2+(1+\theta)x}, \, x > 0$;  
+(2) 证明不等式 
+$$
+\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} < e\left(1+\frac{1}{2n}\right),
+$$ 
+其中 $n$ 为正整数。
+
+## 解答
+
+**证明**  
+（1）对 $x > 0$ 定义函数 $f(t) = \ln(1+t), t \in \left[\frac{x}{2}, x\right]$,  
+由拉格朗日中值定理知：存在 $\theta \in (0, 1)$ 使得  
+
+$$
+\begin{aligned}
+f(x) - f\left(\frac{x}{2}\right) &= \ln(1+x) - \ln\left(1+\frac{x}{2}\right) \\
+&= \frac{1}{1+\frac{x}{2}+\theta} \cdot \frac{x}{2} \\
+&= \frac{x}{2+(1+\theta)x}.
+\end{aligned}
+$$
+
+（2）不等式两边取对数，可知仅证明 $(n+1)\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) < 1 + \ln\left(1+\frac{1}{2n}\right)$ 即可。  
+
+令 $F(x) = x + x\ln\left(1+\frac{x}{2}\right) - (x+1)\ln(1+x), x \geq 0$，则由（1）知  
+
+$$
+\begin{aligned}
+F'(x) &= 1 + \frac{\frac{x}{2}}{1+\frac{x}{2}} + \ln\left(1+\frac{x}{2}\right) - 1 - \ln(1+x) \\
+&= \frac{\frac{x}{2}}{1+\frac{x}{2}} - \left[\ln(1+x) - \ln\left(1+\frac{x}{2}\right)\right] \\
+&= \frac{\frac{x}{2}}{1+\frac{x}{2}} - \frac{\frac{x}{2}}{1+(1+\theta)\frac{x}{2}} \\
+&= \frac{\frac{x}{2}}{1+\frac{x}{2}} - \frac{\frac{x}{2}}{1+\frac{x}{2}} = 0.
+\end{aligned}
+$$
+
+因此 $F(x) > F(0) = 0, x > 0$。即 $(x+1)\ln(1+x) < x + x\ln\left(1+\frac{x}{2}\right), x > 0$。  
+
+令 $x = \frac{1}{n}$，则有 $(n+1)\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) < 1 + \ln\left(1+\frac{1}{2n}\right)$。因此对任意正整数 $n$ 有不等式  
+
+$$
+\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} < e\left(1+\frac{1}{2n}\right)
+$$
+
+成立。

素材/特征值.md

@@ -0,0 +1,32 @@
+
+>[!note] 定理
+>秩为$1$的矩阵$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$的特征值有如下特征：（1）$0$为其特征值，且代数重数和几何重数均为$n-1$；（2）它的另一个特征值为$\mathrm{tr}(A)$.
+
+**证明：**
+根据迹的定义，只需要证明（1）。
+因为$r(A)=1<n$,所以$|A|=0$，故$0$是$A$的一个特征值。考虑齐次线性方程组$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$.由于$r(A)=1$，$\mathrm{dim}N(A)=n-1$，所以特征值$0$的几何重数为$n-1$。若$0$的代数重数为$n$，则$A\sim O$,而相似必等价，故$r(A)=0$，矛盾。又代数重数必定不小于几何重数，所以$0$的代数重数为$n-1$。
+特殊地，如果$A=\beta^T\alpha$,则$\mathrm{tr}(A)=\alpha\beta^T$.
+
+>[!example] 例1
+>设 $E$ 为 $3$ 阶单位矩阵，$\alpha$ 为一个 $3$ 维单位列向量，则矩阵 $E-\alpha\alpha^T$ 的全部 $3$ 个特征值为$\underline{\qquad}$。
+
+**解：**
+设 $B=\alpha\alpha^T$，该矩阵为**秩 $1$ 矩阵**（因 $\alpha$ 是单位列向量，$\alpha^T\alpha=1$）。
+
+• 秩 $1$ 矩阵的特征值性质：非零特征值为矩阵的迹 $\text{tr}(B)=\alpha^T\alpha=1$，其余 $n-1=2$ 个特征值为 $0$（秩 $1$ 矩阵的非零特征值个数等于秩）。
+
+• 若 $B\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$（$\boldsymbol{x}$为特征向量），则 $(E-B)\boldsymbol{x}=(1-\lambda)\boldsymbol{x}$，即$E-B$ 的特征值为 $1-\lambda$。
+
+$代入 B 的特征值 \lambda=1,0,0，得 E-B 的特征值为 1-1=0，1-0=1，1-0=1，即 1,1,0$。
+
+>[!example] 例2
+>已知 $n(n\geq2)$维列向量 $\alpha,\beta$ 满足 $\beta^T\alpha=-3$，则方阵 $(\beta\alpha^T)^2$ 的非零特征值为$\underline{\qquad}$。
+
+**解：**
+设 $A=\beta\alpha^T$（秩 1 矩阵），计算 $A^2$：
+
+$A^2=(\beta\alpha^T)(\beta\alpha^T)=\beta(\alpha^T\beta)\alpha^T=(\alpha^T\beta)A$
+
+• 注意：$\alpha^T\beta=(\beta^T\alpha)^T$（矩阵转置性质），而 $\beta^T\alpha=-3$（数，转置等于自身），故 $\alpha^T\beta=-3$，因此 $A^2=-3A$。
+
+• 秩 $1$ 矩阵 $A$ 的非零特征值为 $\text{tr}(A)=\alpha^T\beta=-3$，设 $A\boldsymbol{x}=-3\boldsymbol{x}$，则 $A^2\boldsymbol{x}=(-3)A\boldsymbol{x}=(-3)^2\boldsymbol{x}=9\boldsymbol{x}$，即 $A^2$ 的非零特征值为 $9$。

素材/特征值与相似.md

@@ -0,0 +1,2 @@
+
+$设 E 为 3 阶单位矩阵，\alpha 为一个 3 维单位列向量，则矩阵 E-\alpha\alpha^T 的全部 3 个特征值为\underline{\qquad}。$

素材/用秩的不等式“夹逼”出确切值.md

@@ -0,0 +1,26 @@
+
+>[!information] 做题思路
+>通过矩阵的秩的不等式，最大限度限制所求的表达式的取值范围，或者将其**限制到一个具体的值**.
+>在希望求一个矩阵的秩的确切值时，也可以考虑用不等式关系来“夹逼”，常见的不等式：
+>1. $\mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}-n\le\mathrm{rank}(\boldsymbol{AB})\le\min{\{\mathrm{rank}\boldsymbol{A}, \mathrm{rank}\boldsymbol{B}\}}$
+>2. $\mathrm{rank}(\boldsymbol{A+B})<\mathrm{rank}\boldsymbol A+\mathrm{rank}\boldsymbol B$
+>3. 矩阵加边不会减小秩；
+>
+>特别的，在遇到诸如 $AB=O$ 的情况，务必要想到$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}-n\le\mathrm{rank}(\boldsymbol{AB}) \Rightarrow \mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}\le n$
+
+9. （20分）设 $A$ 是 $m\times n$ 实矩阵， $\beta \neq 0$ 是 $m$ 维实列向量，证明：
+	(1) $\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)$ .
+	(2) 线性方程组 $A^\mathrm{T}Ax = A^\mathrm{T}\beta$ 有解.
+ 证明如下：
+>(1)（10分）
+> 对于方程组$Ax=0$ (a)和 $A^\mathrm{T}Ax=0$ (b)，b的解空间一定包含a的解空间（5分）；
+>而方程b两边同时乘以$x^\mathrm{T}$，得 $x^\mathrm{T}A^\mathrm{T}Ax=0$ ，即 $(x^\mathrm{T}A^\mathrm{T})(Ax)=0 \to Ax=0$，
+>所以a的解空间包含b的解空间（5分），
+>所以a,b同解，所以$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}{A^\mathrm{T}A}$
+>(2) （10分）
+>$A^\mathrm{T}Ax=A^\mathrm{T}\beta \iff \mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)=\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}A^\mathrm{T}A&A^\mathrm{T}\beta\end{bmatrix})$
+>而由(1)的结论得等式左边 $\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)=\mathrm{rank}A$；
+><span style="color:#ffff22;">关键步骤！</span> 等式右边 $\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}A^\mathrm{T}A&A^\mathrm{T}\beta\end{bmatrix})\ge \mathrm{rank}A^\mathrm{T}A=\mathrm{rank}A$ （5分）
+><span style="color:#ffff22;">关键步骤！</span> 又$\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}\begin{bmatrix}A&\beta\end{bmatrix})\le \min{(\mathrm{rank}A^\mathrm{T},\ \mathrm{rank}\begin{bmatrix}A&\beta\end{bmatrix})}=\mathrm{rank}A$ （5分）
+>所以$\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}A^\mathrm{T}A&A^\mathrm{T}\beta\end{bmatrix})=\mathrm{rank}A$
+>故 $\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)=\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}A^\mathrm{T}A&A^\mathrm{T}\beta\end{bmatrix})$ 得证.

素材/秩的不等式.md

@@ -0,0 +1,63 @@
+# 一般式
+
+## 1. 和的秩不超过秩的和
+
+设 $A, B$ 为同型矩阵，则  
+$$ \operatorname{rank}(A+B) \leq \operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B $$
+
+## 2. 积的秩不超过任何因子的秩
+
+设 $A_{m \times n}, B_{n \times k}$，则  
+$$ \operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank} A, \operatorname{rank} B\} $$
+
+## 3. 重要不等式
+
+设 $A_{m \times n}, B_{n \times k}$，则  
+$$ \operatorname{rank}(AB) \geq \operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B - n $$ 
+特别地，当 $AB = 0$ 时，有 $\operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B \leq n$。 
+
+# 分块式
+
+设 $A_{n \times n}$， $B_{n \times n}$，则
+
+$$(1)\ \mathrm{rank}  
+
+\begin{bmatrix}
+A \\
+B
+\end{bmatrix} \geq \text{rank } A, \quad \text{rank } 
+\begin{bmatrix}
+A \\
+B
+\end{bmatrix} \geq \text{rank } B
+$$
+
+$$(2)\ \mathrm{rank}  
+\begin{bmatrix}
+A & 0 \\
+0 & B
+\end{bmatrix} = \text{rank } A + \text{rank } B
+$$
+
+$$(3)\ \mathrm{rank}  
+\begin{bmatrix}
+A & E_n \\
+0 & B
+\end{bmatrix} \geq \text{rank } A + \text{rank } B
+$$
+
+$$(4)\ \mathrm{rank}  
+\begin{bmatrix}
+A & 0 \\
+0 & B
+\end{bmatrix} = \text{rank } 
+\begin{bmatrix}
+A & B \\
+0 & B
+\end{bmatrix} = \text{rank } 
+\begin{bmatrix}
+A + B & B \\
+B & B
+\end{bmatrix} \geq \text{rank } (A + B)
+$$
+

素材/线性方程组同解.md

@@ -0,0 +1,30 @@
+## **$Ax=0$与$Bx=0$同解问题**：
+充要条件：$rankA=rankB=rank\begin{bmatrix} A \\ B\end{bmatrix}$.
+$Ax=\alpha$ 与$Bx=\beta$同解问题：
+充要条件：$rank\begin{bmatrix} A & \alpha\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} B &\beta\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} A &\alpha\\ B&\beta\end{bmatrix}$.
+
+如何理解（非严格证明，目的是便于理解）：
+首先，为了简化问题，我们只考虑齐次线性方程组同解问题，对于$Ax=0$与$Bx=0$，
+考虑这两个齐次线性方程组的解空间，分别记为$N(A)$,$N(B)$,这两个集合是完全相同的，
+可以得到$N(A)\subset N(B)$,以及$N(B)\subset N(A)$.
+$N(A)\subset N(B)$可以得到什么呢？
+
+
+说明$Ax=0$的解比较少，$Bx=0$的解比较多，一个方程组解多就说明他的方程限制相对宽松，解少则说明方程要求比较严格。换言之，$Bx=0$的每个方程是由$Ax=0$的方程线性表示的,同理$N(B)\subset N(A)$ 可以得到 $Ax=0$ 的每个方程是由 $Bx=0$ 的方程线性表示的，进而说明这两个系数矩阵的行向量能够互相线性表示，即行向量组等价.用秩的语言表示：$rankA=rankB=rank\begin{bmatrix} A \\ B\end{bmatrix}$.
+
+另一个角度：这两个矩阵化成最简行阶梯型，是相同的，进行化简的时候只用到行变换，故它们的行向量组等价.
+
+需要注意的是,这个条件是充要的.非常的好用.
+非齐次的时候同理.
+
+注意：由此，我们还能得到一些别的结论
+例如：$A$ 和 $B$ 等价（可以通过初等变换得到），并不能得到两方程同解，因为等价的初等变换可能包括初等列变换，而列变换可能改变两方程的解
+
+>[!example] 例1
+>6. 已知方程组$\quad\begin{cases}x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0, \\2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0, \\x_1 + x_2 + ax_3 = 0,\end{cases}$   与$\quad\begin{cases}x_1 + bx_2 + cx_3 = 0, \\2x_1 + b^2x_2 + (c+1)x_3 = 0\end{cases}$同解，则
+   (A) $a = 1, b = 0, c = 1$;  
+   (B) $a = 1, b = 1, c = 2$;  
+   (C) $a = 2, b = 0, c = 1$;  
+   (D) $a = 2, b = 1, c = 2$.
+
+解析：类似于方程 $AX = B$ 有解的充要条件是$\text{rank} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} = \text{rank}A$，由方程 $XA = B$ 有解可知 $\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B=\text{rank}A=k$，由初等变换不改变秩得$$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ O & E \end{bmatrix}=n+k$$

素材/线性方程组的系数矩阵与解关系.md

@@ -0,0 +1,90 @@
+这是一个链接了方程组解空间与方程组系数秩的公式
+
+>[!note] 秩零化度定理：
+>对于齐次方程组 ${A}_{m \times n}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$，设$\mathrm{rank}{A}=r$，则
+> $$\dim N({A})=n-r$$
+
+
+>[!example] 例1
+>已知三阶方阵 $A=\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\end{bmatrix}$ 有三个不同的特征值，其中$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，若 $\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$ ，求线性方程组 $A\boldsymbol{x}=\beta$ 的通解.
+
+**答案：**
+ $$\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$$
+**分析：** 在求解非齐次方程组通解的题目中，若是题目给出了特解与齐次方程组的解，那么大概率来说这个齐次方程组的解就可以拓展为齐次方程组通解（根据问题导向，不然写不出来了），那么如何由齐次方程组的解拓展为齐次方程组通解呢，那就要根据题目具体的条件进行分析了，这就要用到我们的解零度化定理来求齐次方程组解空间的维数
+**解析：** 由 $\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$ 可得 $A$ 的列向量组线性相关， $|A|=0$；又因为 $A$ 的三个特征值各不相同，故 $A$ 有两个不为零的特征值 $\lambda_1,\lambda_2$，且 $A$ 可相似对角化，即 $A=P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P$，$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P)=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}=2$
+故 $Ax=0$ 的解空间维数是 $1$ （5分）
+$\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$，所以 $(1,3,4)^\mathrm{T}$ 为特解；（5分）
+$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，所以$A\begin{bmatrix}2k\\k\\-k\end{bmatrix}=2\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3=0$，所以 $(2,1,-1)^\mathrm{T}$ 为基础解系；（10分）
+解空间维数是 $1$ ，方程的解 $\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$ 维数是 $1$，该解完备
+
+
+ >[!example] 例2
+ >设 $$A = \begin{bmatrix} 
+1 & -1 & 0 & -1 \\ 
+1 & 1 & 0 & 3 \\ 
+2 & 1 & 2 & 6 
+\end{bmatrix}, \quad 
+B = \begin{bmatrix} 
+1 & 0 & 1 & 2 \\ 
+1 & -1 & a & a-1 \\ 
+2 & -3 & 2 & -2 
+\end{bmatrix}, 
+\quad 
+\alpha = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad 
+\beta = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$$
+(1) 证明：方程组 $Ax = \alpha$ 的解均为方程组 $Bx = \beta$ 的解；
+$\quad$
+(2) 若方程组 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 与方程组 $B\boldsymbol{x} = \beta$ 不同解，求 $a$ 的值。
+
+**解：**
+(1) 由于
+$$
+\begin{bmatrix}
+A \quad \alpha \\
+B \quad \beta 
+\end{bmatrix} =
+\begin{bmatrix}
+1 & -1 & 0 & -1 & 0 \\
+1 & 1 & 0 & 3 & 2 \\
+2 & 1 & 2 & 6 & 3 \\
+1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\
+1 & -1 & a & a-1 & 0 \\
+2 & -3 & 2 & -2 & -1 
+\end{bmatrix}
+\rightarrow
+\begin{bmatrix}
+1 & -1 & 0 & -1 & 0 \\
+0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\
+0 & 0 & 2 & 2 & 0 \\
+0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
+0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
+0 & 0 & 0 & 0 & 0 
+\end{bmatrix},
+$$
+故 
+$$
+\mathrm{rank} \begin{bmatrix}A&\alpha\\B&\beta\end{bmatrix} = \mathrm{rank}[A\ \alpha],
+$$
+从而方程组 
+$$
+\begin{cases}
+A\boldsymbol{x} = \alpha \\
+B\boldsymbol{x} = \beta
+\end{cases}
+$$
+与 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 同解，故 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 的解均为 $B\boldsymbol{x} = \beta$ 的解。
+
+(2) 分析：不同解，却要可以求出$a$的具体值，说明这是一个与秩相关的题，而与解相关的秩的问题我们就可以考虑解零度化定理
+由于 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 的解均为 $Bx = \beta$ 的解，若 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 与 $B\boldsymbol{x} = \beta$ 同解，则与题意矛盾，故 $Ax = \alpha$ 的解是 $Bx = \beta$ 解的真子集。于是 $Ax = 0$ 的基础解系中解向量的个数小于 $B\boldsymbol{x} = 0$ 的基础解系中解向量的个数，即
+$$
+4 - r(A) < 4 - r(B),
+$$
+故 $r(A) > r(B)$。又因 $r(A) = 3$，故 $r(B) < 3$，则
+$$
+\left| \begin{array}{ccc}
+1 & 0 & 1 \\
+1 & -1 & a \\
+2 & -3 & 2 
+\end{array} \right| = 0,
+$$
+解得 $a = 1$。

素材/罗尔定理与拉格朗日中值定理.md

@@ -0,0 +1,137 @@
+## **罗尔定理**
+### **原理**
+若函数 f(x) 满足以下三个条件：
+在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
+在开区间 $(a,b)$ 内可导；
+区间端点函数值相等，即 $f(a)=f(b)$；
+则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f'(\xi)=0$。
+罗尔定理的几何意义为：满足条件的函数曲线在区间内至少有一条水平切线。
+它是拉格朗日中值定理（$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$）当 $f(a)=f(b)$ 时的特例。
+
+### **适用条件**
+罗尔定理的核心适用题型是证明导函数方程 $f'(\xi)=0$ 在区间 $(a,b)$ 内有根以及衍生的相关证明题。
+具体可分为以下几类：
+1.直接证明 $f'(\xi)$=0 存在根
+题目给出函数 f(x) 在 $[a,b]$ 上的连续性、$(a,b)$ 内的可导性，且满足 $f(a)=f(b)$，直接应用罗尔定理证明存在 $\xi\in(a,b)$ 使得 $f'(\xi)=0$。
+2.构造辅助函数证明导函数相关方程有根
+对于形如 $f'(\xi)+g(\xi)f(\xi)=0$、$f''(\xi)=0$ 等方程，需构造满足罗尔定理条件的辅助函数 $F(x)$，通过 $F(a)=F(b)$ 推导 $F'(\xi)=0$，进而等价转化为目标方程。
+3.结合多次罗尔定理证明高阶导数零点存在
+若函数 f(x) 有 n+1 个点的函数值相等，可多次应用罗尔定理，证明其 n 阶导数 $f^{(n)}(\xi)=0$ 在对应区间内有根。
+4.证明函数恒为常数（反证法结合罗尔定理）
+若 $f'(x)\equiv0$ 在区间内成立，可通过反证法假设存在两点函数值不等，结合罗尔定理推出矛盾，进而证明函数为常数。
+
+罗尔定理针对于一个函数，不同于柯西中值定理针对于两个函数
+
+### **例题**
+>[!example] 例1
+设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，$(0,1)$ 可导，且 $f(1) = 0$，求证存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $nf(\xi) + \xi f'(\xi) = 0$。
+
+**解析**：
+设辅助函数 $\varphi(x) = x^n f(x)$，则 $\varphi(0)=0$，$\varphi(1)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $\varphi'(\xi)=0$即
+$$
+n\xi^{n-1} f(\xi) + \xi^n f'(\xi) = 0
+$$
+两边除以 $\xi^{n-1}$ ($\xi>0$)，得 $nf(\xi) + \xi f'(\xi) = 0$。
+
+
+
+>[!example] 例2
+设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且
+$$f(a) = f(b) = 0，\quad f'_+(a)f'_-(b) > 0，$$
+试证明 $f'(x) = 0$ 在 $(a,b)$ 内至少有两个根。
+
+
+**解析**：
+由导数极限定理及 $f'_+(a)f'_-(b) > 0$，知在 $a$ 右侧和 $b$ 左侧，$f(x)$ 的符号相同，不妨设 $f'_+(a)>0$，$f'_-(b)>0$。则在 $a$ 右侧附近 $f(x)>0$，在 $b$ 左侧附近 $f(x)>0$。由于 $f(a)=f(b)=0$，由极值点的费马定理，$f(x)$ 在 $(a,b)$ 内至少有一个极大值点，该点处导数为零。又因为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $f(a)=f(b)$，由罗尔定理至少存在一点 $c \in (a,b)$ 使 $f'(c)=0$。结合极大值点处的导数零点，可知至少有两个导数为零的点。
+
+
+
+>[!example] 例3
+设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上具有二阶导数，且满足
+$$f(0) = 0, \, f(1) = 1, \, f\left(\frac{1}{2}\right) > \frac{1}{4}$$证明：  
+(1)至少存在一点 $\xi \in (0, 1)$，使得 $f''(\xi) < 2$；  
+(2)若对一切 $x \in (0, 1)$，有 $f''(x) \neq 2$，则当 $x \in (0, 1)$ 时，恒有 $f(x) > x^2$。
+
+**解析**：
+(1) 考虑函数 $g(x)=f(x)-x^2$，则 $g(0)=0$，$g(1)=0$，$g(1/2)=f(1/2)-1/4>0$。由极值点的费马定理及罗尔定理，$g(x)$ 在 $(0,1)$ 内存在极大值点 $\eta$，且 $g'(\eta)=0$，$g''(\eta) \leq 0$。即 $f'(\eta)=2\eta$，$f''(\eta) \leq 2$。若 $f''(\eta) < 2$，则取 $\xi=\eta$ 即可；若 $f''(\eta)=2$，则考虑在 $\eta$ 两侧应用拉格朗日中值定理，可找到另一个点 $\xi$ 使得 $f''(\xi)<2$。  
+(2) 用反证法。假设存在 $x_0 \in (0,1)$ 使 $f(x_0) \leq x_0^2$，结合 $f(0)=0$，$f(1)=1$ 和 $f(1/2)>1/4$，利用连续性及中值定理可推出存在 $\xi$ 使 $f''(\xi)=2$，矛盾。
+
+## **拉格朗日中值定理**
+### **原理**
+若函数 f(x) 满足两个条件:
+在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
+在开区间 $(a,b)$ 内可导；
+则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得
+$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$
+也可写成等价形式 $f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
+是罗尔定理的推广，同时也是柯西中值定理的特例。其几何意义为：满足条件的函数曲线在区间 (a,b) 内，至少存在一点的切线与连接端点 (a,f(a)) 和 (b,f(b)) 的弦平行。
+
+### **适用条件**
+拉格朗日中值定理的核心适用题型是建立函数增量与导数的关联，进行不等式的证明，这是最常见的题型。通过对目标函数在指定区间上应用拉格朗日中值定理，得到 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$，再利用导数 $f'(\xi)$ 的取值范围（有界性、正负性）放大或缩小式子，推导不等式。
+
+### **例题**
+
+>[!example] 例1
+设函数 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 内可微，且  
+$$f(0) = 0, \quad |f'(x)| \leq 1,$$证明：在 $(-1,1)$ 内，$|f(x)| < 1$。
+
+**解析**：
+对任意 $x \in (-1,1)$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi$ 介于 $0$ 与 $x$ 之间，使得
+$$
+f(x) - f(0) = f'(\xi)(x-0)
+$$
+即 $f(x) = f'(\xi) x$。由于 $|f'(\xi)| \leq 1$，$|x| < 1$，故 $|f(x)| = |f'(\xi)| \cdot |x| < 1$。
+
+
+>[!example] 例2
+设 $f''(x) < 0$，$f(0) = 0$，证明对任意 $x_1 > 0, x_2 > 0$ 有
+$$f(x_1 + x_2) < f(x_1) + f(x_2)$$
+
+**解析**：
+不妨设 $0 < x_1 < x_2$。由拉格朗日中值定理：
+$$
+f(x_1+x_2)-f(x_2) = f'(\xi_1)x_1, \quad \xi_1 \in (x_2, x_1+x_2)
+$$
+$$
+f(x_1)-f(0) = f'(\xi_2)x_1, \quad \xi_2 \in (0, x_1)
+$$
+于是
+$$
+f(x_1+x_2)-f(x_2)-f(x_1) = [f'(\xi_1)-f'(\xi_2)]x_1
+$$
+对 $f'(x)$ 在 $[\xi_2,\xi_1]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (\xi_2,\xi_1)$，使
+$$
+f'(\xi_1)-f'(\xi_2) = f''(\xi)(\xi_1-\xi_2) < 0
+$$
+故 $f(x_1+x_2)-f(x_2)-f(x_1) < 0$，即 $f(x_1+x_2) < f(x_1)+f(x_2)$。
+
+
+>[!example] 例3
+ 设 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内二阶可导，且 $f''(x) \neq 0$。
+（1）证明：对于任何非零实数 $x$，存在唯一的 $\theta(x)$ ($0<\theta(x)<1$)，使得
+   $$f(x) = f(0) + x f'(x\theta(x));$$
+   （2）求
+   $$\lim_{x \to 0} \theta(x).$$
+
+解：
+1. 证： 对于任何非零实数 $x$，由中值定理，存在 $\theta(x)$ $(0<\theta(x)<1)$，使得
+
+$$
+f(x)=f(0)+x f'(x\theta(x)).
+$$
+
+如果这样的 $\theta(x)$ 不唯一，则存在 $\theta_{1}(x)$ 与 $\theta_{2}(x)$ $(\theta_{1}(x)<\theta_{2}(x))$，使得 $f'(x\theta_{1}(x))=f'(x\theta_{2}(x))$，由罗尔定理，存在一点 $\xi$，使得 $f''(\xi)=0$，这与 $f''(x)\neq 0$ 矛盾。所以 $\theta(x)$ 是唯一的。
+
+2. 解 注意到 $f''(0)=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f'(x\theta(x))-f'(0)}{x\theta(x)}$，又知
+
+$$
+\begin{aligned}
+\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f'(x\theta(x))-f'(0)}{x} 
+&= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{f(x)-f(0)}{x}-f'(0)}{x} \\
+&= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)-x f'(0)}{x^{2}} \\
+&= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{f'(x)-f'(0)}{2x} \\
+&= \frac{f''(0)}{2},
+\end{aligned}
+$$
+
+所以 $\lim_{x\rightarrow 0} \theta(x)=\frac{1}{2}$。

素材/解的问题.md

@@ -0,0 +1,88 @@
+### 原理
+**线性方程组解的判定**
+对非齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=b$,
+1. 无解的充要条件是 $\text{rank}A < \text{rank}[A\ \ b]$；
+2. 有唯一解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b] = n$；
+3. 有无穷多解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b] < n$。
+注:上述定理也说明非齐次线性方程组有解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b]$。
+
+把以上结论应用到齐次线性方程组，可得
+推论 齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=0$ 有非零解（无穷多解）的充要条件是 $\text{rank}A < n$，即系数矩阵的秩小于未知数个数。
+
+**矩阵方程解的判定**
+本质上和线性方程组是一脉相承的，只是形式上更一般化。
+最常见的矩阵方程是 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{B}$，其中$\boldsymbol{A}$是 $m\times n$ 矩阵，$\boldsymbol{B}$ 是 $m\times p$ 矩阵，$\boldsymbol{X}$ 是待求的$n\times p$矩阵。
+1. 有解的充要条件：
+矩阵方程有解的充要条件是系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩等于增广矩阵 $[\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]$的秩，即：
+$$r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}])$$
+这个结论和非齐次线性方程组有解的条件完全一致。
+2. 解的结构：
+- 唯一解：当$r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]) = n$ 时，方程有唯一解。
+- 无穷多解：当 $r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]) < n$ 时，方程有无穷多解。
+ 
+可逆矩阵
+- 当 $\boldsymbol{A}$ 是 n 阶可逆矩阵时，矩阵方程 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{B}$有唯一解:$\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}$
+
+其他形式的矩阵方程
+- 对于 $\boldsymbol{XA} = \boldsymbol{B}$ 形式的方程，可以转置为 $\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{X}^T = \boldsymbol{B}^T$，再套用上述方法，或类似于方程 $AX = B$ 有解的充要条件是$\text{rank} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} = \text{rank}A$，由方程 $XA = B$ 有解可知 $\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} =\text{rank}A$
+- 对于 $\boldsymbol{AXB} = \boldsymbol{C}$ 形式的方程，当 $\boldsymbol{A} 和 \boldsymbol{B}$ 都可逆时，有唯一解 $\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{C}\boldsymbol{B}^{-1}$。
+
+>[!example] **例1**
+>设矩阵
+>$$A = \begin{bmatrix}
+1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\
+1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\
+1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\
+1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3
+\end{bmatrix},
+\quad
+x = \begin{bmatrix}
+x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4
+\end{bmatrix},
+\quad
+b = \begin{bmatrix}
+1 \\ 1 \\ 1 \\ 1
+\end{bmatrix}$$
+其中常数 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 互不相等，则线性方程组 $Ax = b$ 的解为 ______________。
+
+**答**：$(1,0,0,0)^T$。
+
+**解析**：由范德蒙行列式的性质可知 $|A| \neq 0$，从而线性方程组 $Ax = b$ 有唯一解。
+
+又由
+$$
+\begin{bmatrix}
+1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\
+1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\
+1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\
+1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+1 \\
+0 \\
+0 \\
+0
+\end{bmatrix}
+=
+\begin{bmatrix}
+1 \\
+1 \\
+1 \\
+1
+\end{bmatrix}
+$$
+ 可知 $Ax = b$ 的解为
+$$
+\begin{bmatrix}
+1 \\
+0 \\
+0 \\
+0
+\end{bmatrix}
+$$
+
+>[!example] **例2**
+> 设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，满足$\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B,$ 且方程 $XA = B$ 有解。若 $\operatorname{rank} A = k$，则$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\underline{\hspace{3cm}}.$
+
+**解析**：
+类似于方程 $AX = B$ 有解的充要条件是$\text{rank} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} = \text{rank}A$，由方程 $XA = B$ 有解可知 $\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B=\text{rank}A=k$，由初等变换不改变秩得$$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ O & E \end{bmatrix}=n+k$$

编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md

@@ -202,7 +202,7 @@ $$\lim\limits_{n \to \infty}S_{2n+1}=\lim\limits_{n \to \infty}(S_{2n}+a_{2n+1})
 **解析**
     核心方法
     利用数列子列的性质：若数列$\{a_n\}$收敛，则其所有子列必收敛于同一极限；若存在两个子列收敛于不同值，则原数列极限不存在。
-    步骤1：构造第一个子列$\{a_{4k}\}（k\in\mathbb{N_+}$
+    步骤1：构造第一个子列$\{a_{4k}\}（k\in\mathbb{N_+}）$
     当n=4k时，
     $$\sin\frac{4k\pi}{2} = \sin2k\pi = 0$$        因此
     $$a_{4k} = \left(1 + \frac{1}{4k}\right) \cdot 0 = 0$$

编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md

@@ -0,0 +1,80 @@
+---
+tags:
+  - 编写小组
+---
+**内部资料，禁止传播**
+**编委会（不分先后，姓氏首字母顺序）：陈峰华   陈玉阶   程奕铭   韩魏   刘柯妤   卢吉辚   王嘉兴   王轲楠   彭靖翔   郑哲航   钟宇哲   支宝宁
+
+### 多次运用中值定理
+多次运用中值定理一般有如下特征：
+1. 有多个中值（如$\xi,\eta$两个中值）；
+2. 有二阶导出现。
+这种题目一般会比较难，而且通常要结合其他方法，比如反证法、构造函数等。
+
+多次用中值定理又分为两种：
+1. 在同一区间（或一个区间包含另一个区间）上用不同的中值定理；
+2. 在相邻区间上对原函数和导函数用同一个（也可能是不同的）中值定理。
+
+>[!example] 例1
+设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $0 < a < b$，试证存在 $\xi, \eta \in (a, b)$，使得  $$f'(\xi) = \frac{a + b}{2\eta} f'(\eta).$$
+
+**分析：**
+	首先注意到题目要求我们证明的式子中有两个中值（即在区间内的某个点及其函数值），故想到可能会用多次中值定理。右边有$\frac{f'(\eta)}{\eta}$的形式，一般会想到用拉格朗日或者柯西，又题中没有哪个值让$f$等于$0$，所以大概率就是柯西中值定理。
+	令$g(x)=x^2$，则有$$\exists\eta\in(a,b),\frac{f'(\eta)}{g'(\eta)}=\frac{f'(\eta)}{2\eta}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f(b)-f(a)}{b^2-a^2}$$
+	再对比要求的式子，知道再用一次拉格朗日中值定理就行。
+
+**解**：
+对 $f(x)$ 和 $g(x)=x^2$ 在 $[a,b]$ 上应用柯西中值定理，得存在 $\eta \in (a,b)$，使得
+$$
+\frac{f(b)-f(a)}{b^2-a^2} = \frac{f'(\eta)}{2\eta}
+$$
+整理得
+$$
+\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \frac{a+b}{2\eta} f'(\eta)
+$$
+再对 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$，使得
+$$
+\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(\xi)
+$$
+比较两式即得结论。
+
+>[!example] 例2
+设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内二阶可导，又若 $f(x)$ 的图形与联结 $A(a, f(a))$，$B(b, f(b))$ 两点的弦交于点 $C(c, f(c))$ ($a \leq c \leq b$)，证明在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f''(\xi) = 0$。
+
+**分析：![[微分中值定理图.png]]**
+	二阶导的零点就是图像的拐点，从图中能直观地看出来，函数图像的凹凸性确实发生了改变。现在的问题就是如何证明。
+	首先可以很直观地看到，函数图像应当有两条与直线$AB$平行的切线，由拉格朗日中值定理也可以证明这一点。这样，$f'(x)$就在不同地方取到了相同的函数值，这就想到用罗尔定理，从而可以证明题中结论。
+
+**解**：
+弦 $AB$ 的方程为
+$$
+y = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)
+$$
+由条件，$f(c) = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(c-a)$。分别对 $f(x)$ 在 $[a,c]$ 和 $[c,b]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi_1 \in (a,c)$，$\xi_2 \in (c,b)$，使得
+$$
+f'(\xi_1) = \frac{f(c)-f(a)}{c-a} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
+$$
+$$
+f'(\xi_2) = \frac{f(b)-f(c)}{b-c} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
+$$
+故 $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)$。再对 $f'(x)$ 在 $[\xi_1,\xi_2]$ 上应用罗尔定理，存在 $\xi \in (\xi_1,\xi_2) \subset (a,b)$，使 $f''(\xi)=0$。
+
+>[!example] 例3
+设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上具有二阶导数，且满足
+$$f(0) = 0, \, f(1) = 1, \, f\left(\frac{1}{2}\right) > \frac{1}{4}$$证明：  
+(1)至少存在一点 $\xi \in (0, 1)$，使得 $f''(\xi) < 2$；  
+(2)若对一切 $x \in (0, 1)$，有 $f''(x) \neq 2$，则当 $x \in (0, 1)$ 时，恒有 $f(x) > x^2$。
+
+**分析：**
+	初看没有什么思路，涉及到二阶导一般会用泰勒展开或者对导数用中值定理。我们对一阶导和二阶导的性质一概不清楚，所以应该考虑对导数用中值定理。
+	直接对$f(x)$用中值定理吗？不是，这样子我们得不出任何的结论。或许我们应该构造一个新的函数，让我们更容易研究一些。观察要证的式子，由于我们完全不知道导数的性质，所以考虑函数$g(x)=f(x)-x^2$，有$g'(x)=f'(x)-2x,g''(x)=f''(x)-2$，且$g(0)=0,g(1)=0,g(\frac{1}{2})>0$.看到这些$0$就舒服很多了。注意这里应该是多次运用中值定理中的第2种情况，因为题目很明显给了我们分割区间的一个点：$\large{\frac{1}{2}}$.
+
+**解**：
+(1) 考虑函数 $g(x)=f(x)-x^2$，则 $g(0)=0$，$g(1)=0$，$g(1/2)=f(1/2)-1/4>0$。在$[0,\frac{1}{2}],[\frac{1}{2},1]$上分别用拉格朗日中值定理得$\exists\eta_1\in(0,\frac{1}{2}),\eta_2\in(\frac{1}{2},1)$，使得$$g'(\eta_1)=\frac{g(1/2)-g(0)}{1/2}>0,g'(\eta_2)=\frac{g(1)-g(1/2)}{1/2}<0$$对$g'(x)$在区间$[\eta_1,\eta_2]$上用拉格朗日中值定理得，$\exists\xi\in(\eta_1,\eta_2)$，使得$$g''(\xi)=\frac{g'(\eta_2)-g'(\eta_1)}{\eta_2-\eta_1}<0,$$即$$f''(\xi)<2.$$
+(2) 用反证法。假设存在 $x_0 \in (0,1)$ 使 $f(x_0) \leq x_0^2$，故$g(x_0)\le0$。由$g(0)=0,g(1)=0,g(1/2)>0,\exists\alpha\in(0,1),g(\alpha)=0$.故由罗尔中值定理，$$\exists\beta_1\in(0,\alpha),\beta_2\in(\alpha,1),g'(\beta_1)=g'(\beta_2)=0,$$从而$$\exists\beta\in(\beta_1,\beta_2),g''(\beta)=0$$这与$f''(x)\neq2$，即$g''(x)\neq0$矛盾，故结论成立。
+
+**题后总结：**
+	1. 注意观察要证等式的形式，如果需要用到中值定理，就看看应该是哪个中值定理，比如等于某个确定的值一般就是罗尔，有多个函数（有些比较荫蔽，尤其是幂函数）一般是柯西，其他一些奇奇怪怪的情况基本上是拉格朗日
+	2. 注意分析和综合相结合的方法，从结论向前推一推，推不动了再从条件往后推一推，这是证明题的很重要的思路
+	3. 数形结合可以给我们很大的信心并提供思路，但是也要小心用
+

编写小组/讲义/线性方程组的解与秩的不等式.md

@@ -0,0 +1,611 @@
+---
+tags:
+  - 编写小组
+---
+**内部资料，禁止传播**
+**编委会（不分先后，姓氏首字母顺序）：陈峰华   陈玉阶   程奕铭   韩魏   刘柯妤   卢吉辚   王嘉兴   王轲楠   彭靖翔   郑哲航   钟宇哲   支宝宁
+
+# 单方程组解的问题
+
+### 线性方程组解的判定
+
+对非齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=b$,
+1. 无解的充要条件是 $\text{rank}A < \text{rank}[A\ \ b]$；
+2. 有唯一解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b] = n$；
+3. 有无穷多解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b] < n$。
+注:上述定理也说明非齐次线性方程组有解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b]$。
+
+怎么理解：
+1. 从线性方程组的角度，如果加上一列 $b$ 后的秩变大了，那么化为最简行阶梯型后下面一定多出来一行 $0=$某个常数 ，则必然无解。
+2. 秩等于 $n$ 就是有 $n$ 个无关的方程，则经过消元法后可以解出唯一解。
+3. 秩小于 $n$ 就是方程不足 $n$ 个，消元消不完，也能解释为啥秩跟解空间维数的和为 $n$
+
+把以上结论应用到齐次线性方程组，可得
+推论 齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=0$ 有非零解（无穷多解）的充要条件是 $\text{rank}A < n$，即系数矩阵的秩小于未知数个数。
+
+### 矩阵方程解的判定
+
+本质上和线性方程组是一脉相承的，只是形式上更一般化。
+最常见的矩阵方程是 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{B}$，其中$\boldsymbol{A}$是 $m\times n$ 矩阵，$\boldsymbol{B}$ 是 $m\times p$ 矩阵，$\boldsymbol{X}$ 是待求的$n\times p$矩阵。
+1. 有解的充要条件：
+矩阵方程有解的充要条件是系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩等于增广矩阵 $[\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]$的秩，即：
+$$r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}])$$
+这个结论和非齐次线性方程组有解的条件完全一致。
+
+理解上可以将 $B$ 拆分成一列列 $b$ ，从而化归为上面的线性方程组问题
+
+2. 解的结构：
+- 唯一解：当$r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]) = n$ 时，方程有唯一解。
+- 无穷多解：当 $r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]) < n$ 时，方程有无穷多解。
+ 
+可逆矩阵
+- 当 $\boldsymbol{A}$ 是 n 阶可逆矩阵时，矩阵方程 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{B}$有唯一解:$\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}$
+
+其他形式的矩阵方程
+- 对于 $\boldsymbol{XA} = \boldsymbol{B}$ 形式的方程，可以转置为 $\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{X}^T = \boldsymbol{B}^T$，再套用上述方法，或类似于方程 $AX = B$ 有解的充要条件是$\text{rank} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} = \text{rank}A$，由方程 $XA = B$ 有解可知 $\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} =\text{rank}A$
+- 对于 $\boldsymbol{AXB} = \boldsymbol{C}$ 形式的方程，当 $\boldsymbol{A} 和 \boldsymbol{B}$ 都可逆时，有唯一解 $\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{C}\boldsymbol{B}^{-1}$。
+
+>[!example] **例1**
+>设矩阵
+>$$A = \begin{bmatrix}
+1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\
+1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\
+1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\
+1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3
+\end{bmatrix},
+\quad
+x = \begin{bmatrix}
+x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4
+\end{bmatrix},
+\quad
+b = \begin{bmatrix}
+1 \\ 1 \\ 1 \\ 1
+\end{bmatrix}$$
+其中常数 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 互不相等，则线性方程组 $Ax = b$ 的解为 ______________。
+
+```text
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+
+```
+
+>[!example] **例2**
+> 设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，满足$\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B,$ 且方程 $XA = B$ 有解。若 $\operatorname{rank} A = k$，则$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\underline{\hspace{3cm}}.$
+
+# 多方程组的问题（线性方程组同解）
+
+## **$Ax=0$与$Bx=0$同解问题**：
+
+充要条件：$rankA=rankB=rank\begin{bmatrix} A \\ B\end{bmatrix}$.
+$Ax=\alpha$ 与$Bx=\beta$同解问题：
+充要条件：$rank\begin{bmatrix} A & \alpha\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} B &\beta\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} A &\alpha\\ B&\beta\end{bmatrix}$.
+
+解包含的关系：$rank\begin{bmatrix} A & \alpha\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} A &\alpha\\ B&\beta\end{bmatrix} \Leftrightarrow A\boldsymbol{x} = \alpha$ 的解均为 $B\boldsymbol{x} = \beta$ 的解
+
+如何理解（非严格证明，目的是便于理解）：
+首先，为了简化问题，我们只考虑齐次线性方程组同解问题，对于$Ax=0$与$Bx=0$，
+考虑这两个齐次线性方程组的解空间，分别记为$N(A)$,$N(B)$,这两个集合是完全相同的，
+可以得到$N(A)\subset N(B)$,以及$N(B)\subset N(A)$.
+$N(A)\subset N(B)$可以得到什么呢？
+
+说明$Ax=0$的解比较少，$Bx=0$的解比较多，一个方程组解多就说明他的方程限制相对宽松，解少则说明方程要求比较严格。换言之，$Bx=0$的每个方程是由$Ax=0$的方程线性表示的,同理$N(B)\subset N(A)$ 可以得到 $Ax=0$ 的每个方程是由 $Bx=0$ 的方程线性表示的，进而说明这两个系数矩阵的行向量能够互相线性表示，即行向量组等价.用秩的语言表示：$rankA=rankB=rank\begin{bmatrix} A \\ B\end{bmatrix}$.
+
+另一个角度：这两个矩阵化成最简行阶梯型，是相同的，进行化简的时候只用到行变换，故它们的行向量组等价.
+
+需要注意的是,这个条件是充要的.非常的好用.
+非齐次的时候同理.
+
+注意：由此，我们还能得到一些别的结论
+例如：$A$ 和 $B$ 等价（可以通过初等变换得到），并不能得到两方程同解，因为等价的初等变换可能包括初等列变换，而列变换可能改变两方程的解
+
+>[!example] 例1
+>6. 已知方程组$\quad\begin{cases}x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0, \\2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0, \\x_1 + x_2 + ax_3 = 0,\end{cases}$   与$\quad\begin{cases}x_1 + bx_2 + cx_3 = 0, \\2x_1 + b^2x_2 + (c+1)x_3 = 0\end{cases}$同解，则
+   (A) $a = 1, b = 0, c = 1$;  
+   (B) $a = 1, b = 1, c = 2$;  
+   (C) $a = 2, b = 0, c = 1$;  
+   (D) $a = 2, b = 1, c = 2$.
+
+# 线性方程组的系数矩阵与解关系
+
+在研究线性方程组的解的性质（例如维数）时，我们通常要与其系数矩阵本身的性质产生联系，下面是一个链接了方程组解空间与方程组系数秩的公式。
+
+>[!note] 秩零化度定理：
+>对于齐次方程组 $\boldsymbol{A}_{m \times n}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$，设$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=r$，则
+> $$\dim N(\boldsymbol{A})=n-r$$
+
+> [!example] 例1 
+> 已知三阶方阵 $A=\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\end{bmatrix}$ 有三个不同的特征值，其中$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，若 $\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$ ，求线性方程组 $Ax=\beta$ 的通解.
+
+```text
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+```
+
+> [!example] 例2
+> 设 $$
+A = \begin{bmatrix} 
+1 & -1 & 0 & -1 \\ 
+1 & 1 & 0 & 3 \\ 
+2 & 1 & 2 & 6 
+\end{bmatrix}, \quad 
+B = \begin{bmatrix} 
+1 & 0 & 1 & 2 \\ 
+1 & -1 & a & a-1 \\ 
+2 & -3 & 2 & -2 
+\end{bmatrix},$$
+向量 $$
+\alpha = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad 
+\beta = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}.$$
+(1) 证明：方程组 $Ax = \alpha$ 的解均为方程组 $Bx = \beta$ 的解；
+(2) 若方程组 $Ax = \alpha$ 与方程组 $Bx = \beta$ 不同解，求 $a$ 的值。
+
+```text
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+```
+
+# 通过秩反过来得方程是否有解
+
+>[!example] 例1
+>已知$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$均为$m\times n$矩阵，$\beta_1,\beta_2$为$m$维列向量，则下列选项正确的有[   ]
+(A)若$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=m$，则对于任意$m$维列向量$\boldsymbol{b},\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$总有解.
+(B)若$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$等价，则齐次线性方程组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$与$\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$同解.
+(C)矩阵方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$有解，但$\boldsymbol{B}\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{A}$无解的充要条件是$$\mathrm{rank}\boldsymbol{B}<\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ B}].$$
+(D)线性方程组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$与$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_2}$同时有解当且仅当$$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}].$$
+
+**解：**
+(A)一方面$\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ b}]\ge \mathrm{rank}\boldsymbol{A}=m$,另一方面矩阵$[\boldsymbol{A\ b}]$只有$m$行，所以它的秩必然不大于$m$，所以$\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ b}]=m=\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$，即方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$总有解。
+
+(B)等价的矩阵只需要是经过初等变换可以变成同一个矩阵就行了，但齐次线性方程组同解需要只经过初等行变换就能变成同一个矩阵才行，后一个条件明显更强，所以后一种更“难”达成，B就不对。
+
+(C)方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$有解$\Leftrightarrow\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ B}]=\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$,方程$\boldsymbol{B}\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{A}$无解$\Leftrightarrow\mathrm{rank}\boldsymbol{B}<\mathrm{rank}[\boldsymbol{B\ A}]$,而$\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ B}]=\mathrm{rank}[\boldsymbol{B\ A}]$,故C正确。这是纯形式化的解答，不过当然是正确的。但是怎么理解这个结果呢？$\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$有解，就是说我们可以用矩阵$\boldsymbol{A}$表示矩阵$\boldsymbol{B}$,也就是说，$\boldsymbol{A}$中包含了$\boldsymbol{B}$中的所有信息，也就是$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}\ge\mathrm{rank}\boldsymbol{B}$；另一方面，$\boldsymbol{BY}=\boldsymbol{A}$无解说明我们无法用矩阵$\boldsymbol{B}$表示矩阵$\boldsymbol{A}$，也就是说，$\boldsymbol{B}$中没有包含$\boldsymbol{A}$中的所有信息，那么$\mathrm{rank}\boldsymbol{B}<\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$；再加上有解的充要条件得出C正确。
+
+(D)我们同样有两种方法去解这道题，一种是形式化的、严谨的，另一种是理解性的、直观的。
+1)线性方程组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$与$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_2}$同时有解$\Leftrightarrow\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1}]=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_2}]$,故$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}]$。
+2)也可以从初等变换的角度来理解，方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$有解说明$\boldsymbol{\beta_1}$可以用$\boldsymbol{A}$的列向量线性表示，从而$[\boldsymbol{A\ \beta_1}]$可以通过初等列变换变成$[\boldsymbol{A\ O}]$，故$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1}]$；同理可以得出关于$\boldsymbol{\beta_2}$的结论。
+3)同样，怎么直观地理解？我们一样用信息量的观点去看。方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$有解，意味着$\boldsymbol{A}$中包含了$\boldsymbol{\beta_1}$中的所有信息，同理，$\boldsymbol{A}$中也包含了$\boldsymbol{\beta_2}$中的所有信息，这就意味着矩阵$[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}]$中所有的信息其实只需要用$\boldsymbol{A}$就可以表示，故$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}]$,反过来也是一样的。这就说明D是正确的。
+
+# 矩阵秩与线性方程组解的关系图解说明
+
+---
+
+## 概念回顾
+
+- **rank[A]** 代表矩阵$A$的秩。
+- 秩的定义：矩阵列向量组中**极大线性无关组所含列向量的个数**。
+- 可以用“圆”或“空间”来表示矩阵列向量组张成的向量空间。
+
+---
+
+## 图解说明
+
+假设  
+$$
+A = [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3]
+$$ 
+是$m \times 3$矩阵，  
+$$
+\beta_1, \beta_2
+$$ 
+是$m$维列向量。
+
+### 1. 方程组有解的条件
+
+方程组  
+$$
+Ax = \beta_1 \quad \text{和} \quad Ax = \beta_2
+$$ 
+有解  
+$\Leftrightarrow$$\beta_1, \beta_2$可由$A$的列向量线性表示。
+
+在几何上，这表示：
+
+- 设$A$的列向量张成的空间为$S_A$。
+-$\beta_1, \beta_2 \in S_A$。
+- 即$S_A$“包含”$\beta_1, \beta_2$。
+
+因此，$S_A$这个“圆”应当能够**覆盖**$\beta_1$和$\beta_2$。
+
+---
+
+### 2. 秩等价条件
+
+已知：
+$$
+\operatorname{rank}[A] = \operatorname{rank}[A \quad \beta_1 \quad \beta_2]
+$$
+表示：
+- 矩阵$A$的秩与增广矩阵$[A \mid \beta_1 \mid \beta_2]$的秩相等。
+- 这意味着$\beta_1, \beta_2$并没有“扩大”$A$的列空间。
+
+因此：
+$$
+\operatorname{rank}[A] = \operatorname{rank}[A \quad \beta_1 \quad \beta_2] 
+\quad\Leftrightarrow\quad 
+\beta_1, \beta_2 \in S_A
+$$
+即$Ax = \beta_1$和$Ax = \beta_2$有解。
+
+---
+
+### 3. 等价写法
+
+把$\beta_1, \beta_2$放在$A$的右侧构成一个更大的矩阵：
+$$
+[A \quad \beta_1 \quad \beta_2]
+$$
+其秩与$A$相同，说明：
+1. 空间$S_{[A \ \beta_1 \ \beta_2]}$与$S_A$相同。
+2. 从初等行变换角度看：在行阶梯形中，$\beta_1, \beta_2$对应的列会被$A$的列线性表示，从而可化为零列（在解方程时体现为消去）。
+3. 存在$x_1, x_2$使得：
+ $$
+   A(-x_1) = \beta_1, \quad A(-x_2) = \beta_2
+ $$
+   这样在增广矩阵中可以通过列操作消去$\beta_1, \beta_2$，使其变为零列。
+
+---
+
+## 总结
+
+- 秩相等 ⇔ 列空间相同 ⇔ 方程组有解。
+- 图示法：把$A$的列空间画成一个圆，$\beta_1, \beta_2$若落在圆内，则方程有解。
+- 矩阵的秩是判断线性方程组解的存在性的核心工具。
+
+---
+
+**注**：这里的“圆”是比喻，实际为**线性子空间**。
+
+# 秩的不等式
+
+### 1. 和的秩不超过秩的和
+
+设 $A, B$ 为同型矩阵，则  
+$$ \operatorname{rank}(A+B) \leq \operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B $$
+
+### 2. 积的秩不超过任何因子的秩
+
+设 $A_{m \times n}, B_{n \times k}$，则  
+$$ \operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank} A, \operatorname{rank} B\} $$
+
+### 3. Sylvester(西尔维斯特)不等式
+
+设 $A_{m \times n}, B_{n \times k}$，则  
+$$ \operatorname{rank}(AB) \geq \operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B - n $$ 
+特别地，当 $AB = 0$ 时，有 $\operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B \leq n$。 
+
+### 4. 分块式
+
+设 $A_{n \times n}$， $B_{n \times n}$，则
+
+$$(1)\ \mathrm{rank}  
+
+\begin{bmatrix}
+A \\
+B
+\end{bmatrix} \geq \text{rank } A, \quad \text{rank } 
+\begin{bmatrix}
+A \\
+B
+\end{bmatrix} \geq \text{rank } B
+$$
+
+$$(2)\ \mathrm{rank}  
+\begin{bmatrix}
+A & 0 \\
+0 & B
+\end{bmatrix} = \text{rank } A + \text{rank } B
+$$
+
+$$(3)\ \mathrm{rank}  
+\begin{bmatrix}
+A & E_n \\
+0 & B
+\end{bmatrix} \geq \text{rank } A + \text{rank } B
+$$
+
+$$(4)\ \mathrm{rank}  
+\begin{bmatrix}
+A & 0 \\
+0 & B
+\end{bmatrix} = \text{rank } 
+\begin{bmatrix}
+A & B \\
+0 & B
+\end{bmatrix} = \text{rank } 
+\begin{bmatrix}
+A + B & B \\
+B & B
+\end{bmatrix} \geq \text{rank } (A + B)
+$$
+
+注：（2）与（4）结合即第一个不等式的证明方法
+
+> [!note] 证明1：  
+$$\operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}$$
+
+---
+
+### 证明思路  
+设  
+$$
+A \in \mathbb{R}^{m \times n}, \quad B \in \mathbb{R}^{n \times p}, \quad C = AB \in \mathbb{R}^{m \times p}.
+$$
+
+---
+
+#### 1. 先证$\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(A)$
+
+- 考虑$C$的列向量：  
+  设$B = [b_1, b_2, \dots, b_p]$，则  
+ $$
+  C = [A b_1, A b_2, \dots, A b_p].
+ $$
+  因此$C$的每一列都是$A$的列向量的线性组合。  
+- 所以$C$的列空间是$A$的列空间的子空间，故  
+ $$
+  \operatorname{rank}(C) \leq \operatorname{rank}(A)。
+ $$
+
+---
+
+#### 2. 再证$\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(B)$
+
+- 考虑$C$的行向量：  
+  设$A = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_m \end{bmatrix}$，则  
+ $$
+  C = \begin{bmatrix} a_1 B \\ a_2 B \\ \vdots \\ a_m B \end{bmatrix}.
+ $$
+  因此$C$的每一行都是$B$的行向量的线性组合。  
+- 所以$C$的行空间是$B$的行空间的子空间，故  
+ $$\operatorname{rank}(C) \leq \operatorname{rank}(B)$$
+
+---
+
+#### 3. 综合  
+由 1 和 2 得  
+$$
+\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(A) \quad \text{且} \quad \operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(B),
+$$
+即  
+$$
+\operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}.
+$$
+
+---
+
+**证毕。**
+
+> [!note] 证明2 
+> 证明 Sylvester 秩不等式：
+$$\operatorname{rank}(AB) \ge \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - n$$
+其中  
+$A \in \mathbb{R}^{m \times n}, \; B \in \mathbb{R}^{n \times p}, \; AB \in \mathbb{R}^{m \times p}$。
+
+---
+
+### 证明思路
+设：
+-$\operatorname{rank}(A) = r$
+-$\operatorname{rank}(B) = s$
+-$n$是矩阵乘法的中间维度，即$A$的列数、$B$的行数。
+
+---
+
+#### 1. 利用分块矩阵构造
+构造如下分块矩阵：
+$$
+M = \begin{bmatrix}
+A & O \\
+I_n & B
+\end{bmatrix}
+\in \mathbb{R}^{(m+n) \times (n+p)}
+$$
+其中$I_n$是$n \times n$单位矩阵，$O$是零矩阵。
+
+---
+
+#### 2. 对$M$进行初等变换
+从$M$的第二块行减去第一块行左乘某个矩阵（这里相当于对$M$做列初等变换），实际上我们可以对$M$做以下变换：
+$$
+\begin{bmatrix}
+A & O \\
+I_n & B
+\end{bmatrix}
+\xrightarrow{\text{右乘 } \begin{bmatrix} I_n & -B \\ O & I_p \end{bmatrix}}
+\begin{bmatrix}
+A & -AB \\
+I_n & O
+\end{bmatrix}
+$$
+初等变换不改变矩阵的秩，所以：
+$$
+\operatorname{rank}(M) = \operatorname{rank}\begin{bmatrix}
+A & -AB \\
+I_n & O
+\end{bmatrix}
+$$
+
+---
+
+#### 3. 估计$\operatorname{rank}(M)$
+另一方面，由分块矩阵的秩不等式：
+$$
+\operatorname{rank}(M) \ge \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B)
+$$
+这是因为$M$左上块为$A$，右下块为$B$，中间有单位矩阵，所以$A$和$B$的秩可以同时取到。
+
+利用：
+$$
+\operatorname{rank}\begin{bmatrix}
+A & O \\
+I_n & B
+\end{bmatrix} \ge \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B)
+$$
+因为$I_n$的存在使得两个子块的秩可以同时保持。
+
+---
+
+#### 4. 从变换后的矩阵得到下界
+
+实际上更直接的方法是注意到：
+$$
+\operatorname{rank}\begin{bmatrix}
+A & -AB \\
+I_n & O
+\end{bmatrix}
+= \operatorname{rank}\begin{bmatrix}
+O & -AB \\
+I_n & O
+\end{bmatrix} \quad (\text{行变换})
+$$
+即：
+$$
+= \operatorname{rank}\begin{bmatrix}
+I_n & O \\
+O & AB
+\end{bmatrix} = \operatorname{rank}(I_n) + \operatorname{rank}(AB) = n + \operatorname{rank}(AB)
+$$
+
+---
+
+#### 5. 联立
+由初等变换保秩，得：
+$$
+n + \operatorname{rank}(AB) = \operatorname{rank}(M) \ge \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B)
+$$
+整理得：
+$$
+\operatorname{rank}(AB) \ge \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - n
+$$
+
+---
+
+## 重点思路
+
+>[!information] 思路1
+>通过矩阵的秩的不等式，最大限度限制所求的表达式的取值范围，或者将其**限制到一个具体的值**.
+>在希望求一个矩阵的秩的确切值时，也可以考虑用不等式关系来“夹逼”，常见的不等式：
+>1. $\mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}-n\le\mathrm{rank}(\boldsymbol{AB})\le\min{\{\mathrm{rank}\boldsymbol{A}, \mathrm{rank}\boldsymbol{B}\}}$
+>2. $\mathrm{rank}(\boldsymbol{A+B})<\mathrm{rank}\boldsymbol A+\mathrm{rank}\boldsymbol B$
+>3. 矩阵加边不会减小秩；
+>
+
+> [!note] 思路2
+> 在遇到诸如 $AB=O$ 的情况，务必要想到$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}-n\le\mathrm{rank}(\boldsymbol{AB}) \Rightarrow \mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}\le n$
+
+> [!example] 例1
+> 设 $A$ 是 $m\times n$ 实矩阵， $\beta \neq 0$ 是 $m$ 维实列向量，证明：
+> (1) $\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)$ .
+> (2) 线性方程组 $A^\mathrm{T}Ax = A^\mathrm{T}\beta$ 有解.（这一问用到这个方法）
+
+```text
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+
+```
+
+>[!example] 例2 
+>已知$A, B, C, D$都是 4 阶非零矩阵，且$ABCD = O$，如果$|BC| \neq 0$，记$$r(A) + r(B) + r(C) + r(D) = r$$ 
+>则$r$的最大值是（ ）。
+>(A) 11  
+>(B) 12  
+>(C) 13  
+>(D) 14  
+
+```text
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+
+```

编写小组/讲义/线性方程组的解与秩的不等式（解析版）.md

@@ -0,0 +1,629 @@
+---
+tags:
+  - 编写小组
+---
+**内部资料，禁止传播**
+**编委会（不分先后，姓氏首字母顺序）：陈峰华   陈玉阶   程奕铭   韩魏   刘柯妤   卢吉辚   王嘉兴   王轲楠   彭靖翔   郑哲航   钟宇哲   支宝宁
+
+# 单方程组解的问题
+
+### 线性方程组解的判定
+
+对非齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=b$,
+1. 无解的充要条件是 $\text{rank}A < \text{rank}[A\ \ b]$；
+2. 有唯一解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b] = n$；
+3. 有无穷多解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b] < n$。
+注:上述定理也说明非齐次线性方程组有解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b]$。
+
+怎么理解：
+1. 从线性方程组的角度，如果加上一列 $b$ 后的秩变大了，那么化为最简行阶梯型后下面一定多出来一行 $0=$某个常数 ，则必然无解。
+2. 秩等于 $n$ 就是有 $n$ 个无关的方程，则经过消元法后可以解出唯一解。
+3. 秩小于$n$ 就是方程不足 $n$ 个，消元消不完，也能解释为啥秩跟解空间维数的和为 $n$
+
+把以上结论应用到齐次线性方程组，可得
+推论 齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=0$ 有非零解（无穷多解）的充要条件是 $\text{rank}A < n$，即系数矩阵的秩小于未知数个数。
+
+### 矩阵方程解的判定
+
+本质上和线性方程组是一脉相承的，只是形式上更一般化。
+最常见的矩阵方程是 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{B}$，其中$\boldsymbol{A}$是 $m\times n$ 矩阵，$\boldsymbol{B}$ 是 $m\times p$ 矩阵，$\boldsymbol{X}$ 是待求的$n\times p$矩阵。
+1. 有解的充要条件：
+矩阵方程有解的充要条件是系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩等于增广矩阵 $[\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]$的秩，即：
+$$r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}])$$
+这个结论和非齐次线性方程组有解的条件完全一致。
+
+理解上可以将 $B$ 拆分成一列列 $b$ ，从而化归为上面的线性方程组问题
+
+2. 解的结构：
+- 唯一解：当$r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]) = n$ 时，方程有唯一解。
+- 无穷多解：当 $r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]) < n$ 时，方程有无穷多解。
+ 
+可逆矩阵
+- 当 $\boldsymbol{A}$ 是 n 阶可逆矩阵时，矩阵方程 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{B}$有唯一解:$\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}$
+
+其他形式的矩阵方程
+- 对于 $\boldsymbol{XA} = \boldsymbol{B}$ 形式的方程，可以转置为 $\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{X}^T = \boldsymbol{B}^T$，再套用上述方法，或类似于方程 $AX = B$ 有解的充要条件是$\text{rank} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} = \text{rank}A$，由方程 $XA = B$ 有解可知 $\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} =\text{rank}A$
+- 对于 $\boldsymbol{AXB} = \boldsymbol{C}$ 形式的方程，当 $\boldsymbol{A} 和 \boldsymbol{B}$ 都可逆时，有唯一解 $\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{C}\boldsymbol{B}^{-1}$。
+
+>[!example] **例1**
+>设矩阵
+>$$A = \begin{bmatrix}
+1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\
+1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\
+1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\
+1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3
+\end{bmatrix},
+\quad
+x = \begin{bmatrix}
+x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4
+\end{bmatrix},
+\quad
+b = \begin{bmatrix}
+1 \\ 1 \\ 1 \\ 1
+\end{bmatrix}$$
+其中常数 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 互不相等，则线性方程组 $Ax = b$ 的解为 ______________。
+
+**答**：$(1,0,0,0)^T$。
+
+**解析**：由范德蒙行列式的性质可知 $|A| \neq 0$，从而线性方程组 $Ax = b$ 有唯一解。
+
+又由
+$$
+\begin{bmatrix}
+1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\
+1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\
+1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\
+1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+1 \\
+0 \\
+0 \\
+0
+\end{bmatrix}
+=
+\begin{bmatrix}
+1 \\
+1 \\
+1 \\
+1
+\end{bmatrix}
+$$
+ 可知 $Ax = b$ 的解为
+$$
+\begin{bmatrix}
+1 \\
+0 \\
+0 \\
+0
+\end{bmatrix}
+$$
+
+>[!example] **例2**
+> 设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，满足$\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B,$ 且方程 $XA = B$ 有解。若 $\operatorname{rank} A = k$，则$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\underline{\hspace{3cm}}.$
+
+**解析**：
+类似于方程 $AX = B$ 有解的充要条件是$\text{rank} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} = \text{rank}A$，由方程 $XA = B$ 有解可知 $\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B=\text{rank}A=k$，由初等变换不改变秩得$$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ O & E \end{bmatrix}=n+k$$
+# 多方程组的问题（线性方程组同解）
+
+## **$Ax=0$与$Bx=0$同解问题**：
+
+充要条件：$rankA=rankB=rank\begin{bmatrix} A \\ B\end{bmatrix}$.
+$Ax=\alpha$ 与$Bx=\beta$同解问题：
+充要条件：$rank\begin{bmatrix} A & \alpha\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} B &\beta\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} A &\alpha\\ B&\beta\end{bmatrix}$.
+
+解包含的关系：$rank\begin{bmatrix} A & \alpha\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} A &\alpha\\ B&\beta\end{bmatrix} \Leftrightarrow A\boldsymbol{x} = \alpha$ 的解均为 $B\boldsymbol{x} = \beta$ 的解
+
+如何理解（非严格证明，目的是便于理解）：
+首先，为了简化问题，我们只考虑齐次线性方程组同解问题，对于$Ax=0$与$Bx=0$，
+考虑这两个齐次线性方程组的解空间，分别记为$N(A)$,$N(B)$,这两个集合是完全相同的，
+可以得到$N(A)\subset N(B)$,以及$N(B)\subset N(A)$.
+$N(A)\subset N(B)$可以得到什么呢？
+
+说明$Ax=0$的解比较少，$Bx=0$的解比较多，一个方程组解多就说明他的方程限制相对宽松，解少则说明方程要求比较严格。换言之，$Bx=0$的每个方程是由$Ax=0$的方程线性表示的,同理$N(B)\subset N(A)$ 可以得到 $Ax=0$ 的每个方程是由 $Bx=0$ 的方程线性表示的，进而说明这两个系数矩阵的行向量能够互相线性表示，即行向量组等价.用秩的语言表示：$rankA=rankB=rank\begin{bmatrix} A \\ B\end{bmatrix}$.
+
+另一个角度：这两个矩阵化成最简行阶梯型，是相同的，进行化简的时候只用到行变换，故它们的行向量组等价.
+
+需要注意的是,这个条件是充要的.非常的好用.
+非齐次的时候同理.
+
+注意：由此，我们还能得到一些别的结论
+例如：$A$ 和 $B$ 等价（可以通过初等变换得到），并不能得到两方程同解，因为等价的初等变换可能包括初等列变换，而列变换可能改变两方程的解
+
+>[!example] 例1
+>6. 已知方程组$\quad\begin{cases}x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0, \\2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0, \\x_1 + x_2 + ax_3 = 0,\end{cases}$   与$\quad\begin{cases}x_1 + bx_2 + cx_3 = 0, \\2x_1 + b^2x_2 + (c+1)x_3 = 0\end{cases}$同解，则
+   (A) $a = 1, b = 0, c = 1$;  
+   (B) $a = 1, b = 1, c = 2$;  
+   (C) $a = 2, b = 0, c = 1$;  
+   (D) $a = 2, b = 1, c = 2$.
+
+>答案：**D**
+>解析：$\text{(I)}:\begin{bmatrix}1&2&3\\2&3&5\\1&1&a\end{bmatrix}x=0$，$\text{(II)}: \begin{bmatrix}1&b&c\\2&b^2&c+1\end{bmatrix}x=0$，对方程做初等行变换：
+>$\text{(I)}:\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&a-2\end{bmatrix}x=0$，$\text{(II)}: \begin{bmatrix}1&b&c\\0&b^2-2b&1-c\end{bmatrix}x=0$，记系数矩阵分别为$A,B$
+>因为方程(I),(II)同解，所以$\text{rank}A=\text{rank}B$，而$\text{rank}A\ge 2,\text{rank}B\le 2$，故$\text{rank}A=\text{rank}B=2$，故$a-2=0 \to a=2$；所以方程组(I)的解为$x=k(1,1,-1)^T$；
+>令$k=1,x=(1,1,-1)^T$代入方程组(II)得$\begin{bmatrix}1&b&c\\0&b^2-2b&1-c\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+b-c\\b^2-2b+c-1\end{bmatrix}=0$，解得$\begin{cases}b=0\\c=1\end{cases}$或$\begin{cases}b=1\\c=2\end{cases}$；然而，当$\begin{cases}b=0\\c=1\end{cases}$时，$\begin{bmatrix}1&b&c\\0&b^2-2b&1-c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}$，不符合$\text{rank}B=2$的约束，故舍去；
+>综上，$\begin{cases}a=2\\b=1\\c=2\end{cases}$
+
+# 线性方程组的系数矩阵与解关系
+
+在研究线性方程组的解的性质（例如维数）时，我们通常要与其系数矩阵本身的性质产生联系，下面是一个链接了方程组解空间与方程组系数秩的公式。
+
+>[!note] 秩零化度定理：
+>对于齐次方程组 $\boldsymbol{A}_{m \times n}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$，设$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=r$，则
+> $$\dim N(\boldsymbol{A})=n-r$$
+
+> [!example] 例1 
+> 已知三阶方阵 $A=\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\end{bmatrix}$ 有三个不同的特征值，其中$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，若 $\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$ ，求线性方程组 $Ax=\beta$ 的通解.
+
+**答案：**
+ $$\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$$
+**分析：** 在求解非齐次方程组通解的题目中，若是题目给出了特解与齐次方程组的解，那么大概率来说这个齐次方程组的解就可以拓展为齐次方程组通解（根据问题导向，不然写不出来了），那么如何由齐次方程组的解拓展为齐次方程组通解呢，那就要根据题目具体的条件进行分析了，这就要用到我们的秩零化度定理来求齐次方程组解空间的维数
+**解析：** 由 $\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$ 可得 $A$ 的列向量组线性相关， $|A|=0$；又因为 $A$ 的三个特征值各不相同，故 $A$ 有两个不为零的特征值 $\lambda_1,\lambda_2$，且 $A$ 可相似对角化，即 $A=P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P$，$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P)=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}=2$
+故 $Ax=0$ 的解空间维数是 $1$ （5分）
+$\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$，所以 $(1,3,4)^\mathrm{T}$ 为特解；（5分）
+$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，所以$A\begin{bmatrix}2k\\k\\-k\end{bmatrix}=2\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3=0$，所以 $(2,1,-1)^\mathrm{T}$ 为基础解系；（10分）
+解空间维数是 $1$ ，方程的解 $\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$ 维数是 $1$，该解完备
+
+> [!example] 例2
+> 设 $$
+A = \begin{bmatrix} 
+1 & -1 & 0 & -1 \\ 
+1 & 1 & 0 & 3 \\ 
+2 & 1 & 2 & 6 
+\end{bmatrix}, \quad 
+B = \begin{bmatrix} 
+1 & 0 & 1 & 2 \\ 
+1 & -1 & a & a-1 \\ 
+2 & -3 & 2 & -2 
+\end{bmatrix},$$
+向量 $$
+\alpha = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad 
+\beta = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}.$$
+(1) 证明：方程组 $Ax = \alpha$ 的解均为方程组 $Bx = \beta$ 的解；
+(2) 若方程组 $Ax = \alpha$ 与方程组 $Bx = \beta$ 不同解，求 $a$ 的值。
+
+
+**解：**
+(1) 由于
+$$
+\begin{bmatrix}
+A \quad \alpha \\
+B \quad \beta 
+\end{bmatrix} =
+\begin{bmatrix}
+1 & -1 & 0 & -1 & 0 \\
+1 & 1 & 0 & 3 & 2 \\
+2 & 1 & 2 & 6 & 3 \\
+1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\
+1 & -1 & a & a-1 & 0 \\
+2 & -3 & 2 & -2 & -1 
+\end{bmatrix}
+\rightarrow
+\begin{bmatrix}
+1 & -1 & 0 & -1 & 0 \\
+0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\
+0 & 0 & 2 & 2 & 0 \\
+0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
+0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
+0 & 0 & 0 & 0 & 0 
+\end{bmatrix},
+$$
+故 
+$$
+\mathrm{rank} \begin{bmatrix}A&\alpha\\B&\beta\end{bmatrix} = \mathrm{rank}[A\ \alpha]$$
+故 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 的解均为 $B\boldsymbol{x} = \beta$ 的解。
+
+(2) 分析：不同解，却要可以求出$a$的具体值，说明这是一个与秩相关的题，而与解相关的秩的问题我们就可以考虑秩零化度定理
+由于 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 的解均为 $Bx = \beta$ 的解，若 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 与 $B\boldsymbol{x} = \beta$ 同解，则与题意矛盾，故 $Ax = \alpha$ 的解是 $Bx = \beta$ 解的真子集。于是 $Ax = 0$ 的基础解系中解向量的个数小于 $B\boldsymbol{x} = 0$ 的基础解系中解向量的个数，即
+$$
+4 - r(A) < 4 - r(B),
+$$
+故 $r(A) > r(B)$。又因 $r(A) = 3$，故 $r(B) < 3$，则
+$$
+\left| \begin{array}{ccc}
+1 & 0 & 1 \\
+1 & -1 & a \\
+2 & -3 & 2 
+\end{array} \right| = 0,
+$$
+解得 $a = 1$。
+# 通过秩反过来得方程是否有解
+
+>[!example] 例1
+>已知$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$均为$m\times n$矩阵，$\beta_1,\beta_2$为$m$维列向量，则下列选项正确的有[   ]
+(A)若$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=m$，则对于任意$m$维列向量$\boldsymbol{b},\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$总有解.
+(B)若$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$等价，则齐次线性方程组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$与$\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$同解.
+(C)矩阵方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$有解，但$\boldsymbol{B}\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{A}$无解的充要条件是$$\mathrm{rank}\boldsymbol{B}<\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ B}].$$
+(D)线性方程组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$与$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_2}$同时有解当且仅当$$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}].$$
+
+**解：**
+(A)一方面$\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ b}]\ge \mathrm{rank}\boldsymbol{A}=m$,另一方面矩阵$[\boldsymbol{A\ b}]$只有$m$行，所以它的秩必然不大于$m$，所以$\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ b}]=m=\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$，即方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$总有解。
+
+(B)等价的矩阵只需要是经过初等变换可以变成同一个矩阵就行了，但齐次线性方程组同解需要只经过初等行变换就能变成同一个矩阵才行，后一个条件明显更强，所以后一种更“难”达成，B就不对。
+
+(C)方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$有解$\Leftrightarrow\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ B}]=\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$,方程$\boldsymbol{B}\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{A}$无解$\Leftrightarrow\mathrm{rank}\boldsymbol{B}<\mathrm{rank}[\boldsymbol{B\ A}]$,而$\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ B}]=\mathrm{rank}[\boldsymbol{B\ A}]$,故C正确。
+这是纯形式化的解答，不过当然是正确的。但是怎么理解这个结果呢？$\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$有解，就是说我们可以用矩阵$\boldsymbol{A}$表示矩阵$\boldsymbol{B}$,也就是说，$\boldsymbol{A}$中包含了$\boldsymbol{B}$中的所有信息，也就是$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}\ge\mathrm{rank}\boldsymbol{B}$；另一方面，$\boldsymbol{BY}=\boldsymbol{A}$无解说明我们无法用矩阵$\boldsymbol{B}$表示矩阵$\boldsymbol{A}$，也就是说，$\boldsymbol{B}$中没有包含$\boldsymbol{A}$中的所有信息，那么$\mathrm{rank}\boldsymbol{B}<\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$；再加上有解的充要条件得出正向是正确的。
+反过来，如果$\mathrm{rank}{A}=\mathrm{rank}[{A\ B}]$，说明$A$中已经包含了矩阵$[A\ B]$的所有信息，所以$A$中就也包含了$B$中的所有信息，所以方程组$AX=B$有解；而如果又有$\mathrm{rank}B<\mathrm{rank}A$，则$B$没有完全包含$A$中的所有信息，或者说，$B$的信息真包含于$A$的信息，所以无法用$B$表示$A$，即$BY=A$无解。
+
+(D)我们同样有两种方法去解这道题，一种是形式化的、严谨的，另一种是理解性的、直观的。
+1)线性方程组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$与$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_2}$同时有解$\Leftrightarrow\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1}]=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_2}]$,故$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}]$。
+2)也可以从初等变换的角度来解答，方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$有解说明$\boldsymbol{\beta_1}$可以用$\boldsymbol{A}$的列向量线性表示，从而$[\boldsymbol{A\ \beta_1}]$可以通过初等列变换变成$[\boldsymbol{A\ O}]$，故$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1}]$；同理可以得出关于$\boldsymbol{\beta_2}$的结论。
+3)同样，怎么直观地理解？我们一样用信息量的观点去看。方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$有解，意味着$\boldsymbol{A}$中包含了$\boldsymbol{\beta_1}$中的所有信息，同理，$\boldsymbol{A}$中也包含了$\boldsymbol{\beta_2}$中的所有信息，这就意味着矩阵$[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}]$中所有的信息其实只需要用$\boldsymbol{A}$就可以表示，故$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}]$。反过来也一样，如果有$\mathrm{rank}{A}=\mathrm{rank}[{A\ \boldsymbol{\beta_1\ \beta_2}}]$，那么$A$中就包含了$\boldsymbol{\beta_1},\boldsymbol{\beta_2}$中的所有的信息，所以可以用$A$去表示向量$\boldsymbol{\beta_1}$和$\boldsymbol{\beta_2}$，也就是方程组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$与$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_2}$同时有解。这就说明D是正确的。
+
+# 矩阵秩与线性方程组解的关系图解说明
+
+---
+
+## 概念回顾
+
+- __$\mathrm{rank}A$__ 代表矩阵$A$的秩。
+- 秩的定义：矩阵列向量组中**极大线性无关组所含列向量的个数**。
+- 可以用“圆”或“空间”来表示矩阵列向量组张成的向量空间。
+
+---
+
+## 图解说明
+
+假设  
+$$
+A = [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3]
+$$ 
+是$m \times 3$矩阵，  
+$$
+\beta_1, \beta_2
+$$ 
+是$m$维列向量。
+
+### 1. 方程组有解的条件
+
+方程组  
+$$
+Ax = \beta_1 \quad \text{和} \quad Ax = \beta_2
+$$ 
+有解  
+$\Leftrightarrow$$\beta_1, \beta_2$可由$A$的列向量线性表示。
+
+在几何上，这表示：
+
+- 设$A$的列向量张成的空间为$S_A$。
+-$\beta_1, \beta_2 \in S_A$。
+- 即$S_A$“包含”$\beta_1, \beta_2$。
+
+因此，$S_A$这个“圆”应当能够**覆盖**$\beta_1$和$\beta_2$。
+
+---
+
+### 2. 秩等价条件
+
+已知：
+$$
+\operatorname{rank}[A] = \operatorname{rank}[A \quad \beta_1 \quad \beta_2]
+$$
+表示：
+- 矩阵$A$的秩与增广矩阵$[A \mid \beta_1 \mid \beta_2]$的秩相等。
+- 这意味着$\beta_1, \beta_2$并没有“扩大”$A$的列空间。
+
+因此：
+$$
+\operatorname{rank}[A] = \operatorname{rank}[A \quad \beta_1 \quad \beta_2] 
+\quad\Leftrightarrow\quad 
+\beta_1, \beta_2 \in S_A
+$$
+即$Ax = \beta_1$和$Ax = \beta_2$有解。
+
+---
+
+### 3. 等价写法
+
+把$\beta_1, \beta_2$放在$A$的右侧构成一个更大的矩阵：
+$$
+[A \quad \beta_1 \quad \beta_2]
+$$
+其秩与$A$相同，说明：
+1. 空间$S_{[A \ \beta_1 \ \beta_2]}$与$S_A$相同。
+2. 从初等行变换角度看：在行阶梯形中，$\beta_1, \beta_2$对应的列会被$A$的列线性表示，从而可化为零列（在解方程时体现为消去）。
+3. 存在$x_1, x_2$使得：
+ $$
+   A(-x_1) = \beta_1, \quad A(-x_2) = \beta_2
+ $$
+   这样在增广矩阵中可以通过列操作消去$\beta_1, \beta_2$，使其变为零列。
+
+---
+
+## 总结
+
+- 秩相等 ⇔ 列空间相同 ⇔ 方程组有解。
+- 图示法：把$A$的列空间画成一个圆，$\beta_1, \beta_2$若落在圆内，则方程有解。
+- 矩阵的秩是判断线性方程组解的存在性的核心工具。
+
+---
+
+**注**：这里的“圆”是比喻，实际为**线性子空间**。
+
+# 秩的不等式
+
+### 1. 和的秩不超过秩的和
+
+设 $A, B$ 为同型矩阵，则  
+$$ \operatorname{rank}(A+B) \leq \operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B $$
+
+### 2. 积的秩不超过任何因子的秩
+
+设 $A_{m \times n}, B_{n \times k}$，则  
+$$ \operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank} A, \operatorname{rank} B\} $$
+
+### 3. Sylvester(西尔维斯特)不等式
+
+设 $A_{m \times n}, B_{n \times k}$，则  
+$$ \operatorname{rank}(AB) \geq \operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B - n $$ 
+特别地，当 $AB = 0$ 时，有 $\operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B \leq n$。 
+
+### 4. 分块式
+
+设 $A_{n \times n}$， $B_{n \times n}$，则
+
+$$(1)\ \mathrm{rank}  
+
+\begin{bmatrix}
+A \\
+B
+\end{bmatrix} \geq \text{rank } A, \quad \text{rank } 
+\begin{bmatrix}
+A \\
+B
+\end{bmatrix} \geq \text{rank } B
+$$
+
+$$(2)\ \mathrm{rank}  
+\begin{bmatrix}
+A & 0 \\
+0 & B
+\end{bmatrix} = \text{rank } A + \text{rank } B
+$$
+
+$$(3)\ \mathrm{rank}  
+\begin{bmatrix}
+A & E_n \\
+0 & B
+\end{bmatrix} \geq \text{rank } A + \text{rank } B
+$$
+
+$$(4)\ \mathrm{rank}  
+\begin{bmatrix}
+A & 0 \\
+0 & B
+\end{bmatrix} = \text{rank } 
+\begin{bmatrix}
+A & B \\
+0 & B
+\end{bmatrix} = \text{rank } 
+\begin{bmatrix}
+A + B & B \\
+B & B
+\end{bmatrix} \geq \text{rank } (A + B)
+$$
+
+注：（2）与（4）结合即第一个不等式的证明方法
+
+> [!note] 证明1：  
+$$\operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}$$
+
+---
+
+### 证明思路  
+设  
+$$
+A \in \mathbb{R}^{m \times n}, \quad B \in \mathbb{R}^{n \times p}, \quad C = AB \in \mathbb{R}^{m \times p}.
+$$
+
+---
+
+#### 1. 先证$\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(A)$
+
+- 考虑$C$的列向量：  
+  设$B = [b_1, b_2, \dots, b_p]$，则  
+ $$
+  C = [A b_1, A b_2, \dots, A b_p].
+ $$
+  因此$C$的每一列都是$A$的列向量的线性组合。  
+- 所以$C$的列空间是$A$的列空间的子空间，故  
+ $$
+  \operatorname{rank}(C) \leq \operatorname{rank}(A)。
+ $$
+
+---
+
+#### 2. 再证$\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(B)$
+
+- 考虑$C$的行向量：  
+  设$A = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_m \end{bmatrix}$，则  
+ $$
+  C = \begin{bmatrix} a_1 B \\ a_2 B \\ \vdots \\ a_m B \end{bmatrix}.
+ $$
+  因此$C$的每一行都是$B$的行向量的线性组合。  
+- 所以$C$的行空间是$B$的行空间的子空间，故  
+ $$\operatorname{rank}(C) \leq \operatorname{rank}(B)$$
+
+---
+
+#### 3. 综合  
+由 1 和 2 得  
+$$
+\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(A) \quad \text{且} \quad \operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(B),
+$$
+即  
+$$
+\operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}.
+$$
+
+---
+
+**证毕。**
+
+> [!note] 证明2 
+> 证明 Sylvester 秩不等式：
+$$\operatorname{rank}(AB) \ge \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - n$$
+其中  
+$A \in \mathbb{R}^{m \times n}, \; B \in \mathbb{R}^{n \times p}, \; AB \in \mathbb{R}^{m \times p}$。
+
+---
+
+### 证明思路
+设：
+-$\operatorname{rank}(A) = r$
+-$\operatorname{rank}(B) = s$
+-$n$是矩阵乘法的中间维度，即$A$的列数、$B$的行数。
+
+---
+
+#### 1. 利用分块矩阵构造
+构造如下分块矩阵：
+$$
+M = \begin{bmatrix}
+A & O \\
+I_n & B
+\end{bmatrix}
+\in \mathbb{R}^{(m+n) \times (n+p)}
+$$
+其中$I_n$是$n \times n$单位矩阵，$O$是零矩阵。
+
+---
+
+#### 2. 对$M$进行初等变换
+从$M$的第二块行减去第一块行左乘某个矩阵（这里相当于对$M$做列初等变换），实际上我们可以对$M$做以下变换：
+$$
+\begin{bmatrix}
+A & O \\
+I_n & B
+\end{bmatrix}
+\xrightarrow{\text{右乘 } \begin{bmatrix} I_n & -B \\ O & I_p \end{bmatrix}}
+\begin{bmatrix}
+A & -AB \\
+I_n & O
+\end{bmatrix}
+$$
+初等变换不改变矩阵的秩，所以：
+$$
+\operatorname{rank}(M) = \operatorname{rank}\begin{bmatrix}
+A & -AB \\
+I_n & O
+\end{bmatrix}
+$$
+
+---
+
+#### 3. 估计$\operatorname{rank}(M)$
+另一方面，由分块矩阵的秩不等式：
+$$
+\operatorname{rank}(M) \ge \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B)
+$$
+这是因为$M$左上块为$A$，右下块为$B$，中间有单位矩阵，所以$A$和$B$的秩可以同时取到。
+
+利用：
+$$
+\operatorname{rank}\begin{bmatrix}
+A & O \\
+I_n & B
+\end{bmatrix} \ge \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B)
+$$
+因为$I_n$的存在使得两个子块的秩可以同时保持。
+
+---
+
+#### 4. 从变换后的矩阵得到下界
+
+实际上更直接的方法是注意到：
+$$
+\operatorname{rank}\begin{bmatrix}
+A & -AB \\
+I_n & O
+\end{bmatrix}
+= \operatorname{rank}\begin{bmatrix}
+O & -AB \\
+I_n & O
+\end{bmatrix} \quad (\text{行变换})
+$$
+即：
+$$
+= \operatorname{rank}\begin{bmatrix}
+I_n & O \\
+O & AB
+\end{bmatrix} = \operatorname{rank}(I_n) + \operatorname{rank}(AB) = n + \operatorname{rank}(AB)
+$$
+
+---
+
+#### 5. 联立
+由初等变换保秩，得：
+$$
+n + \operatorname{rank}(AB) = \operatorname{rank}(M) \ge \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B)
+$$
+整理得：
+$$
+\operatorname{rank}(AB) \ge \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - n
+$$
+
+---
+
+## 重点思路
+
+>[!information] 思路1
+>通过矩阵的秩的不等式，最大限度限制所求的表达式的取值范围，或者将其**限制到一个具体的值**.
+>在希望求一个矩阵的秩的确切值时，也可以考虑用不等式关系来“夹逼”，常见的不等式：
+>1. $\mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}-n\le\mathrm{rank}(\boldsymbol{AB})\le\min{\{\mathrm{rank}\boldsymbol{A}, \mathrm{rank}\boldsymbol{B}\}}$
+>2. $\mathrm{rank}(\boldsymbol{A+B})<\mathrm{rank}\boldsymbol A+\mathrm{rank}\boldsymbol B$
+>3. 矩阵加边不会减小秩；
+>
+
+> [!note] 思路2
+> 在遇到诸如 $AB=O$ 的情况，务必要想到$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}-n\le\mathrm{rank}(\boldsymbol{AB}) \Rightarrow \mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}\le n$
+
+> [!example] 例1
+> 设 $A$ 是 $m\times n$ 实矩阵， $\beta \neq 0$ 是 $m$ 维实列向量，证明：
+> (1) $\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)$ .
+> (2) 线性方程组 $A^\mathrm{T}Ax = A^\mathrm{T}\beta$ 有解.（这一问用到这个方法）
+
+解析：证明如下：
+>(1)（10分）
+> 对于方程组$Ax=0$ (a)和 $A^\mathrm{T}Ax=0$ (b)，b的解空间一定包含a的解空间（5分）；
+>而方程b两边同时乘以$x^\mathrm{T}$，得 $x^\mathrm{T}A^\mathrm{T}Ax=0$ ，即 $(x^\mathrm{T}A^\mathrm{T})(Ax)=0 \to Ax=0$，
+>所以a的解空间包含b的解空间（5分），
+>所以a,b同解，所以$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}{A^\mathrm{T}A}$
+>(2) （10分）
+>$A^\mathrm{T}Ax=A^\mathrm{T}\beta \iff \mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)=\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}A^\mathrm{T}A&A^\mathrm{T}\beta\end{bmatrix})$
+>而由(1)的结论得等式左边 $\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)=\mathrm{rank}A$；
+>等式右边 $\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}A^\mathrm{T}A&A^\mathrm{T}\beta\end{bmatrix})\ge \mathrm{rank}A^\mathrm{T}A=\mathrm{rank}A$ （5分）
+>又$\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}\begin{bmatrix}A&\beta\end{bmatrix})\le \min{(\mathrm{rank}A^\mathrm{T},\ \mathrm{rank}\begin{bmatrix}A&\beta\end{bmatrix})}=\mathrm{rank}A$ （5分）
+>所以$\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}A^\mathrm{T}A&A^\mathrm{T}\beta\end{bmatrix})=\mathrm{rank}A$
+>故 $\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)=\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}A^\mathrm{T}A&A^\mathrm{T}\beta\end{bmatrix})$ 得证.
+
+>[!example] 例2 
+>已知$A, B, C, D$都是 4 阶非零矩阵，且$ABCD = O$，如果$|BC| \neq 0$，记$$r(A) + r(B) + r(C) + r(D) = r$$ 
+>则$r$的最大值是（ ）。
+>(A) 11  
+>(B) 12  
+>(C) 13  
+>(D) 14  
+
+**解析思路**：  
+- 由$|BC| \neq 0$知$B, C$均可逆。  
+- 由$ABCD = O$，故$r(AB) + r(CD) \le 4$，$r(A) + r(D) \le 4$
+- 又$B, C$满秩，即$r(B) = r(C) = 4$。  
+- 于是$r = r(A) + r(B) + r(C) + r(D) \le 4 + 4 + 4 = 12$。  
+- 存在构造使等号成立，故最大值为$12$。 
+- 例如$$A = 
+\begin{pmatrix}
+1 & 0 & 0 & 0 \\
+0 & 1 & 0 & 0 \\
+0 & 0 & 0 & 0 \\
+0 & 0 & 0 & 0
+\end{pmatrix},
+\quad 
+D = 
+\begin{pmatrix}
+0 & 0 & 0 & 0 \\
+0 & 0 & 0 & 0 \\
+1 & 0 & 0 & 0 \\
+0 & 1 & 0 & 0
+\end{pmatrix}$$
+**答案**： (B) 12  

编写小组/试卷/2025秋期中考前押题卷解析版.md

@@ -152,7 +152,7 @@ F $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+\sqrt{n}}}{n^2+1}$
 3. **斜渐近线**（$x \to +\infty$）：
     
     - 斜率 $k = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{y}{x} = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln(1+e^x)}{x} + \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\frac{2+x}{2-x} \arctan \frac{x}{2}}{x}$。  
-        由于 $\ln(1+e^x) =\ln e^x(1+e^{-x}) x + \ln(1+e^{-x})$，所以 $\frac{\ln(1+e^x)}{x} = 1 + \frac{\ln(1+e^{-x})}{x} \to 1$；  
+        由于 $\ln(1+e^x) =\ln e^x(1+e^{-x})= x + \ln(1+e^{-x})$，所以 $\frac{\ln(1+e^x)}{x} = 1 + \frac{\ln(1+e^{-x})}{x} \to 1$；  
         又 $\frac{2+x}{2-x} \to -1$，$\frac{\arctan \frac{x}{2}}{x} \to 0$，所以第二项趋于0，因此 $k = 1$。
         
     - 截距 $b = \lim\limits_{x \to +\infty} (y - x) = \lim\limits_{x \to +\infty} \left[ \ln(1+e^x) - x + \frac{2+x}{2-x} \arctan \frac{x}{2} \right]$。  

编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.10线代限时练-答案.md

@@ -0,0 +1,54 @@
+1. （7分） $\begin{bmatrix}1&2^{101}-2&0\\0&2^{100}&0\\0&\frac{5}{3}(1-2^{100})&1\end{bmatrix}$
+>解析：
+>$A$ 的特征值为 $1,1,2$，
+>$A=\begin{bmatrix}0&1&2\\0&0&1\\1&-1&-\frac{5}{3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1&2\\0&0&1\\1&-1&-\frac{5}{3}\end{bmatrix}^{-1}$
+2. （6分） $\frac{n(n-1)}{2}$
+>解析：略
+3. $s$ 是奇数
+>解析：向量组 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$ 线性无关，即 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 到 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$ 的过渡矩阵可逆（此时两个向量组等价），过渡矩阵为$\begin{bmatrix}1&&&\cdots&1\\1&1&&&\\&1&1&&\\&&\ddots&\ddots&\\&&&1&1\end{bmatrix}_{s\times s}$，过渡矩阵的行列式不为$0$
+>按照第一行展开：
+>$\begin{vmatrix}1&&&\cdots&1\\1&1&&&\\&1&1&&\\&&\ddots&\ddots&\\&&&1&1\end{vmatrix}_{s\times s}=(-1)^2\begin{vmatrix}1&&&&\\1&1&&&\\&1&1&&\\&&\ddots&\ddots&\\&&&1&1\end{vmatrix}_{(s-1)\times (s-1)}+(-1)^{s+1}\begin{vmatrix}1&1&&&\\&1&1&&\\&&1&\ddots&\\&&&\ddots&1\\&&&&1\end{vmatrix}_{(s-1)\times (s-1)}$
+>即$\begin{vmatrix}1&&&\cdots&1\\1&1&&&\\&1&1&&\\&&\ddots&\ddots&\\&&&1&1\end{vmatrix}_{s\times s}=1+(-1)^{s+1}=\begin{cases}0,s\text{为偶数}\\2,s\text{为奇数}\end{cases}$
+>所以 $s$ 是奇数
+4. （6分） 0
+>解析：因为$A,B$是正交矩阵且$|A|=-|B|$，所以$A^\mathrm{T}A=E, B^\mathrm{T}B=E, |A|=\pm 1, |B|=\mp 1$，
+>而$A^{-1}(A+B)B^{-1}=B^{-1}+A^{-1}=A^\mathrm{T}+B^\mathrm{T}=(A+B)^\mathrm{T}$，
+>所以$|A^{-1}||A+B||B^{-1}|=|(A+B)^\mathrm{T}|=|A+B|$，$|A^{-1}||B^{-1}|=-1$
+>所以$-|A+B|=|A+B|$，即$|A+B|=0$
+5. （7分） 0
+>$A\sim B\sim\begin{bmatrix}1&&&\\&2&&\\&&3&\\&&&4\end{bmatrix}$，
+>所以$B^{-1}-E\sim\begin{bmatrix}1&&&\\&2&&\\&&3&\\&&&4\end{bmatrix}^{-1}-E=\begin{bmatrix}0&&&\\&-\frac{1}{2}&&\\&&-\frac{2}{3}&\\&&&-\frac{3}{4}\end{bmatrix}$，
+>所以$|B^{-1}-E|=\begin{vmatrix}0&&&\\&-\frac{1}{2}&&\\&&-\frac{2}{3}&\\&&&-\frac{3}{4}\end{vmatrix}=0$
+6. （7分） 0
+>解析：设 $\alpha,\beta,\gamma$ 为 $x^3+px+q=0$ 的三个根，则 $x^3+px+q=$$(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma)x+\alpha\beta\gamma$ ，所以$\alpha+\beta+\gamma=0$，将行列式第二、三行加在第一行，第一行全为$\alpha+\beta+\gamma=0$，故行列式为0
+7. （20分） $D_n=2^{n-1}(2+\sum\limits_{j=1}^n a_j^2)$
+>解析
+>方法1：
+>行列式加边法：$D_n=\begin{vmatrix}1&a_1&a_2&\cdots&a_n\\0&2+a_1^2&a_1a_2&\cdots&a_1a_n\\0&a_2a_1&2+a_2^2&\cdots&a_2a_n\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&a_na_1&a_na_2&\cdots&2+a_n^2\end{vmatrix}$
+>将第一行乘以 $(-a_i)$ 加到第 $i+1$ 行：
+>$D_n=\begin{vmatrix}1&a_1&a_2&\cdots&a_n\\-a_1&2&&&\\-a_2&&2&&\\\vdots&&&\ddots&\\-a_n&&&&2\end{vmatrix}$（模板：箭头行列式）
+>再将第 $j+1$ 列乘以 $\frac{a_j}{2}$ 加到第一列：
+>$D_n=\begin{vmatrix}1+\sum\limits_{j=1}^n\frac{a_j^2}{2}&a_1&a_2&\cdots&a_n\\&2&&&\\&&2&&\\&&&\ddots&\\&&&&2\end{vmatrix}$
+>所以$D_n=2^{n-1}(2+\sum\limits_{j=1}^n a_j^2)$
+>方法2：
+>核心结论：$|E+AB|=|E+BA|$
+>$D_n=|2E_n+xx^\mathrm{T}|=2^n|E_n+\frac{1}{2}xx^\mathrm{T}|=2^n|E_1+\frac{1}{2}x^\mathrm{T}x|=2^n(1+x^\mathrm{T}x)=2^{n-1}(2+\sum\limits_{j=1}^{n}a_j^2)$
+8. （20分） $\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$
+>解析：由 $\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$ 可得 $A$ 的列向量组线性相关， $|A|=0$；又因为 $A$ 的三个特征值各不相同，故 $A$ 有两个不为零的特征值 $\lambda_1,\lambda_2$，且 $A$ 可相似对角化，即 $A=P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P$，$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P)=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}=2$
+>故 $Ax=0$ 的解空间维数是 $1$ （5分）
+>$\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$，所以 $(1,3,4)^\mathrm{T}$ 为特解；（5分）
+>$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，所以$A\begin{bmatrix}2k\\k\\-k\end{bmatrix}=2\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3=0$，所以 $(2,1,-1)^\mathrm{T}$ 为基础解系；（10分）
+>解空间维数是 $1$ ，方程的解 $\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$ 维数是 $1$，该解完备
+9. 证明如下：
+>(1)（10分）
+> 对于方程组$Ax=0$ (a)和 $A^\mathrm{T}Ax=0$ (b)，b的解空间一定包含a的解空间（5分）；
+>而方程b两边同时乘以$x^\mathrm{T}$，得 $x^\mathrm{T}A^\mathrm{T}Ax=0$ ，即 $(x^\mathrm{T}A^\mathrm{T})(Ax)=0 \to Ax=0$，
+>所以a的解空间包含b的解空间（5分），
+>所以a,b同解，所以$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}{A^\mathrm{T}A}$
+>(2) （10分）
+>$A^\mathrm{T}Ax=A^\mathrm{T}\beta \iff \mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)=\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}A^\mathrm{T}A&A^\mathrm{T}\beta\end{bmatrix})$
+>而由(1)的结论得等式左边 $\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)=\mathrm{rank}A$；
+>等式右边 $\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}A^\mathrm{T}A&A^\mathrm{T}\beta\end{bmatrix})\ge \mathrm{rank}A^\mathrm{T}A=\mathrm{rank}A$ （5分）
+>又$\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}\begin{bmatrix}A&\beta\end{bmatrix})\le \min{(\mathrm{rank}A^\mathrm{T},\ \mathrm{rank}\begin{bmatrix}A&\beta\end{bmatrix})}=\mathrm{rank}A$ （5分）
+>所以$\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}A^\mathrm{T}A&A^\mathrm{T}\beta\end{bmatrix})=\mathrm{rank}A$
+>故 $\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)=\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}A^\mathrm{T}A&A^\mathrm{T}\beta\end{bmatrix})$ 得证.

编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.10线代限时练.md

@@ -1,13 +1,13 @@
 一、填空题
-1. 设 $A=\begin{bmatrix}1&2&0\\0&2&0\\-2&-1&-1\end{bmatrix}$，则$A^{100}=$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
+1. （7分）设 $A=\begin{bmatrix}1&2&0\\0&2&0\\-2&-1&-1\end{bmatrix}$，则$A^{100}=$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
-2. 线性空间 $V = \{A\in\mathbb{R}^{n\times n}|A = -A^\mathrm{T}\}$ 的维数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
+2. （6分）线性空间 $V = \{A\in\mathbb{R}^{n\times n}|A = -A^\mathrm{T}\}$ 的维数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
-3. 设向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 线性无关，$\beta_1=\alpha_1+\alpha_2,\beta_2=\alpha_2+\alpha_3,\cdots,\beta_{s-1}=\alpha_{s-1}+\alpha_s$，则向量组 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$ 线性无关的充要条件是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
+3. （7分）设向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 线性无关，$\beta_1=\alpha_1+\alpha_2,\beta_2=\alpha_2+\alpha_3,\cdots,\beta_{s-1}=\alpha_{s-1}+\alpha_s, \beta_{s}=\alpha_{s}+\alpha_1$，则向量组 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$ 线性无关的充要条件是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
-4. 已知 $A,B$ 均为 $n$ 阶正交矩阵，且 $|A|=-|B|$，则 $|A+B|$ 的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
+4. （6分）知 $A,B$ 均为 $n$ 阶正交矩阵，且 $|A|=-|B|$，则 $|A+B|$ 的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
-5. 已知 $4$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，$A$ 的全部特征值为 $1,2,3,4$，则行列式 $|B^{-1}-E|$ 为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
+5. （7分）已知 $4$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，$A$ 的全部特征值为 $1,2,3,4$，则行列式 $|B^{-1}-E|$ 为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
-6. 设 $\alpha,\beta,\gamma$ 为 $x^3+px+q=0$ 的三个根，则行列式 $\begin{vmatrix}\alpha&\beta&\gamma\\\gamma&\alpha&\beta\\\beta&\gamma&\alpha\end{vmatrix}$ 的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
+6. （7分）设 $\alpha,\beta,\gamma$ 为 $x^3+px+q=0$ 的三个根，则行列式 $\begin{vmatrix}\alpha&\beta&\gamma\\\gamma&\alpha&\beta\\\beta&\gamma&\alpha\end{vmatrix}$ 的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
 二、解答题
-7. 计算$n$阶行列式 $D_n=\begin{vmatrix}2+a_1^2 & a_1a_2 & \cdots&a_1a_n \\ a_2a_1& 2+a_2^2 & \cdots & a_2a_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_na_1&a_na_2&\cdots& 2+a_n^2\end{vmatrix}$.
+7. （20分）计算$n$阶行列式 $D_n=\begin{vmatrix}2+a_1^2 & a_1a_2 & \cdots&a_1a_n \\ a_2a_1& 2+a_2^2 & \cdots & a_2a_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_na_1&a_na_2&\cdots& 2+a_n^2\end{vmatrix}$.
-8. 已知三阶方阵 $A=\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\end{bmatrix}$ 有三个不同的特征值，其中$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，若 $\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$ ，求线性方程组 $Ax=\beta$ 的通解.
+8. （20分）已知三阶方阵 $A=\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\end{bmatrix}$ 有三个不同的特征值，其中$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，若 $\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$ ，求线性方程组 $Ax=\beta$ 的通解.
-9. 设 $A$ 是 $m\times n$ 实矩阵， $\beta \neq 0$ 是 $m$ 维实列向量，证明：
+9. （20分）设 $A$ 是 $m\times n$ 实矩阵， $\beta \neq 0$ 是 $m$ 维实列向量，证明：
 	(1) $\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)$ .
 	(2) 线性方程组 $A^\mathrm{T}Ax = A^\mathrm{T}\beta$ 有解.

编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.13线代测试答案.md

@@ -0,0 +1,223 @@
+# **1.13 线性代数限时练（题目 + 答案与解析）**
+
+## **第一部分：题目**
+
+### **1.**
+
+已知三阶行列式 $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=c$，代数余子式之和 $\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}A_{ij}=3c$，则行列式 $\begin{vmatrix}a_{11}+1&a_{12}+1&a_{13}+1\\a_{21}+1&a_{22}+1&a_{23}+1\\a_{31}+1&a_{32}+1&a_{33}+1\end{vmatrix}=$？
+
+### **2.（2013 秋 A）**
+
+$已知向量空间 V=\{(2a,2b,3b,3a)\mid a,b\in\mathbb{R}\}，则 V 的维数是\underline{\qquad}。$
+
+### **3.（2018 秋 A）**
+
+$设 E 为 3 阶单位矩阵，\alpha 为一个 3 维单位列向量，则矩阵 E-\alpha\alpha^T 的全部 3 个特征值为\underline{\qquad}。$
+
+### **4.（2018 秋 A）**
+
+$设 n 阶矩阵 A=[a_{ij}]_{n\times n}，则二次型 f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=1}^{n}(a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n)^2 的矩阵为\underline{\qquad}。$
+### **5.（2018 秋 A）**
+
+$若 n 阶实对称矩阵 A 的特征值为 \lambda_i=(-1)^i（i=1,2,\cdots,n），则 A^{100}=\underline{\qquad}。$
+
+### **6.（2022 秋 A・5）**
+
+$已知 n（n\geq2）维列向量 \alpha,\beta 满足 \beta^T\alpha=-3，则方阵 (\beta\alpha^T)^2 的非零特征值为\underline{\qquad}。$
+
+### **7.（2022 秋 A）**
+
+$已知向量组 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 线性无关（\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathbb{R}^3），A 为 3 阶方阵，且满足：$
+
+$$\begin{aligned}
+A\alpha_1&=2\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3,\\A\alpha_2&=\alpha_1+2\alpha_2+3\alpha_3,\\A\alpha_3&=2\alpha_1+4\alpha_2+\alpha_3
+\end{aligned}
+$$
+(1) $证明 A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3 线性无关$；
+
+(2) $计算行列式 |E-A|（E 是 3 阶单位矩阵）$。
+
+### **8.（2013 秋 A）**
+
+$求 n 阶方阵 A=\begin{bmatrix}1&1&1&\cdots&1\\1&0&1&\cdots&1\\1&1&0&\cdots&1\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&1&1&\cdots&0\end{bmatrix} 的逆矩阵。$
+
+### **9.（2013 秋 A・三）**
+
+设 n 阶行列式：
+
+$$D_n=\begin{vmatrix}1&1&0&\cdots&0&0\\-1&1&1&\cdots&0&0\\0&-1&1&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1&1\\0&0&0&\cdots&-1&1\end{vmatrix}$$
+
+证明：$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$。
+
+## **第二部分：答案与解析**
+
+### 1. 答案：$\boxed{4c}$
+
+#### **解析：**
+
+$设原矩阵为 A（即 |A|=c），全 1 矩阵 J=\boldsymbol{e}\boldsymbol{e}^T（其中 \boldsymbol{e}=(1,1,1)^T），需求解的行列式为 |A+J|。$
+由代数余子式性质：$\sum_{i,j}A_{ij}=\boldsymbol{e}^T A^*\boldsymbol{e}=3c$，且可逆矩阵的伴随矩阵满足$A^*=|A|A^{-1}=cA^{-1}$（因 $|A|=c\neq0，A$ 可逆），代入得 $\boldsymbol{e}^T A^{-1}\boldsymbol{e}=3$。
+
+利用**Sherman-Morrison 行列式公式**：对可逆矩阵$A$ 和向量 $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}$，有 $|A+\boldsymbol{u}\boldsymbol{v}^T|=|A|(1+\boldsymbol{v}^T A^{-1}\boldsymbol{u})$。
+
+此处 $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{v}=\boldsymbol{e}$，代入得 $|A+J|=c(1+\boldsymbol{e}^T A^{-1}\boldsymbol{e})=c(1+3)=4c$。
+
+### **2. 答案：$\boxed{2}$
+
+#### **解析：**
+
+将向量空间 V 中的元素拆分为线性组合形式：
+
+$$(2a,2b,3b,3a)=a(2,0,0,3)+b(0,2,3,0)$$
+
+设 $\boldsymbol{\alpha}=(2,0,0,3)，\boldsymbol{\beta}=(0,2,3,0)$，需验证 $\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}$ 线性无关：
+
+若 $k_1\boldsymbol{\alpha}+k_2\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{0}$（零向量），则 $\begin{cases}2k_1=0\\2k_2=0\\3k_2=0\\3k_1=0\end{cases}$，解得 $k_1=k_2=0$，故 $\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}$是 V 的一组基。
+
+向量空间的维数等于基的个数，因此 $V$ 的维数为 $2$。
+
+### **3. 答案：$\boxed{1,1,0}$
+
+#### **解析：**
+
+设 $B=\alpha\alpha^T$，该矩阵为**秩 $1$ 矩阵**（因 $\alpha$ 是单位列向量，$\alpha^T\alpha=1$）。
+
+• 秩 $1$ 矩阵的特征值性质：非零特征值为矩阵的迹 $\text{tr}(B)=\alpha^T\alpha=1$，其余 $n-1=2$ 个特征值为 $0$（秩 $1$ 矩阵的非零特征值个数等于秩）。
+
+• 若 $B\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$（$\boldsymbol{x}$为特征向量），则 $(E-B)\boldsymbol{x}=(1-\lambda)\boldsymbol{x}$，即$E-B$ 的特征值为 $1-\lambda$。
+
+$代入 B 的特征值 \lambda=1,0,0，得 E-B 的特征值为 1-1=0，1-0=1，1-0=1，即 1,1,0$。
+
+### **4. 答案：$\boxed{A^T A}$**
+
+#### **解析：**
+
+记$A_i$为$A$中除了第$i$行全都改为$0$的矩阵，$\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\end{bmatrix}^T$。那么$$A_i\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}0 & 0 & \cdots & 0\\\vdots & \vdots & &\vdots\\a_{i1} & a_{i2} & \cdots &a_{in}\\\vdots & \vdots & &\vdots\\0 & 0 & \cdots & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots\\\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}x_j\\\vdots\\0\end{bmatrix}$$则$$(a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n)^2=(\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}x_j)^2=(A_i\boldsymbol{x})^TA_i\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^TA_i^TA_i\boldsymbol{x}$$将二次型用上式展开得：
+
+$$\begin{aligned}
+f(\boldsymbol{x})&=\sum_{i=1}^{n}(\boldsymbol{x}^TA_i^TA_i\boldsymbol{x})\\
+&=\boldsymbol{x}^T(\sum\limits_{i=1}^nA_i^TA_i)\boldsymbol{x}\\
+&=\boldsymbol{x}^T(\sum\limits_{i=1}^nA_i^T\sum\limits_{i=1}^nA_i)\boldsymbol{x}\\
+&=\boldsymbol{x}^T(A^T A)\boldsymbol{x}
+\end{aligned}$$
+其中因为$A_i^TA_j=\boldsymbol{0},$如果$i\neq j$，所以
+$$\sum\limits_{i=1}^nA_i^T\sum\limits_{i=1}^nA_i=\sum\limits_{i=1}^nA_i^TA_i$$
+
+• 二次型的矩阵需满足**对称性质**（即矩阵等于其转置），验证：$(A^T A)^T=A^T(A^T)^T=A^T A$，故 $A^T A$ 是对称矩阵，即为二次型的矩阵。
+
+### **5. 答案：$\boxed{E}$（单位矩阵）**
+
+#### **解析：**
+
+实对称矩阵可对角化，即存在可逆矩阵 P，使得 $P^{-1}AP=\Lambda$（$\Lambda$ 为对角矩阵，对角元为 A 的特征值 $\lambda_i=(-1)^i$）。
+
+• 矩阵幂运算性质：$A^{100}=P\Lambda^{100}P^{-1}$。
+
+• 计算 $\Lambda^{100}$：对角元为 $\lambda_i^{100}=[(-1)^i]^{100}=1$，故 $\Lambda^{100}=E$（单位矩阵）。
+
+• 因此 $A^{100}=P E P^{-1}=P P^{-1}=E$。
+
+### **6. 答案：$\boxed{9}$**
+
+#### **解析：**
+
+设 $A=\beta\alpha^T$（秩 1 矩阵），计算 $A^2$：
+
+$A^2=(\beta\alpha^T)(\beta\alpha^T)=\beta(\alpha^T\beta)\alpha^T=(\alpha^T\beta)A$
+
+• 注意：$\alpha^T\beta=(\beta^T\alpha)^T$（矩阵转置性质），而 $\beta^T\alpha=-3$（数，转置等于自身），故 $\alpha^T\beta=-3$，因此 $A^2=-3A$。
+
+• 秩 $1$ 矩阵 $A$ 的非零特征值为 $\text{tr}(A)=\alpha^T\beta=-3$，设 $A\boldsymbol{x}=-3\boldsymbol{x}$，则 $A^2\boldsymbol{x}=(-3)A\boldsymbol{x}=(-3)^2\boldsymbol{x}=9\boldsymbol{x}$，即 $A^2$ 的非零特征值为 $9$。
+
+### **7. 答案：(1) 证明见解析；(2) $\boxed{20}$**
+
+#### **(1) 证明 $A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3$ 线性无关**
+
+因 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，故矩阵 $P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 可逆（列向量线性无关的矩阵可逆）。
+
+由题设条件，将 $A$ 对 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 的作用表示为矩阵乘法：
+
+$$A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\begin{bmatrix}2&1&2\\-1&2&4\\-1&3&1\end{bmatrix}=P C$$
+
+其中 $C=\begin{bmatrix}2&1&2\\-1&2&4\\-1&3&1\end{bmatrix}$，计算 $|C|$：
+
+$$\begin{aligned}
+|C|&=2\times(2\times1-4\times3)-1\times(-1\times1-4\times(-1))+2\times(-1\times3-2\times(-1))\\
+&=2\times(-10)-1\times3+2\times(-1)\\
+&=-25\neq0
+\end{aligned}
+$$
+
+• 因 $|C|\neq0$，故 $C$ 可逆，$\text{rank}(C)=3$。
+
+• 又 $P$ 可逆，故 $\text{rank}(A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3)=\text{rank}(P C)=\text{rank}(C)=3$，即 $A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3$ 线性无关。
+
+#### **(2) 计算 $|E-A|$**
+
+由 (1) 知$P^{-1}AP=C（A 与 C 相似）$，则 $E-A$ 与 $E-C$ 相似（相似矩阵的 “单位矩阵减矩阵” 仍相似），而**相似矩阵的行列式相等**，故 $|E-A|=|E-C|$。
+
+计算 $E-C$：
+
+$$E-C=\begin{bmatrix}1-2&0-1&0-2\\0-(-1)&1-2&0-4\\0-(-1)&0-3&1-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&-1&-2\\1&-1&-4\\1&-3&0\end{bmatrix}$$
+
+按第三行展开计算行列式：
+
+$$
+\begin{aligned}
+|E-C|&=1\times\begin{vmatrix}-1&-2\\-1&-4\end{vmatrix}-(-3)\times\begin{vmatrix}-1&-2\\1&-4\end{vmatrix}+0\times(\text{余子式})\\
+&=1\times(4-2)+3\times(4+2)\\
+&=2+18=20
+\end{aligned}
+$$
+
+故 $|E-A|=20$。
+
+### **8. 答案：**
+
+$$A^{-1}=\begin{bmatrix}-(n-2)&1&1&\cdots&1\\1&-1&0&\cdots&0\\1&0&-1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&0&0&\cdots&-1\end{bmatrix}
+$$
+#### **解析：**
+
+通过 “行变换法” 或 “规律归纳” 推导：
+
+• 观察矩阵 A 的结构：第一行全为 1，其余行的对角元为 0，非对角元为 1。可先计算 n=2,3 时的逆矩阵，归纳规律：
+
+◦ $当 n=2 时，A=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}，逆矩阵为 \begin{bmatrix}0&1\\1&-1\end{bmatrix}（符合上述形式，-(2-2)=0）$；
+
+◦ 当 $n=3$ 时，$A=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{bmatrix}$，逆矩阵为 $\begin{bmatrix}-1&1&1\\1&-1&0\\1&0&-1\end{bmatrix}$（符合上述形式，$-(3-2)=-1$）。
+
+• 验证规律：对 n 阶矩阵，逆矩阵的第一行第一列元素为 -(n-2)，第一行其余元素为 1，第一列其余元素为 1，对角元（除第一行第一列）为 -1，非对角元（除第一行、第一列）为 0，即为上述形式。
+
+### **9. 证明：$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$**
+
+ **步骤 1：建立递推公式**
+
+对 $D_n$ 按**第一行展开**（第一行元素为 $a_{11}=1,a_{12}=1$，其余 $a_{1j}=0$）：
+
+$D_n=a_{11}\times(-1)^{1+1}M_{11}+a_{12}\times(-1)^{1+2}M_{12}$
+
+• $M_{11}$：去掉第一行第一列后的子式，即 $n-1$ 阶行列式 $D_{n-1}$（结构与 $D_n$ 一致）；
+
+• $M_{12}$：去掉第一行第二列后的子式，按第一列展开（第一列仅首元素为 $-1$），得 $-D_{n-2}$（符号需结合 $(-1)^{1+2}=-1$）。
+
+因此递推公式为：
+
+$$D_n=D_{n-1}+D_{n-2}$$
+
+ **步骤 2：确定初始条件**
+
+• 当 $n=1$ 时，$D_1=\begin{vmatrix}1\end{vmatrix}=1$；
+
+• 当 n=2 时，$D_2=\begin{vmatrix}1&1\\-1&1\end{vmatrix}=1\times1-1\times(-1)=2$。
+容易证明$n=1,n=2$时满足要证的式子
+
+**步骤3：运用数学归纳法**
+假设当$n\le k$时，有$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$。当$n=k+1$时，有$$
+\begin{aligned}
+D_{k+1}&=D_k+D_{k-1}\\
+&=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{k+1}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{k+1}+(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^k-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^k)\\
+&=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{k}(\frac{3+\sqrt{5}}{2})-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{k}(\frac{1-\sqrt{5}}{2}))\\
+&=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{k}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{k}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2)\\
+&=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{k+2}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{k+2})
+\end{aligned}
+$$满足条件，故由数学归纳法知，$\forall{n}\in\mathbb{N}_+,D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$.

编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.13线代限时练.md

@@ -0,0 +1,66 @@
+1. （[[线代2022秋B]]·1）已知 $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} = c$ ，代数余子式之和 $\sum\limits_{i=1}^{3}\sum\limits_{j=1}^{3} A_{ij} = 3c$ ，则 $\begin{vmatrix}a_{11}+1 & a_{12}+1 & a_{13}+1 \\a_{21}+1 & a_{22}+1 & a_{23}+1 \\a_{31}+1 & a_{32}+1 & a_{33}+1\end{vmatrix} =$ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
+
+2. （[[线代2013秋A]]·4）已知向量空间 $V=\{(2a,2b,3b,3a)|a,b\in\mathbb{R}\}$，则 $V$ 的维数是\_\_\_\_\_.
+
+3. （[[线代2019秋A]]·9）设 $\boldsymbol{E}$ 为 $3$ 阶单位矩阵，$\boldsymbol\alpha$ 为一个 $3$ 维单位列向量，则矩阵 $\boldsymbol E - \boldsymbol\alpha\boldsymbol\alpha^\mathrm{T}$ 的全部 $3$ 个特征值为\_\_\_\_\_\_\_.
+
+4. （[[线代2018秋A]]·12）设 $n$ 阶矩阵 $A=[a_{ij}]_{n\times n}$ ，则二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=1}^n(a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n)^2$ 的矩阵为\_\_\_\_\_\_\_.
+
+5. （[[线代2018秋A]]·11）若 $n$ 阶实对称矩阵 $\boldsymbol A$ 的特征值为 $\lambda_i=(-1)^i\ (i=1,2,\cdots,n)$，则 $\boldsymbol A^{100}=$ \_\_\_\_\_\_\_.
+
+6. ([[线代2022秋A]]·5）已知 $n(n\ge2)$ 维列向量 $\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta$ 满足 $\boldsymbol\beta^\mathrm{T}\boldsymbol\alpha=-3$，则方阵 $(\boldsymbol{\beta\alpha}^\mathrm{T})^2$ 的非零特征值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
+
+7. （[[线代2022秋A]]·七）已知向量组 $\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\alpha_3$ 线性无关，其中 $\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\alpha_3\in\mathbb{R}^3$，$\boldsymbol A$ 为 $3$ 阶方阵，且
+$$\boldsymbol{A\alpha_1}=2\boldsymbol\alpha_1-\boldsymbol\alpha_2-\boldsymbol\alpha_3, \boldsymbol A\boldsymbol\alpha_2=\boldsymbol\alpha_1+2\boldsymbol\alpha_2+3\boldsymbol\alpha_3, \boldsymbol A\boldsymbol\alpha_3=2\boldsymbol\alpha_1+4\boldsymbol\alpha_2+\boldsymbol\alpha_3.$$
+(1) 证明 $A\boldsymbol\alpha_1, A\boldsymbol\alpha_2, A\boldsymbol\alpha_3$ 线性无关；
+(2) 计算行列式 $\boldsymbol E-\boldsymbol A$，其中 $\boldsymbol E$ 是 $3$ 阶单位矩阵.
+```text
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+```
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+8. （[[线代2013秋A]]）求 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\1 & 0 & 1 & \dots & 1 \\1 & 1 & 0 & \dots & 1 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\1 & 1 & 1 & \dots & 0\end{bmatrix}$ 的逆。
+```text
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+```
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+9. （[[线代2013秋A]]·三）设
+	$$D_n=\begin{vmatrix}1&1&0&\cdots&0&0\\-1&1&1&\cdots&0&0\\0&-1&1&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1&1\\0&0&0&\cdots&-1&1\end{vmatrix}$$证明：$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+1}]$ .

编写小组/黑马试卷/1.16黑马试卷.md

@@ -0,0 +1,126 @@
+### 一、选择题（共3小题，每小题2分，共10分）  
+
+1. 函数  
+$$
+   f(x) = \begin{cases} 
+   \sqrt{x} \sin \frac{1}{x}, & x > 0, \\ 
+   0, & x \leq 0 
+   \end{cases}
+$$
+   在点$x = 0$处（ ）。  
+   (A) 不连续  
+   (B) 连续但不可导  
+   (C) 可导且$f'(0) = 0$
+   (D) 可导且$f'(0) \neq 0$
+
+2. 数列极限$\lim_{n \to \infty} (e^{-n} + \pi^{-n})^{\frac{1}{n}}$的值为（ ）。  
+   (A)$e$
+   (B)$\pi$
+   (C)$\frac{1}{e}$
+   (D)$\frac{1}{\pi}$
+
+3. 曲线$y = \frac{x^3 - x^2}{2 + x^2}$的渐近线为（ ）。  
+   (A)$y = x - 1$
+   (B)$y = x + 1$
+   (C)$y = x$
+   (D)$y = \frac{1}{2}x$
+
+---
+
+### 二、填空题（共3小题，每小题2分，共10分）   
+
+4. 函数$f(x) = xe^{-x^2}$在$(-\infty,+\infty)$上的最大值为 $\underline{\qquad}$。  
+
+5. 曲线$C: x = \frac{1}{2} \cos t, y = \sin t, t \in [0,2\pi]$在点$(0,-1)$处的曲率为 $\underline{\qquad}$。  
+
+6. 不定积分$\int \frac{1}{x(1+2\ln x)} dx = \underline{\qquad}$。  
+
+---
+
+### 三、解答题（共4小题，共80分）  
+
+7. 设$y(x)$是由曲线方程$\sin x + y + e^x = 2$确定的隐函数，试计算$\frac{dy}{dx} \bigg|_{x=0}$的值，并求该曲线在点$P(0,1)$处的切线方程。（6分）  
+
+```text
+
+
+
+
+
+
+
+
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+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+```
+
+8. 计算不定积分  
+$$
+    \int \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}} dx。
+$$
+    （6分）  
+
+```text
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+```
+
+9. 设曲线$f(x) = x^3 + ax^2 + 18x$（$a$为大于零的常数）的拐点正好位于$x$轴上，试求$a$的值及曲线$y = f(x)$的拐点坐标。（6分）   
+
+```text
+
+
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+
+
+
+
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+
+
+
+
+
+
+
+```
+
+10. 计算极限  
+    $$\lim_{x \to +\infty} \left[ x + x^2 \ln \left( 1 - \frac{1}{x} \right) \right]。$$ 
+    （6分）

试卷库/线性代数/线代2013秋A.md

@@ -0,0 +1,65 @@
+## 一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
+1. 设行列式 $D=\begin{vmatrix}-1&2&-3\\1&2&0\\-1&3&2\end{vmatrix}$ ，则 $M_{12}+A_{21}-M_{32}=$ ______
+2. 设矩阵 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{B}&\boldsymbol{C}\\\boldsymbol{0}&\boldsymbol{D}\end{bmatrix}$ ，其中 $\boldsymbol{B}$ 、 $\boldsymbol{D}$ 皆为可逆矩阵，则 $\boldsymbol{A}^{-1}=$ ______
+3. 设矩阵 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}2&1&0&0\\0&2&0&0\\0&0&-1&2\\0&0&-2&4\end{bmatrix}$ ， $n$ 为正整数，则 $\boldsymbol{A}^{n}=$ ______
+4. 已知向量空间 $V = \{(2a,2b,3b,3a)\mid a,b\in\mathbb{R}\}$ ，则 $V$ 的维数是______
+5. 已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}-2&1&1\\0&2&0\\-4&1&3\end{bmatrix}$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 的特征值 $2$ 的几何重数是______
+6. 实二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1x_2 - 2x_1x_3 + 2x_2x_3$ 的秩为______
+
+
+## 二、单选题（共6小题，每小题3分，共18分）
+1. 在4阶行列式 $\det[a_{ij}]$ 的展开式中含有因子 $a_{31}$ 的项共有【】
+   - (A) 4项
+   - (B) 6项
+   - (C) 8项
+   - (D) 10项
+2. 设 $\boldsymbol{A}$ 、 $\boldsymbol{B}$ 是 $n$ 阶方阵，且 $\boldsymbol{B}$ 的第 $j$ 列元素全为零，则下列结论正确的是【】
+   - (A)  $\boldsymbol{AB}$ 的第 $j$ 列元素全等于零
+   - (B)  $\boldsymbol{AB}$ 的第 $j$ 行元素全等于零
+   - (C)  $\boldsymbol{BA}$ 的第 $j$ 列元素全等于零
+   - (D)  $\boldsymbol{BA}$ 的第 $j$ 行元素全等于零
+3. 设 $n$ 维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 、 $\boldsymbol{\alpha}_2$ 、 $\boldsymbol{\alpha}_3$ 、 $\boldsymbol{\alpha}_4$ 、 $\boldsymbol{\alpha}_5$ 的秩为3，且满足 $\boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_3 - 3\boldsymbol{\alpha}_5=\boldsymbol{0}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_2 = 2\boldsymbol{\alpha}_4$ ，则该向量组的一个极大线性无关组为【】
+   - (A)  $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_5$ 
+   - (B)  $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_4$ 
+   - (C)  $\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_5$ 
+   - (D)  $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_5$ 
+4. 设 $\boldsymbol{A}$ 、 $\boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶方阵，给定以下命题：(1) $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 等价；(2) $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似；(3) $\boldsymbol{A}$ 、 $\boldsymbol{B}$ 的行向量组等价。下列命题正确的是【】
+   - (A) (1) $\Rightarrow$ (2) $\Rightarrow$ (3)
+   - (B) (2) $\Rightarrow$ (1) $\Rightarrow$ (3)
+   - (C) (3) $\Rightarrow$ (2) $\Rightarrow$ (1)
+   - (D) 以上结论均不对
+1. 设矩阵 $\boldsymbol{A}\sim\boldsymbol{B}$ 、 $\boldsymbol{C}\sim\boldsymbol{D}$ ，则下列命题正确的是【】
+   - (A) $\boldsymbol{A+B}\sim\boldsymbol{C+D}$
+   - (B) $\boldsymbol{A-B}\sim\boldsymbol{C-D}$
+   - (C)  $\boldsymbol{A}^2\sim\boldsymbol{B}^2$ 
+   - (D) $\boldsymbol{AB}\sim\boldsymbol{CD}$
+1. 如果 $\boldsymbol{A}$ 为反对称矩阵，那么 $\boldsymbol{B}=(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A})^{-1}$ 一定为【】
+   - (A) 反对称矩阵
+   - (B) 正交矩阵
+   - (C) 对称矩阵
+   - (D) 对角矩阵
+
+
+## 三、（10分）
+设 $n$ 阶行列式 $D_n=\begin{vmatrix}1&1&0&\cdots&0&0\\-1&1&1&\cdots&0&0\\0&-1&1&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1&1\\0&0&0&\cdots&-1&1\end{vmatrix}$ ，证明： $D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$ 
+
+
+## 四、（10分）
+求 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ （原题 $\boldsymbol{A}$ 具体元素排版混乱，推测可能为 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&1&0&\cdots&1&1\\1&1&1&\cdots&1&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\1&0&0&\cdots&1&1\end{bmatrix}$ ，具体以标准题型为准）的逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 
+
+
+## 五、（10分）
+求解非齐次线性方程组（原题方程排版混乱，整理后推测为）：
+ $\begin{cases}x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 4\\2x_1 + 3x_2 + x_3 = -4\\3x_1 + 8x_2 - 2x_3 = 13\\4x_1 - x_2 + 9x_3 = -6\\x_1 - x_2 + 2x_3 = -5\end{cases}$ （具体方程以标准题型为准）
+
+
+## 六、（10分）
+设 $\boldsymbol{A}$ 、 $\boldsymbol{B}$ 为3阶矩阵， $\boldsymbol{A}$ 相似于 $\boldsymbol{B}$ ， $\lambda_1=-1$ 、 $\lambda_2=1$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的两个特征值， $|\boldsymbol{B}^{-1}|=\frac{1}{3}$ ，求行列式 $\begin{vmatrix}-(\boldsymbol{A}-3\boldsymbol{E})^{-1}&\boldsymbol{0}\\\boldsymbol{0}&\boldsymbol{B}^*+\left(-\frac{1}{4}\boldsymbol{B}\right)^{-1}\end{vmatrix}$ （其中 $\boldsymbol{B}^*$ 为 $\boldsymbol{B}$ 的伴随矩阵）
+
+
+## 七、（12分）
+求一可逆线性变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{y}$ ，将二次型 $f=2x_1^2 + 9x_2^2 + 3x_3^2 + 8x_1x_2 - 4x_1x_3 - 10x_2x_3$ 化成二次型 $g=2y_1^2 + 3y_2^2 + 6y_3^2 - 4y_1y_2 - 4y_1y_3 + 8y_2y_3$ （或按“将 $f$ 化为标准形”的常规题型修正，具体以题目意图为准）
+
+
+## 八、（12分）
+设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶方阵，证明： $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{E}$ 的充分必要条件是 $\mathrm{rank}(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})+\mathrm{rank}(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A})=n$ （其中 $\mathrm{rank}$ 表示矩阵的秩）

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@@ -0,0 +1,77 @@
+
+## 一、单选题(共6小题，每小题3分，共18分)
+1. 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶对称矩阵， $\boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶反对称矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是【】
+    (A)  $\boldsymbol{AB}-\boldsymbol{BA}$ ；
+    (B)  $\boldsymbol{AB}+\boldsymbol{BA}$ ；
+    (C)  $\boldsymbol{BAB}$ ；
+    (D)  $(\boldsymbol{AB})^2$ 。
+
+2. 设 $\boldsymbol{A}$ ， $\boldsymbol{B}$ 是可逆矩阵，且 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似，则下列结论错误的是【】
+    (A)  $\boldsymbol{A}^\mathrm{T}$ 与 $\boldsymbol{B}^\mathrm{T}$ 相似；
+    (B)  $\boldsymbol{A}^{-1}$ 与 $\boldsymbol{B}^{-1}$ 相似；
+    (C)  $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^\mathrm{T}$ 与 $\boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^\mathrm{T}$ 相似；
+    (D)  $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{-1}$ 与 $\boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{-1}$ 相似。
+
+3. 设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=(0,0,c_1)^\mathrm{T}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_2=(0,1,c_2)^\mathrm{T}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_3=(1,-1,c_3)^\mathrm{T}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_4=(-1,1,c_4)^\mathrm{T}$ ，其中 $c_1$ ， $c_2$ ， $c_3$ ， $c_4$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的是【】
+    (A)  $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ ；
+    (B)  $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_4$ ；
+    (C)  $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$ ；
+    (D)  $\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$ 。
+
+4. 设 $\boldsymbol{A}$ ， $\boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶矩阵，则【】
+    (A)  $\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{AB}\end{bmatrix}=\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$ ；
+    (B)  $\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{BA}\end{bmatrix}=\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$ ；
+    (C)  $\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{B}\end{bmatrix}=max\{\mathrm{rank}\boldsymbol{A},\mathrm{rank}\boldsymbol{B}\}$ ；
+    (D)  $\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}&\boldsymbol{B}\end{bmatrix}=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\boldsymbol{A}^\mathrm{T}&\boldsymbol{B}^\mathrm{T}\end{bmatrix}$ 。
+
+5. 设 $\boldsymbol{A}$ 可逆，将 $\boldsymbol{A}$ 的第一列加上第二列的2倍得到 $\boldsymbol{B}$ ，则 $\boldsymbol{A}^*$ 与 $\boldsymbol{B}^*$ 满足【】
+    (A) 将 $\boldsymbol{A}^*$ 的第一列加上第二列的2倍得到 $\boldsymbol{B}^*$ ；
+    (B) 将 $\boldsymbol{A}^*$ 的第一行加上第二行的2倍得到 $\boldsymbol{B}^*$ ；
+    (C) 将 $\boldsymbol{A}^*$ 的第二列加上第一列的 $(-2)$ 倍得到 $\boldsymbol{B}^*$ ；
+    (D) 将 $\boldsymbol{A}^*$ 的第二行加上第一行的 $(-2)$ 倍得到 $\boldsymbol{B}^*$ 。
+
+6. 设齐次线性方程组
+    (I) $\begin{cases}x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0\\2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0\\x_1 + x_2 + ax_3 = 0\end{cases}$ 
+    (II) $\begin{cases}x_1 + bx_2 + cx_3 = 0\\2x_1 + b^2x_2 + (c + 1)x_3 = 0\end{cases}$ 
+    同解，则 $a,b,c$ 的值为【】
+    (A)  $a=1,b=0,c=1$ ；
+    (B)  $a=1,b=1,c=2$ ；
+    (C)  $a=2,b=0,c=1$ ；
+    (D)  $a=2,b=1,c=2$ 。
+
+## 二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)
+7. 已知向量 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0,-1,0)^\mathrm{T}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_2=(1,1,-1,-1)^\mathrm{T}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_3=(-1,0,1,1)^\mathrm{T}$ ，则向量 $\boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2$ 与 $2\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_3$ 的内积 $<\boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2,2\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_3>=$ ________。
+
+8. 设二阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有两个相异特征值， $\boldsymbol{\alpha}_1$ ， $\boldsymbol{\alpha}_2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的线性无关的特征向量，且 $\boldsymbol{A}^2(\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2)=\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2$ ，则 $|\boldsymbol{A}|=$ ________。
+
+9. 若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0,1)^\mathrm{T}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_2=(0,1,1)^\mathrm{T}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_3=(1,3,5)^\mathrm{T}$ 不能由向量组 $\boldsymbol{\beta}_1=(1,1,1)^\mathrm{T}$ ， $\boldsymbol{\beta}_2=(1,2,3)^\mathrm{T}$ ， $\boldsymbol{\beta}_3=(3,4,a)^\mathrm{T}$ 线性表示，则 $a=$ ________。
+
+10. 设矩阵 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&a_1&a_1^2&a_1^3\\1&a_2&a_2^2&a_2^3\\1&a_3&a_3^2&a_3^3\\1&a_4&a_4^2&a_4^3\end{bmatrix}$ ， $\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix}$ ， $\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}$ ，其中 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 互不相同，则线性方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的解为________。
+
+11. 若 $n$ 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_i=(-1)^i(i=1,2,\cdots,n)$ ，则 $\boldsymbol{A}^{100}=$ ________。
+
+12. 设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=[a_{ij}]_{n\times n}$ ，则二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n(a_{i1}x_1 + a_{i2}x_2 + \cdots + a_{in}x_n)^2$ 的矩阵为________。
+
+## 三、计算与证明(共6小题，共64分)
+13. (10分)计算 $n$ 阶行列式 $\begin{vmatrix}1&2&3&\cdots&n-1&n\\2&1&2&\cdots&n-2&n-1\\3&2&1&\cdots&n-3&n-2\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\n-1&n-2&n-3&\cdots&1&2\\n&n-1&n-2&\cdots&2&1\end{vmatrix}$ 。
+
+14. (10分)设 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0,-1)^\mathrm{T}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_2=(2,1,1)^\mathrm{T}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_3=(1,1,1)^\mathrm{T}$ 和 $\boldsymbol{\beta}_1=(0,1,1)^\mathrm{T}$ ， $\boldsymbol{\beta}_2=(-1,1,0)^\mathrm{T}$ ， $\boldsymbol{\beta}_3=(0,2,1)^\mathrm{T}$ 是 $\mathbb{R}^3$ 的两组基，求向量 $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2 - 3\boldsymbol{\alpha}_3$ 在基 $\boldsymbol{\beta}_1$ ， $\boldsymbol{\beta}_2$ ， $\boldsymbol{\beta}_3$ 下的坐标。
+
+15. (10分)设实二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 2x_1x_2 - 2x_1x_3 + 2ax_2x_3$ 通过正交变换可化为标准型 $f=2y_1^2 + 2y_2^2 + by_3^2$ 。
+    (1)求 $a$ ， $b$ 及所用正交变换矩阵 $\boldsymbol{Q}$ ；
+    (2)证明 $\boldsymbol{A} + 2\boldsymbol{E}$ 为正定矩阵。
+
+16. (10分)设三阶矩阵 $\boldsymbol{A}=[\boldsymbol{\alpha}_1\ \boldsymbol{\alpha}_2\ \boldsymbol{\alpha}_3]$ 有三个不同的特征值，且满足 $\boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2$ ， $\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3$ 。
+    (1)证明 $\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=2$ ；
+    (2)求方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 的通解。
+
+17. (12分)设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ ， $\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}$ 。
+    (1)证明 $\boldsymbol{A} - \boldsymbol{E}$ 可逆；
+    (2)证明 $\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{BA}$ ；
+    (3)证明 $\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}\boldsymbol{B}$ ；
+    (4)若 $\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}1&-3&0\\2&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}$ ，求矩阵 $\boldsymbol{A}$ 。
+
+18. (12分)已知实矩阵 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}2&2\\2&a\end{bmatrix}$ ， $\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}4&b\\3&1\end{bmatrix}$ 。
+    (1)证明矩阵方程 $\boldsymbol{AX}=\boldsymbol{B}$ 有解但 $\boldsymbol{BY}=\boldsymbol{A}$ 无解的充要条件是 $a\neq2$ ， $b=\frac{4}{3}$ ；
+    (2)证明矩阵 $\boldsymbol{A}$ 相似于 $\boldsymbol{B}$ 的充要条件是 $a=3$ ， $b=\frac{2}{3}$ ；
+    (3)证明矩阵 $\boldsymbol{A}$ 合同于 $\boldsymbol{B}$ 的充要条件是 $a<2$ ， $b=3$ 。

试卷库/线性代数/线代2019秋A.md

@@ -0,0 +1,65 @@
+
+## 一、单选题(共6小题,每小题3分,共18分)
+1. n维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, ..., \boldsymbol{\alpha}_{r}(3 \le r \le n)$ 线性无关的充要条件是【】
+A. 存在一组不全为零的数 $k_{1}, k_{2}, ..., k_{r}$ 使得 $\sum_{i=1}^{r} k_{i} \boldsymbol{\alpha}_{i} ≠0$ 
+B.  $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, ..., \boldsymbol{\alpha}_{r}$ 中任意两个向量都线性无关
+C.  $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, ..., \boldsymbol{\alpha}_{r}$ 中存在一个向量不能用其余向量线性表示
+D.  $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, ..., \boldsymbol{\alpha}_{r}$ 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示
+
+2. 已知 $\boldsymbol{Q}$ 为n阶可逆矩阵， $\boldsymbol{P}$ 为n阶方阵，满足 $\boldsymbol{Q}\boldsymbol{P}=0$ ，则下列命题中正确的是【】
+A.  $\mathrm{rank}(\boldsymbol{P})=0$ 
+B.  $\boldsymbol{P}$ 可逆
+C.  $\boldsymbol{P}$ 不可对角化
+D. 不存在这样的方阵 $\boldsymbol{P}$ 
+
+3. 已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关，则以下向量组中线性相关的是【】
+A.  $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 
+B.  $\boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{4}-\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 
+C.  $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{4}-\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 
+D.  $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{4}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 
+
+4. 设n阶非零方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A}$ ，则下列命题中正确的是【】
+A.  $\boldsymbol{A}$ 只有特征值1
+B.  $\boldsymbol{A}$ 只有特征值0
+C.  $\boldsymbol{A}$ 可对角化
+D.  $\boldsymbol{A}$ 一定不可逆
+
+5. 下列命题中正确的是【】
+A. 等价的矩阵必相似
+B. 合同的矩阵必相似
+C. 合同的矩阵必等价
+D. 等价的矩阵必合同
+
+6. 设 $\boldsymbol{A}$ 是二次型 $f(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})$ 所对应的矩阵，则下列命题中正确的是【】
+A. 若 $f(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})$ 负定，则 $\boldsymbol{A}$ 的任意阶顺序主子式都大于零
+B. 若 $f(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})$ 正定，则 $\boldsymbol{A}$ 的任意阶顺序主子式都大于零
+C. 若 $f(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})$ 半负定，则 $\boldsymbol{A}$ 的任意阶顺序主子式都大于零
+D. 若 $f(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})$ 半正定，则 $\boldsymbol{A}$ 的任意阶顺序主子式都大于零
+
+## 二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
+7. 如果 $\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 0 & 0 & 9 & x \\ 0 & 0 & 11 & 12\end{vmatrix}=0$ ，则 $x=$ _______
+
+8. n阶方阵 $\begin{bmatrix}1 & a & \cdots & a \\ a & 1 & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & \cdots & 1\end{bmatrix}$ 的秩为 $n - 1$ ，且 $n>2$ ，则 $a=$ _______
+
+9. 设 $\boldsymbol{E}$ 为3阶单位矩阵， $\boldsymbol{\alpha}$ 为一个3维单位列向量，则矩阵 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 的全部3个特征值为_______
+
+10. 设二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})=x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}+2x_{3}^{2}+2ax_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}$ 正定，则参数 $a$ 的取值范围是_______
+
+11.  $\begin{bmatrix}1 & a & 0 \\ 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}^{-1}=$ _______
+
+12. 设 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2 & -1 & -1\end{bmatrix}$ ，则 $\boldsymbol{A}^{100}=$ _______
+
+## 三、计算与证明题(共6小题,共64分)
+13. 计算行列式并解方程 $\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 4 + x \\ 1 & 2 & 3 + x & 4 \\ 1 & 2 + x & 3 & 4 \\ 1 + x & 2 & 3 & 4\end{vmatrix}=0$ 。(10分)
+
+14. 设 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1 & a & b \\ 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$ ，其中 $a, b$ 都不等于0
+(1) 对任意自然数 $n \in \mathbb{N}$ ，计算 $\boldsymbol{A}^{n}$ 。(6分)
+(2) 计算 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 。(4分)
+
+15. 设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是线性方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的解，其中 $\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}\end{bmatrix}$ ， $\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \\ b_{4}\end{bmatrix}$ ，现已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}=\begin{bmatrix}2 \\ 2 \\ 4 \\ 6\end{bmatrix}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_{1}+2\boldsymbol{\alpha}_{3}=\begin{bmatrix}0 \\ 3 \\ 0 \\ 6\end{bmatrix}$ ，求该方程组的通解。(10分)
+
+16. 设方阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似，其中 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}-2 & 0 & 0 \\ 2 & x & 2 \\ 3 & 1 & 1\end{bmatrix}$ ， $\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & y\end{bmatrix}$ ，求 $x, y$ 的值及可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{B}$ 。(10分)
+
+17. 已知二次型 $f=x_{1}^{2}+ax_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2bx_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}$ 可经过正交变换 $\begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{bmatrix}=\boldsymbol{P}\begin{bmatrix}y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}\end{bmatrix}$ 化为 $y_{2}^{2}+4y_{3}^{2}$ ，求 $a, b$ 的值和正交矩阵 $\boldsymbol{P}$ 。(12分)
+
+18. 设 $\boldsymbol{A}$ 为n阶可逆矩阵，证明 $\boldsymbol{A}$ 可以相似对角化当且仅当 $\boldsymbol{A}^{2}$ 可以相似对角化。(12分)

试卷库/线性代数/线代2021秋A.md

@@ -0,0 +1,3 @@
+1. 设三阶方阵 \(A=\begin{bmatrix}a&b&b\\b&a&b\\b&b&a\end{bmatrix}\)，其伴随矩阵 \(A^*\) 的秩等于1，则（ ）
+	A. \(a=b\) 且 \(a+2b\neq0\) 
+	B. \(a=b\) 或 \(a+2b\neq0\) C. \(a\neq b\) 且 \(a+2b=0\) D. \(a\neq b\) 且 \(a+2b\neq0\) 2. 设 \(A, B, A+B, A^{-1}+B^{-1}\) 均为 \(n(n\geq2)\) 阶可逆矩阵，则 \((A^{-1}+B^{-1})^{-1}\) 等于（ ） A. \(A^{-1}+B^{-1}\) B. \(A+B\) C. \(A(A+B)^{-1}B\) D. \((A+B)^{-1}\) 3. 设 \(n\) 维向量 \(\alpha, \beta, \gamma\) 与数 \(k, l, m\) 满足 \(k\alpha+l\beta+m\gamma=0\)，且 \(km\neq0\)，则（ ） A. \(\alpha, \beta\) 与 \(\alpha, \gamma\) 等价 B. \(\alpha, \beta\) 与 \(\beta, \gamma\) 等价 C. \(\alpha, \gamma\) 与 \(\beta, \gamma\) 等价 D. \(\alpha\) 与 \(\gamma\) 等价 4. 下列矩阵中，与 \(\begin{bmatrix}4&2&0\\2&4&0\\0&0&-8\end{bmatrix}\) 合同的是（ ） A. \(\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}\) B. \(\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}\) C. \(\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{bmatrix}\) D. \(\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}\) 5. 设 \(\lambda_1, \lambda_2\) 是矩阵 \(A\) 的两个相异特征值，对应的特征向量分别为 \(\alpha_1, \alpha_2\)，则 \(A(\alpha_1+\alpha_2), \alpha_1\) 线性无关的充要条件为（ ） A. \(\lambda_1\neq0\) B. \(\lambda_2\neq0\) C. \(\lambda_1=0\) D. \(\lambda_2=0\) 6. 设 \(A, B\) 均为 \(n\) 阶正定矩阵，则下列矩阵中必为正定矩阵的是（ ） A. \(kAB\)，其中 \(k\) 为常数 B. \(kA^*+lB^*\)，其中 \(kl>0\) C. \(A^{-1}+B^{-1}\) D. \(A^{-1}-B^{-1}\) ## 二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分) 7. 设矩阵 \(A=\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}\)，则矩阵 \(A^3\) 的秩为________。 8. 已知 \(\alpha_1=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \alpha_2=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\) 和 \(\beta_1=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}, \beta_2=\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}\) 为向量空间的两组基，则从 \(\beta_1, \beta_2\) 到 \(\alpha_1, \alpha_2\) 的过渡矩阵为________。 9. 在实数域中，二次型 \(f(x_1, x_2, x_3)=2x_1x_2-2x_1x_3+2x_2x_3\) 的规范形为________。 10. 设5阶实对称矩阵 \(A\) 满足 \(A^2-2A=O\)，\(\text{rank}(A)=3\)，则 \(|A+E|\) 等于________。 11. 设 \(A=[a_{ij}]_{3\times3}\) 是正交矩阵，且 \(a_{33}=1\)，\(b=\begin{bmatrix}0\\0\\3\end{bmatrix}\)，则线性方程组 \(Ax=b\) 的解为________。 12. 设 \(A\) 为三阶方阵，将 \(A\) 的第2列加到第1列得到 \(B\)，再交换 \(B\) 的第2行与第3行得到单位矩阵，则 \(A\) 等于________。 ## 三、计算与证明题(共6小题,共64分) 13. 求多项式 \(f(x)=\begin{vmatrix}x&x&1&2x\\1&x&2&-1\\2&1&x&1\\2&-1&1&x\end{vmatrix}\) 中 \(x^3\) 的系数。(10分) 14. 设三阶方阵 \(A, B\) 满足 \(A^*BA=2BA-8E\)，其中 \(A=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-2&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)，求 \(B\)。(10分) 15. 已知线性方程组 \(\begin{cases}x_1+x_2=0\\-2x_1+2x_2+(2-\lambda)x_3=1\\-4x_1+(5-\lambda)x_2+2x_3=2\end{cases}\)，讨论当 \(\lambda\) 取何值时，方程组有唯一解、无解、有无穷多解，并求出有无穷多解时的通解。(10分) 16. 设 \(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_m\) 均为实数域上的 \(n\) 维列向量，其中 \(m<n\)，证明 \(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_m\) 线性无关的充要条件为 \(B^TB\) 可逆（其中 \(B=[\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_m]\)）。(10分) 17. 已知 \(\alpha=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{bmatrix}, \beta=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{bmatrix}\) 为 \(n\) 维非零列向量，且 \(\beta^T\alpha\neq0\)，\(A=\alpha\beta^T\)，证明 \(A\) 可相似对角化。(12分) 18. 已知实二次型 \(f(x_1, x_2, x_3)=3x_1^2+2x_2^2+ax_3^2+bx_1x_3\)，经过正交变换 \(x=Py\) 得标准形 \(y_1^2+2y_2^2+5y_3^2\)，其中 \(a, b\) 都是非负实数，求正交变换矩阵 \(P\)。(12分)

试卷库/线性代数/线代2022秋A.md

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+## 一、单选题(共6小题,每小题3分,共18分)
+1. 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵,且 $|\boldsymbol{A}| = 5$ ,则 $||\boldsymbol{A}|\boldsymbol{A}^{T}|$ =【】
+A.  $5n$ 
+B.  $5^{n + 1}$ 
+C.  $5^{n - 1}$ 
+D. 25
+
+2. 设 $\boldsymbol{A}$ , $\boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶方阵,则下列命题中正确的是【】
+A.  $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|=|\boldsymbol{A}| + |\boldsymbol{B}|$ 
+B.  $\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{BA}$ 
+C.  $|\boldsymbol{AB}|=|\boldsymbol{BA}|$ 
+D.  $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}^{-1}$ 
+
+3. 下列关于矩阵秩的结论中,错误的是【】
+A. 若矩阵 $\boldsymbol{A}$ , $\boldsymbol{B}$ , $\boldsymbol{C}$ 满足 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{BC}$ 且 $\boldsymbol{B}$ 是列满秩的,则 $\boldsymbol{A}$ 列满秩当且仅当 $\boldsymbol{C}$ 列满秩
+B. 行阶梯形矩阵中1的个数等于矩阵的秩
+C. 设 $\boldsymbol{A}$ , $\boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶方阵,则 $R(\boldsymbol{AB})=R(\boldsymbol{B})$ 的充要条件是线性方程组 $(\boldsymbol{AB})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 与 $\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 同解
+D. 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵,则 $R(\boldsymbol{A}^{n})=R(\boldsymbol{A}^{n + 1})$ 
+
+4. 设 $\boldsymbol{\eta}_{1}$ , $\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的两个不同解, $\boldsymbol{\xi}_{1}$ , $\boldsymbol{\xi}_{2}$ 是导出方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的两个不同解,则:① $\boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解,② $3\boldsymbol{\xi}_{1}+\boldsymbol{\eta}_{1}$ 是 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的解,③ $2\boldsymbol{\xi}_{1}+2\boldsymbol{\xi}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解,④ $2\boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的解,⑤ $\boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}+\boldsymbol{\xi}_{1}$ 是 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的解。上述结论正确的有多少个?【】
+A. 2
+B. 3
+C. 4
+D. 5
+
+5. 已知 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似, $\boldsymbol{C}$ 与 $\boldsymbol{D}$ 相似,则下列命题中正确的是【】
+A.  $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{C}$ 与 $\boldsymbol{B}+\boldsymbol{D}$ 相似
+B.  $\boldsymbol{AC}$ 与 $\boldsymbol{BD}$ 相似
+C.  $\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{I}$ 与 $\boldsymbol{B}^{2}+\boldsymbol{I}$ 相似
+D.  $\boldsymbol{A}^{T}+\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}^{T}+\boldsymbol{B}$ 相似
+
+6. 设 $f(x_{1},x_{2},x_{3})=2x_{1}^{2}+6x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}=C$ ,则此二次曲面是【】
+A.  $C = 0$ 为锥面
+B.  $C>0$ 为椭球面
+C.  $C<0$ 为柱面
+D.  $C = 1$ 为单叶双曲面
+
+## 二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
+1. 设 $\alpha,\beta,\gamma$ 为 $x^{3}+px + q = 0$ 的三个根,则行列式 $\begin{vmatrix}\boldsymbol{\alpha}&\boldsymbol{\beta}&\boldsymbol{\gamma}\\\boldsymbol{\gamma}&\boldsymbol{\alpha}&\boldsymbol{\beta}\\\boldsymbol{\beta}&\boldsymbol{\gamma}&\boldsymbol{\alpha}\end{vmatrix}$ =________
+2. 设 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&1&1\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\a_{1}^{2}&a_{2}^{2}&a_{3}^{2}\end{bmatrix}$ , $\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$ ,其中 $a_{1},a_{2},a_{3}$ 互不相同,线性方程组 $\boldsymbol{A}^{T}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的解为________
+3. 设3阶方阵 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}2&-1&2\\1&0&1\\0&0&2\end{bmatrix}$ ,3维向量 $\boldsymbol{\alpha}=\begin{bmatrix}t\\2\\1\end{bmatrix}$ ,若 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}$ 与 $\boldsymbol{\alpha}$ 线性相关,则 $t=$ ________
+4. 已知 $\|\boldsymbol{a}\| = 2$ , $\|\boldsymbol{b}\| = 5$ ,且 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\frac{2}{3}\pi$ ,若向量 $\boldsymbol{A}=\lambda\boldsymbol{a}+17\boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{B}=3\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$ 垂直,则 $\lambda=$ ________
+5. 已知 $n(n\geq2)$ 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}$ , $\boldsymbol{\beta}$ 满足 $\boldsymbol{\beta}^{T}\boldsymbol{\alpha}=-3$ ,其中 $\boldsymbol{\beta}^{T}$ 为 $\boldsymbol{\beta}$ 的转置,则方阵 $(\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\alpha}^{T})^{2}$ 的非零特征值为________
+6. 已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $m\times n$ 实矩阵(其中 $m < n$ ), $\boldsymbol{I}$ 为 $n$ 阶单位矩阵, $t$ 为实数,则 $\boldsymbol{A}^{T}\boldsymbol{A}+t\boldsymbol{I}$ 为正定矩阵的充分必要条件是实数 $t$ 满足关系式________
+
+## 三、计算题(10分)
+计算 $n$ 阶行列式 $\begin{vmatrix}a&a_{2}&a_{2}&\cdots&a_{2}\\a_{2}&a&a_{2}&\cdots&a_{2}\\a_{2}&a_{2}&a&\cdots&a_{2}\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{2}&a_{2}&a_{2}&\cdots&a\end{vmatrix}$ 
+
+## 四、计算题(10分)
+设直线 $L:\frac{x - 1}{2}=y=\frac{z - 2}{3}$ 与平面 $\pi:2x - y+z - 10 = 0$ 的交点为 $P$ ,求过点 $P$ 且与平面 $\pi$ 垂直的直线方程。
+
+## 五、计算题(10分)
+已知线性方程组 $\begin{cases}\lambda x_{1}-x_{2}-x_{3}=1\\-x_{1}+\lambda x_{2}-x_{3}=-\lambda\\-x_{1}-x_{2}+\lambda x_{3}=\lambda^{2}\end{cases}$ 至少存在两个不同的解,求该线性方程组的通解。
+
+## 六、计算题(10分)
+判定向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\begin{bmatrix}1\\1\\1\\-1\end{bmatrix}$ , $\boldsymbol{\alpha}_{2}=\begin{bmatrix}1\\4\\1\\0\end{bmatrix}$ , $\boldsymbol{\alpha}_{3}=\begin{bmatrix}-1\\2\\-1\\2\end{bmatrix}$ , $\boldsymbol{\alpha}_{4}=\begin{bmatrix}1\\1\\2\\3\end{bmatrix}$ , $\boldsymbol{\alpha}_{5}=\begin{bmatrix}2\\-1\\4\\5\end{bmatrix}$ 的线性相关性,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。
+
+## 七、证明与计算题(共2小题,第1小题4分,第2小题8分,共12分)
+已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ , $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ , $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关,其中 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ , $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ , $\boldsymbol{\alpha}_{3}\in\mathbb{R}^{3}$ , $\boldsymbol{A}$ 为3阶方阵,且 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{1}=2\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}$ , $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+2\boldsymbol{\alpha}_{2}+3\boldsymbol{\alpha}_{3}$ , $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{3}=2\boldsymbol{\alpha}_{1}+4\boldsymbol{\alpha}_{2}+3\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 。
+1. 证明 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{1}$ , $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{2}$ , $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关；
+2. 计算行列式 $|\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|$ ,其中 $\boldsymbol{E}$ 是3阶单位矩阵。
+
+## 八、计算题(12分)
+已知实二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3})=\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$ 在正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{y}$ 下的标准形为 $3y_{1}^{2}+3y_{2}^{2}$ ,且 $\boldsymbol{P}$ 的第3列为 $\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$ ,求 $\boldsymbol{A}$ 。

试卷库/高数期末真题/2017高数期末考试卷.md

@@ -11,11 +11,11 @@ tags:
 **考试时间：150 分钟**  
 **满分：100 分**  
 
-| 题号 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 七 | 八 | 九 | 十 | 十一 | 十二 | 总分 | 核分 |
+| 题号  | 一   | 二   | 三   | 四   | 五   | 六   | 七   | 八   | 九   | 十   | 十一  | 十二  | 总分  | 核分  |
-|------|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|-----|-----|------|------|
+| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
-| 满分 | 15 | 15 | 6  | 6  | 6  | 6  | 6  | 8  | 8  | 8  | 8   | 8   | 100 |      |
+| 满分  | 15  | 15  | 6   | 6   | 6   | 6   | 6   | 8   | 8   | 8   | 8   | 8   | 100 |     |
-| 得分 |    |    |    |    |    |    |    |    |    |    |     |     |      |      |
+| 得分  |     |     |     |     |     |     |     |     |     |     |     |     |     |     |
-| 评阅人 |    |    |    |    |    |    |    |    |    |    |     |     |      |      |
+| 评阅人 |     |     |     |     |     |     |     |     |     |     |     |     |     |     |
 
 **注意：**  
 1. 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效。